計算方法實驗

1、計算方法實驗指導(dǎo)姓名學(xué)號院系 專業(yè)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算方法實驗指導(dǎo)根據(jù)實際問題建立的數(shù)學(xué)模型，一般不能求出所謂的解析解，必須針對數(shù)學(xué)模型的特 點(diǎn)確定適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ǎ幹瞥鲇嬎銠C(jī)能夠執(zhí)行的計算程序，輸入計算機(jī)，進(jìn)行調(diào)試，完 成運(yùn)算，如果計算結(jié)果存在問題或不知是否正確，還需要重新確定新的計算方法，再編制 出計算程序，輸入計算機(jī)，重新調(diào)試，完成運(yùn)算，直至獲得正確的計算結(jié)果，這就是數(shù)值 計算的全部過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)“計算方法”和“高級語言”等課程時普遍存在的問題是：只會套用教科 書中的標(biāo)準(zhǔn)程序進(jìn)行數(shù)值計算， 很少有人能夠獨(dú)立地將學(xué)過的數(shù)值算法編制成計算機(jī)程序， 至于靈活應(yīng)用已經(jīng)掌握的算法求解綜合性較大的課

2、題，則更是困難的事情。編寫計算方法實驗指導(dǎo)的目的是：突出數(shù)值計算程序結(jié)構(gòu)化的思想。提高學(xué)生的 編程能力，加深對“計算方法”課程內(nèi)容的理解和掌握，為”計算方法“課程的教學(xué)服務(wù)， 進(jìn)一步奠定從事數(shù)值計算工作的基礎(chǔ)。具體地1. 根據(jù)“計算方法”課程內(nèi)容的特點(diǎn)，給出五個典型算法的分析流程，學(xué)生可以利用 所掌握的“高級語言”順利地編制出計算機(jī)程序，上機(jī)實習(xí)，完成實驗環(huán)節(jié)的教學(xué)要求。2. 所有的計算實習(xí)題目都經(jīng)過任課教師逐一檢驗，準(zhǔn)確無誤。3. 充分利用循環(huán)的思想、迭代的思想，給出算法結(jié)構(gòu)描述和程序語言的對應(yīng)關(guān)系，有 利于學(xué)生編制相應(yīng)的程序。4. 結(jié)合實習(xí)題目，提出實驗要求，要求學(xué)生按規(guī)范格式寫出相應(yīng)的實

3、驗報告，實驗報 告成績記入期末總成績。需要提醒學(xué)生：不能簡單地套用現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)程序完成實驗題目， 應(yīng)當(dāng)把重點(diǎn)放在對算法的理解、程序的優(yōu)化設(shè)計、上機(jī)調(diào)試和計算結(jié)果分析上，否則就失 去實驗課的目的啦。5. 五個具體的實驗題目是：實驗題目 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值實驗題目2龍貝格(Romberg)積分法實驗題目 3 四階龍格庫塔 (RungeKutta) 方法實驗題目 4 牛頓 (Newton) 迭代法實驗題目5高斯(Gauss)列主元消去法要求必須完成其中三個(如果全部完成更好) 。實驗題目 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值方法概要：j ;則滿足條件a,b時，有誤差給定平面上

4、n 1個不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xk,f(xk) , k 0,1,L ,n ,人Xj , iPn(Xk)f (Xk) , k 0,1 丄,n的n次拉格朗日插值多項式是存在唯一的。若xk a, b, k 0,1,L , n，且函數(shù)f (x)充分光滑，則當(dāng)x估計式f(n 1()f (x) Fn(x)(x xo)(x xJL (x Xn)，a,b(n 1)!拉格朗日插值算法實驗實驗?zāi)康模豪美窭嗜詹逯刀囗検紽n(x)求f (x)的近似值輸 入：n 1個數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-f&k)， k 0,1,L , n ;插值點(diǎn)x輸 出：f (x)在插值點(diǎn)x的近似值巳(x)程序流程：1 置 y 0.0 ； k 02 當(dāng)

5、k n 時，做 2.1 2.42.1 置 I 1.0 ；2.2 對 j 0,1,L ,k 1,k 1,L ,n，置 l l(x 百)/儀 Xj)2.3 置 y y l f (xj2.4 置 k k 13輸出x, y4停機(jī)問題1拉格朗日插值多項式的次數(shù)n越大越好嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：1(1) 設(shè)f(x) 二，x 5,5，考慮等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式巳(x),即將區(qū)1 x間5,5進(jìn)行n等分，記h 100， Xk5.0 k h， k 0,1,L , n，構(gòu)造Pn(x)，利用拉格朗n日插值多項式Pn(x)作為f (x)的近似值。分別取n 5，n 10，n 20，同時計算Pn(x)在x

6、0.75，x 1.75，x 2.75，x 3.75，x 4.75處的函數(shù)值。(2) 設(shè)f (x) ex，x 1,1，考慮等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式Pn(x)，即將區(qū)間2 01,1進(jìn)行n等分，記h 一，Xk1.0 k h， k 0,1,L ,n，構(gòu)造Pn(x)，利用拉格朗日插n值多項式Pn(x)作為f(x)的近似值。分別取 n 5, n 10，n 20 ,同時計算Pn(x)在x 0.95，x 0.05，x 0.05，x 0.95處的函數(shù)值。問題2插值區(qū)間越小越好嗎？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：1(1)設(shè)f (x) r，x 1,1，考慮等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式R(x)，即將區(qū)1 x2 0間

7、1,1進(jìn)行n等分，記h 2，Xk1.0 k h，k 0,1丄，n,構(gòu)造Pn(x)，利用拉格朗日n插值多項式Pn(x)作為f (x)的近似值。分別取n 5, n 10，n 20 ,同時計算Pn(x)在0.95處的函數(shù)值。x 0.95, x 0.05, x 0.05, x(2)設(shè)f(x) ex, x 5,5，考慮等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式Pn(x)，即將區(qū)間一 2 05,5進(jìn)行n等分，記h ，Xk1.0 k h，k 0,1,L ,n，構(gòu)造Pn(x)，利用拉格朗日n插值多項式Pn(x)作為f (x)的近似值。分別取n 5，n 10，n 20，同時計算Pn(x)在x 4.75，x 0.25，x 0.

8、25，x 4.75處的函數(shù)值。問題3在區(qū)間1,1考慮拉格朗日插值問題，為了使得插值誤差較小，應(yīng)如何選取插值節(jié)點(diǎn)？考慮下面兩個拉格朗日插值問題：(1)設(shè)f (x)，x 1,1，考慮非等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式Pn(x)，記1 xXk cos(2k 1)，k 0,1,L ,n，構(gòu)造R(x)，利用拉格朗日插值多項式 R(x)作為f(x)的近2(n 1)似值。分別取 n 5 ,n 10, n 20，同時計算 Pn(x)在 x0.95 ,x 0.05 ,x 0.05 ,x 0.95處的函數(shù)值。(2)設(shè)f(x) ex , x 1,1，考慮非等距節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式R(x)，記Xk cos(2k 1)

9、 , k 0,1,L ,n，構(gòu)造R(x)，利用拉格朗日插值多項式 巳(x)作為f(x)的近 2(n 1)似值。分別取 n 5 ,n 10, n 20，同時計算 Pn(x)在 x0.95 ,x 0.05 ,x 0.05 ,x 0.95處的函數(shù)值。問題4考慮拉格朗日插值問題，內(nèi)插比外推更可靠嗎?考慮下面兩個拉格朗日插值問題：(1)設(shè)f(x)J，關(guān)于以X。1 ,治4 , X2 9為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式P2(x),利用拉格朗日插值多項式P2(x)作為f(x)的近似值。同時計算F2(X)在x 5 , x 50 ,x 115， x 185處的函數(shù)值。(2) 設(shè)f(x)浪，關(guān)于以X。36，人49，X2

10、64為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式 F2(x)，利用拉格朗日插值多項式P2(x)作為f (x)的近似值。同時計算P2(x)在x 5，x 50， x 115， x 185處的函數(shù)值。(3) 設(shè)f(x)上，關(guān)于以xo 100，為121，X2 144為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項式 F2(x)，利用拉格朗日插值多項式P2(x)作為f (x)的近似值。同時計算P2(x)在x 5，x 50， x 115， x 185處的函數(shù)值。(4) 設(shè)f(x) ,x，關(guān)于以xo 169，捲196，X2 225為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項 式P2(x)，利用拉格朗日插值多項式 P2(x)作為f(x)的近似值。同時計算 P2(x)在x

11、 5， x 50， x 115， x 185處的函數(shù)值。思考題：1. 對實驗1存在的問題，應(yīng)如何解決？2. 對實驗2存在的問題的回答，試加以說明3. 對實驗3存在的問題的回答，試加以說明4. 如何理解插值問題中的內(nèi)插和外推？寫出實驗報告實驗題目2龍貝格(Romberg)積分法方法概要：利用復(fù)化梯形求積公式、復(fù)化辛普生求積公式、復(fù)化柯特斯求積公式的誤差估計式計算積分f(x)dx。記h -_-， xk a k h， k 0,1,L ,n，其計算公式：an一般地，利用龍貝格算法計算積分，要輸出所謂的T數(shù)表龍貝格(Romberg)積分法實驗b實驗?zāi)康模豪谬堌惛?Romberg)積分法計算積分f(x)

12、dxa輸入：a,b, N,輸出：龍貝格T數(shù)表程序流程：1 置 h 口，m 1n2輸出Ti3對i2,3丄,N，做 3.1 3,53.1置ii21 1置t211 "T1h f (a (k22 k 12)h)輸出T23.2置S21-(4T2 T1)3輸出S23.3對m1,置 C216S2S)輸出C2，轉(zhuǎn) 3.63.4對m2，置 R2163(64C2G)輸出R2，轉(zhuǎn) 3.63.5對m3，置 tolR2R如果tol ，則停機(jī)，否則轉(zhuǎn)3.6h3.6RiR2,CiC2 , SS2,TiT2, h , m24停機(jī)問題1:利用龍貝格(Romberg)積分法計算積分1 oX2exdx ,103(2)1

13、ex sin xdx ,10(3)011十，101 1(4)0dx，1010問題2：被積函數(shù)無界，如何處理?提示：f(0) limsinx 1x 0 X10 6提示：引進(jìn)變換t/1 X(3)1 COSX ,0.XdX，106提示:利用等式?0SXXdX1 1 dx0-.x1 COSX 10dX，第一個積分值等于2,第二個積分,X利用f(0)lim COS10 ；X 0.X也可以考慮利用分部積分1 COSXcosxdC- x)X，1(4)110 6提示：利用第一類 Gauss-Chebyshev求積公式問題3：積分區(qū)間無限，如何處理?2(1) e x dx,，10 610 2提示：利用weXdx

14、作近似1冷X，106提示：利用變換t .T（3）x236e cos xdx ，10提示：Gauss-Hermite 求積公式（4）e xsin2 xdx，10 60 7提示：Gauss-Lagurre 求積公式思考題:1. 輸入的參數(shù)N有什么意義？2. 在實驗1中二分次數(shù)和精度的關(guān)系如何？3. 在實驗2中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明4. 在實驗3中給出的提示具有普遍性嗎？存在其它的方法嗎？試加以說明寫出實驗報告實驗題目3四階龍格一庫塔（Runge Kutta）方法方法概要：給定常微分方程初值問題記Xn a n h， n 0,1 L ,N，利用四階龍格一庫塔方法可逐次求出

15、微分方程初值問題的數(shù)值解yn，n 1,2,L ,N四階龍格一庫塔(Runge Kutta)方法實驗實驗?zāi)康模豪盟碾A龍格一庫塔(Runge Kutta)方法求解微分方程初值問題輸 入：a,b, ,N輸出：初值問題的數(shù)值解xn，yn，n 0,1,2,L ,N程序流程:1 置 xo a,yo,h2 對n 1,2,L ,N，做 2.1 2.42.1 置2.2 置x1x0 h2.3 輸出 x1, y12.4 置 x°X1,y°y13停機(jī)問題1(1)準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解問題 2（1）準(zhǔn)確解（2）準(zhǔn)確解問題 3（1）準(zhǔn)確解（2）準(zhǔn)確解（3）準(zhǔn)確解思考題：1. 對實驗 1，數(shù)值解和解析解相同嗎？

16、為什么？試加以說明2. 對實驗 2， N 越大越精確嗎？試加以說明。3. 對實驗 3，N 較小會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？試加以說明 寫出實驗報告實驗題目 4 牛頓 (Newton) 迭代法方法概要：求非線性方程 f(x) 0的根 x * ，牛頓迭代法計算公式一般地，牛頓迭代法具有局部收斂性，為保證迭代收斂，要求，對充分小的 0 ，* 2 * *O(x*, )。如果 f(x) C2a,b， f (x*) 0， f (x*) 0 ，那么，對充分小的 0，當(dāng)O(x*, )時，由牛頓迭代法計算出的xn 收斂于 x* ，且收斂速度是2 階的；如果f(x) Cma,b，f(x*) f (x*) Lf(m1)(x*)

17、 0， f(m)(x*) 0(m 1)，那么，對充分小的0，當(dāng)O(X*,)時，由牛頓迭代法計算出的冷收斂于X*，且收斂速度是1階的；牛頓(Newton)迭代法實驗實驗?zāi)康模豪门ｎD迭代法求 f (X) 0的根輸 入：初值 ，精度 1, 2 ，最大迭代次數(shù) N輸 出：方程f (x) 0根x*的近似值或計算失敗標(biāo)志程序流程：1 置 n 12 當(dāng) n N 時，做 2.1 2.4如果|F|!，輸出Xo ；停機(jī)如果DF2，輸出失敗標(biāo)志；停機(jī)2.2 置 x, x0 F /DF2.3 置 Tolx, x0如果Tol ,，輸出x,；停機(jī)2.4 置 n n 1 , x x,3輸出失敗標(biāo)志4停機(jī)問題 1: (1)

18、 cosx x 0, i 10 6, 2 10 4 , N 10, x0.7853981634(2) e x sinx 0 ,1 10 6,2 10 4 , N 10, x0 0.6問題 2: (1) x e x 0, 1 10 6 , 2 10 4 , N 10 , x 0.5(2) x2 2xe x e 2x 0 ,110 6 ,210 4 , N 20 , x 0.5問題3: (1)由下面的遞推公式可以生成勒讓德(Legendre)多項式 試確定 P2(x), F3(x), P4(x)和 F5(x) 確定F6(x),求P6(x)得所有零點(diǎn)，精度 10 60.9324695142,0.66

19、12093865,0.2386191861(2)由下面的遞推公式可以生成切比雪夫勒讓德(Chebyshev)多項式 試確定 T2(x),T3(x),T4(x)和 T5(x) 確定T6(x)，求T6(x )得所有零點(diǎn)，精度1062 j 1Xj cos()， j 0,1,L ,nJ 2(n 1)(3) 由下面的遞推公式可以生成拉蓋爾(Laguerre )多項式 試確定 L2(x), L3(x), L4 (x)和 L5(x) 求L5(x)得所有零點(diǎn)，精度 10 60.2635603197，1.4134030591，3.5964257710，7.0858100059，12.6408008443(4)

20、由下面的遞推公式可以生成埃爾米特(Hermite )多項式 試確定 H2(x), H3(x), H4(x)和 H5(x) 確定H6(x)，求H6(x)得所有零點(diǎn)，精度10 62.3506049737，1.3358490740，0.4360774119思考題：1. 對實驗1確定初值的原則是什么？實際計算中應(yīng)如何解決?2. 對實驗 2 如何解釋在計算中出現(xiàn)的現(xiàn)象？試加以說明3. 對實驗 3 存在的問題的回答，試加以說明寫出實驗報告實驗題目 5 相對高斯 (Gauss) 列主元消去法方法概要：高斯(Gauss)列主元消去法：對給定的n階線性方程組Ax b，首先進(jìn)行列主元消元過程，然后進(jìn)行回代過程，最

21、后得到解或確定該線性方程組是奇異的。如果系數(shù)矩陣的元素按絕對值在數(shù)量級方面相差很大，那么，在進(jìn)行列主元消元過程前，先把系數(shù)矩陣的元素進(jìn)行行平衡：系數(shù)矩陣的每行元素和相應(yīng)的右端向量元素同除以 該行元素絕對值最大的元素。這就是所謂的平衡技術(shù)。然后再進(jìn)行列主元消元過程。如果真正進(jìn)行運(yùn)算去確定相對主元，則稱為顯式相對Gauss列主元消去法；如果不進(jìn)行運(yùn)算，也能確定相對主元，貝U稱為隱式相對Gauss列主元消去法。顯式相對Gauss列主元消去法：對給定的n階線性方程組Ax b，首先進(jìn)行列主元消元過程，在消元過程中利用顯式平衡技術(shù)，然后進(jìn)行回代過程，最后得到解或確定該線性 方程組是奇異的。隱式相對Gaus

22、s列主元消去法：對給定的n階線性方程組Ax b，首先進(jìn)行列主元消元過程，在消元過程中利用隱式平衡技術(shù)，然后進(jìn)行回代過程，最后得到解或確定該線性 方程組是奇異的實驗?zāi)康模豪肎auss列主元消去法、顯式相對 Gauss列主元消去法、隱式相對 Gauss列主元消去法求解線性方程組Ax b。輸 入：n ； aij，bi，i, j 1,2,L ,n輸 出：線性方程組Ax b的近似解x，i 1,2丄，n程序流程：一、Gauss列主元消去法1 對k 1,2,L ,n 1，做 1.1 1.3，消元過程1.1尋找最小的正整數(shù)p，k p n和apk max ajk。如果apk 0，輸出奇異標(biāo) k j n志，停機(jī)

23、；1.2如果p k，那么交換p,k兩行；1.3 對 i k 1丄，n，記 mik ai/akk，計算2. 如果ann 0輸出奇異標(biāo)志，停機(jī)；3. 置Xnbn / ann，回代過程n4對k n 1, ,2,1，置 Xk(bkj k 1akjXj)/akk二、顯式相對Gauss列主元消去法1. 對k 1,2丄,n 1，做1.1 1.4，消元過程1.1對i k, k 1丄,n，計算q max%，如果s 0 ,輸出奇異標(biāo)志，停機(jī)；計 k j n J算aij aj /s , j k,k 1,L , n ；1.2尋找最小的正整數(shù)p , k p n和apk max ajk ,如果apk 0 ,輸出奇異標(biāo) p

24、 k j n 志，停機(jī)；1.3如果p k，那么交換p,k兩行；1.4 對 i k 1丄，n，記 mik aik / akk，計算2. 如果ann0輸出奇異標(biāo)志，停機(jī)；3. 置Xn bn / ann，回代過程n4. 對k n 1, ,2,1，置 Xk(bkj k 1akjXj)/akk隱式相對Gauss列主元消去法1. 對k 1,2丄,n 1，做1.1 1.3消元過程1.1對i k,k 1L ,n，計算smax ajk ,如果s 0 ,輸出奇異標(biāo)志，停機(jī)；尋k j n J找最小的正整數(shù)p , k p n和apk/sp maxaik/s ；kin1.2如果p k，那么交換p,k兩行；1.3 對 i

25、 k 1,L ,n，記 mik aik/akk，計算2. 如果ann 0輸出奇異標(biāo)志，停機(jī);nj k 1akjxj)/ akk3. 置 xn bn /ann ，回代過程4. 對 k n 1, ,2,1 ，置 xk (bk問題 1 實驗題目：0.40960.12340.36780.2943x11.29510.22460.38720.40150.1129x21.12620.36450.19200.37810.0643x30.99890.17840.40020.27860.3927x41.24991)136.0190.86000x1226.8790.8602)98.81067.5900x2122.0

26、82)067.590132.0146.260x3110.680046.260177.17x4223.4311/21/31/4x125/121/23)1/31/31/41/5x277/601/41/51/6x357/601/41/51/61/7x4319 / 42010787x1327565x2234)86109x33375910x431實驗題目的準(zhǔn)確結(jié)果：1) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；2) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；3) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；(4) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1

27、,1,1)T 。問題 2197305206804x11361) 46.871.347.452.0x211.71)88.676.410.8802x325.11.455.906.1336.5x46.600.53980.71610.55540.2982x10.20582)0.52570.69240.35650.6255x20.05030.64650.81870.18720.1291x30.10700.58140.94000.77790.4042x40.18591012 x1133)1102 x213115 x37424 x124)21710 x2254109 x315思考題：1. 計算實驗 1、實驗

28、 2 的各個題目說明：對什么類型的線性方程組三種方法是一致的？2. 用三種方法計算實驗 1、實驗 2 的各個題目，哪種方法最好？試加以說明。3. 綜合上述兩種結(jié)論，總結(jié)三種方法的關(guān)系，試加以說明。寫出實驗報告1 本課程給出五類實驗題目，供學(xué)生選用，要求必須完成其中三個實驗2 實驗課的目的是為了讓學(xué)生深入理解和掌握“計算方法”課程的基本內(nèi)容，同時有助 于培養(yǎng)學(xué)生的上機(jī)調(diào)試程序進(jìn)行數(shù)值計算的動手能力，進(jìn)一步提高利用數(shù)值方法求解數(shù)學(xué) 問題、分析計算結(jié)果、選擇算法的綜合能力。3 為了順利完成實驗教學(xué)的規(guī)定內(nèi)容，建議學(xué)生按下面方法準(zhǔn)備實驗、進(jìn)行實驗、寫出 實驗報告：（1）應(yīng)明確實驗的目的，清楚實驗的內(nèi)容

29、，包括算法和誤差分析；（2）寫出內(nèi)容摘要，包括算法的理論基礎(chǔ)和對算法的初步認(rèn)識；（3）上機(jī)前，編寫好計算程序；（4）上機(jī)調(diào)試程序要做到快速、準(zhǔn)確；（5）記錄計算結(jié)果要做到真實、準(zhǔn)確；（6）課后，認(rèn)真寫好實驗報告，包括對算法的新認(rèn)識和體會，要特別注意對計算結(jié)果 的分析和討論，當(dāng)然包括對計算結(jié)果的誤差分析。實驗報告一題目（摘要）Lagrange插值給定平面上n 1個不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)（xk,f（xk） ,k 0,1,L , n , Xi Xj , i j ；則滿足條件Fn(xQf(xQ , k 0,1丄，n的n次拉格朗日插值多項式是存在唯一的。若 Xk a,b,k 0,1,L ,n，且函數(shù)f(x)充分光滑，則當(dāng)x a,b時，有誤差估計式f(n 1)()f (x) Pn(x)(x xo)(x XjL(X Xn)，a,b(n 1)!前言：(目的和意義)目的：利用拉格朗日插值多項式 Pn(x)求f (x)的近似值意義：數(shù)學(xué)原理程序設(shè)計流程本實驗采用CodeBlocks的C文件編寫。Lagrange插值源程序：#i nclude?<stdio.h>?#i nclude?<co nio.h>?#in clude?<alloc.h>?float?lagra nge(float?*x,float?*y