81橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)（2）（3）

1、第八章 圓錐曲線方程8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)教學(xué)目標(biāo)1理解橢圓的定義及焦點(diǎn)、焦距的概念，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，訓(xùn)練學(xué)生的動手能力；3通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作、友愛精神重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)課前準(zhǔn)備1教具準(zhǔn)備：(1)幾何畫板制作的動畫課件(2)學(xué)生按小組(2人一組)準(zhǔn)備好一塊紙板、一段細(xì)繩、兩枚圖釘(3)投影片(I)例：(1)判斷下列方程的焦點(diǎn)位置，并指出焦點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)M的軌跡是 (II)備用練習(xí)：對橢圓各小組仿照例題或習(xí)題的形式自己設(shè)計(jì)一個題目，兩個小組交換審查并嘗試作答2教法準(zhǔn)備：準(zhǔn)備采用小組合作研

2、究的方法，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生動手，不斷探索，以加深對橢圓定義及其方程的理解，有利于充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作友愛精神教學(xué)設(shè)計(jì) 【情景設(shè)置】問題：2003年10月15日，中國“神舟5號”飛船試驗(yàn)成功，實(shí)現(xiàn)了中國人的千年飛天夢請問：“神舟5號”飛船繞什么旋轉(zhuǎn)?運(yùn)行軌跡是什么?(地球、橢圓) 那么，生活中你還見過橢圓形狀的物品嗎?讓學(xué)生列舉幾個，教師提出課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 【小組合作，形成概念】動畫演示下圖8-1，同時顯示，當(dāng)M運(yùn)動時，的數(shù)值，可知M在運(yùn)動時，在改變，而的值卻始終不變思考：由橢圓畫圖過程，嘗試給出它的定義. 小組合作后得出：橢圓是到兩個定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的

3、點(diǎn)的軌跡設(shè) 下面由大家自己動手畫橢圓，看剛才所給定義還有沒有別的條件限制 讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一塊紙板、一段細(xì)繩、兩枚圖釘，2人一組按課本上的要求畫橢圓，并討論以下問題： (1)在紙板上作圖說明了什么? (2)在繩長不變的條件下，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有何變化?當(dāng)兩個圖釘重合在一起時，畫出的圖形是什么?當(dāng)兩個圖釘之間的距離等于繩長時，畫出的圖形是什么?當(dāng)兩圖釘固定；能使繩長小于兩圖釘之間的距離嗎?能畫出圖形嗎? (3)完善橢圓定義 學(xué)生：獨(dú)立思考小組討論互為補(bǔ)充共同交流 教師：啟發(fā)誘導(dǎo)點(diǎn)撥釋疑激勵完善演示課件：展示三種不同情形軌跡得出： 定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等

4、于常數(shù)(大于| Fl F2 |)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距 【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)】1回顧：求曲線方程的一般步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡2如何建系，使求出的方程最簡? 由各小組討論，請小組代表匯報(bào)研討成果，由此選定下列兩種方案 選定方案一，由各小組自己完成設(shè)點(diǎn)，列式兩個步驟，重點(diǎn)討論第三個步驟：如何化簡?化簡的目的是什么?有什么辦法?建系：以Fl、F2所在直線為x軸，線段FlF2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)：設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)則列式：化簡：(師生一同完成)兩邊平方，得：即兩邊平方，得：整理，得：思考：前面設(shè)觀察圖形能找出圖形中a、c所

5、表示的線段及其關(guān)系嗎?學(xué)生回答，并在圖形中標(biāo)示出來，a、c即為RtBOF2的斜邊與直角邊，另一直角邊長為令則方程可簡化為：聯(lián)想到直線的截距式，整理成：思考：a、b的大小關(guān)系如何?得出指出：方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是討論：選定方案二，方程的形式又如何呢?得出：為橢圓另一個標(biāo)準(zhǔn)方程判斷：的焦點(diǎn)位置，思考如何由方程判斷其焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上?討論得出：看的分母大小，哪個分母大就在哪一條軸上根據(jù)上面所學(xué)知識，完成下表：【例題講解】例 (1)判斷下列方程的焦點(diǎn)位置，并指出焦點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)點(diǎn)M的軌跡是 。答案：(1)x軸上，y軸上，(0，±3)；x軸上， (2)線段F1F

6、2【課堂練習(xí)】P9596的2、3(1)(2)(3)備用練習(xí)：對橢圓各小組仿照例題或習(xí)題的形式自己設(shè)計(jì)一個題目，兩個小組交換審查并嘗試作答【課堂小結(jié)】(1)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的確定及a，b，c的關(guān)系 (3)橢圓定義的形成和方程的推導(dǎo)，蘊(yùn)含著運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和研究曲線的基本方法：坐標(biāo)法 【作業(yè)布置】 P96習(xí)題8.1的1(2)、2、4【隨堂練習(xí)】 1將一個圓柱形水杯裝半杯水，觀察從不同角度傾斜時水面邊界線的變化2方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍答案：(0，4)評析: 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)是一堂數(shù)學(xué)概念教學(xué)課 首先，在本課教學(xué)中，充分利用了現(xiàn)代教育媒體，集聲

7、、文、圖像于一體，增大了知識信息量，使內(nèi)容充實(shí)、形象、直觀，從而更具吸引力 其次，在教學(xué)上遵循從生動直觀到抽象概括的正確教學(xué)原則和教學(xué)途徑，為了講清橢圓的定義，設(shè)計(jì)了一個情景、電腦演示畫橢圓、學(xué)生自己動手畫橢圓，引導(dǎo)學(xué)生一起實(shí)驗(yàn)、探索，分析現(xiàn)象，讓橢圓生動靈活地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，更有助于學(xué)生理解橢圓的內(nèi)涵和外延對本課難點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)也是讓學(xué)生先從目的，再從方法上進(jìn)行考慮，獨(dú)立思考后再自由討論，師生一同完成，同時設(shè)計(jì)了一個例題和一組練習(xí)，充分利用新概念解決問題，突出了重點(diǎn)，也分散了難點(diǎn)，使整節(jié)課的教學(xué)過程條理清晰，層次分明 為了充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突出學(xué)生的主體地位，本課采用了小組合作研究的

8、教學(xué)方法，創(chuàng)設(shè)了一個寬松、民主、和諧的環(huán)境，鼓勵學(xué)生自由思考，小組合作，讓學(xué)生的思維活躍起來，讓學(xué)生的潛能進(jìn)一步得到發(fā)揮，課堂上形成多向的信息交流，創(chuàng)設(shè)生動、活潑的課堂氣氛，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的待定系數(shù)法和定義法；2學(xué)會運(yùn)用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的知識解決有關(guān)問題；3培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和探索精神重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程；教學(xué)難點(diǎn)：方程有兩解和例2中軌跡完備性的探求課前準(zhǔn)備1教具準(zhǔn)備：投影片I練習(xí)l： (1)在一平面內(nèi)，F(xiàn)l、F2為兩個定點(diǎn)，M為動點(diǎn)，若動點(diǎn)M的軌跡為線段FlF2，則2a= ；若動點(diǎn)M

9、的軌跡是橢圓，則2a的取值范圍為 .(2)當(dāng)時，方程表示的曲線是 ，焦點(diǎn)在 軸上 (3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .投影片II 錯例分析 平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離等于8，一個動點(diǎn)到這兩個定點(diǎn)的距離的和等于l0，求動點(diǎn)M的軌跡方程錯解： 所求橢圓的軌跡方程是：2教法準(zhǔn)備：準(zhǔn)備采用探究法，提出探究問題，讓學(xué)習(xí)小組實(shí)例探索，以加深對待定系數(shù)法和定義法求軌跡的理解教學(xué)設(shè)計(jì)【復(fù)習(xí)舊知】練習(xí)l：(1)在一平面內(nèi)，F(xiàn)l、F2為兩個定點(diǎn)，M為動點(diǎn)，若動點(diǎn)M的軌跡為線段FlF2，則2a= 4 ；若動點(diǎn)M的軌跡是橢圓，則2a的取值范圍為(2)當(dāng)時，方程表示的曲線是橢圓，焦點(diǎn)在 x 軸上. (3)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為引入課題：橢圓

10、及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2) 【新課講授】 例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4，0)、(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和是l0；(2)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，-2)、(0，2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) 探究一：(1)小題有哪些方法可以考慮?有哪些經(jīng)驗(yàn)可以借鑒?學(xué)生：獨(dú)立思考小組討論 得出：直接法可以用，也可類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，用待定系數(shù)法求解 由學(xué)生嘗試解答，再叫一小組代表發(fā)言，老師書寫解答 解：(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為探究二：(2)小題與(1)有何不同?系數(shù)a、b、c可如何解定?學(xué)生：獨(dú)立思考小

11、組討論互為補(bǔ)充共同交流 老師：啟發(fā)誘導(dǎo)點(diǎn)撥釋疑激勵完善解1：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓定義知：所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解2：c=2，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓經(jīng)過點(diǎn)解得：不合舍去)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 探究三：待定系數(shù)法求方程的步驟；(2)中的哪一種解法更簡潔?為什么? 討論得出：待定系數(shù)法解題步驟：定類型、設(shè)方程、求系數(shù)；解l利用了橢圓的定義，更為簡潔練習(xí)2： (一)習(xí)題8.1 第3題 (二)錯例分析 平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離等于8，一個動點(diǎn)M到這兩個定點(diǎn)的距離的和等于10，求動點(diǎn)M的軌跡方程 錯解：所求M的軌跡方程是： 由各小組分析討論，著重思考是否建系，有

12、兩解還是一解?再訂正 由此教師強(qiáng)調(diào)：只有建系后才能確定所求軌跡方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，并非是兩解 例2 已知B、C是兩個定點(diǎn)，|BC |=6，且ABC的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程 探究四：思考此例中的條件，用哪種方法求解? 啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生抓住以下幾個方面進(jìn)行思考： (1)是否要建立坐標(biāo)系?(2)直接法能否用?待定系數(shù)法能否用? (3)動點(diǎn)A滿足的條件抓住題中哪句話分析?從中能得出什么結(jié)論嗎? 請小組代表發(fā)言，教師板書求解過程 解：如圖8-3建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、C，使原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合 由已知有即A點(diǎn)的軌跡是橢圓，又2c=6，2a=10點(diǎn)A的軌跡方程是：探究五：橢圓上所有的點(diǎn)都是A的

13、軌跡嗎?學(xué)生分析得出：A、B、C三點(diǎn)不能共線，點(diǎn)A的軌跡方程應(yīng)為：教師指出：本題中，利用了橢圓的定義求動點(diǎn)的軌跡方程，這也是求軌跡的一種常用方法，稱之為定義法【課堂練習(xí)】 教科書；練習(xí)4【課堂小結(jié)】 1求曲線方程的待定系數(shù)法和定義法； 2確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需滿足兩個獨(dú)立條件【作業(yè)布置】 習(xí)題8.1第2、5題【隨堂練習(xí)】1已知定圓圓動圓M和定圓Cl外切和圓C2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程2已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(參考答案 8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(3)教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解利用中間變量法求動點(diǎn)的軌跡方程；2了解圓與橢圓的伸縮變換關(guān)系；3培養(yǎng)學(xué)生變換的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)及探索能力重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：

14、中間變量法教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求軌跡課前準(zhǔn)備1教具準(zhǔn)備：投影片I(1)寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?(3)求曲線方程的基本方法有哪幾種?投影片II(1)在例3中，若點(diǎn)M分PP之比為M點(diǎn)的軌跡方程為 (2)在例3中，若點(diǎn)M分PP之比為M點(diǎn)的軌跡仍是橢圓嗎?呢?(3)橢圓可由圓上的點(diǎn)怎樣變換得到? (4)若將圓按某個方向均勻地壓縮(拉長)，軌跡是什么?按其他方向呢? 2教法準(zhǔn)備：準(zhǔn)備采用探索法進(jìn)行教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，暴露方法的形成與發(fā)現(xiàn)的思維過程，以加深學(xué)生對方法的理解和應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)【復(fù)習(xí)舊知】(1)寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程 (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么? (

15、3)求曲線方程的基本方法有哪幾種? 由此引入本課課題【新知探究】例3 如圖8-4，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP ，求線段PP中點(diǎn)M的軌跡 探究一：點(diǎn)M的軌跡是什么? 實(shí)驗(yàn)：通過電腦演示課件，由幾個點(diǎn)讓學(xué)生猜測，再演示P點(diǎn)移動后的M的整個軌跡 結(jié)論：軌跡為橢圓 探究二：動點(diǎn)的軌跡常由動點(diǎn)的軌跡方程判斷，沒有電腦剛才的結(jié)論只能是一種猜想，那么，如何求M的軌跡方程呢?前面復(fù)習(xí)的幾種方法是否可行? 各小組嘗試分析、討論 結(jié)論：不能列出M點(diǎn)滿足的等式，直接法不能用；沒有電腦只能猜測軌跡為橢圓，也不能用待定系數(shù)法；定義法也不能用 教師引導(dǎo)：看來我們要用一種新

16、的方法來求解 再次演示P點(diǎn)移動時M的變化，M點(diǎn)隨P點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)確定，M點(diǎn)也隨之確定，借助光標(biāo)顯示P、M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，思考兩者的關(guān)系解：設(shè)則將代人上式即可得：即點(diǎn)M的軌跡是一個橢圓探究三：動點(diǎn)P的坐標(biāo)還可怎樣表示?得出：還可設(shè)(為參數(shù))消去得M的軌跡方程為： 教師指出：本題在求點(diǎn)M的軌跡方程時，不是直接建立關(guān)于x、y之間關(guān)系的方程，而是給出了與它相關(guān)的P點(diǎn)與M點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，由P點(diǎn)的軌跡方程求M點(diǎn)的軌跡方程，這也是求軌跡方程的一種常用方法，稱之為“中間變量法”(或相關(guān)點(diǎn)法、代換法)探究三中得出的含的方程實(shí)際上是橢圓的參數(shù)方程 思考：中間變量法求軌跡的步驟是什么? 引導(dǎo)學(xué)生得出：設(shè)兩個

17、動點(diǎn)坐標(biāo)建立x、y與x0、y0之間的關(guān)系；將(x0、y0)代入P點(diǎn)所滿足的等式探究四：由例3說明：由圓經(jīng)過怎樣的變換得到橢圓：得出：將圓上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫綑E圓形象地說，將圓上所有點(diǎn)均勻地向x軸壓縮為原來的一半得到橢圓 下面通過一組變式練習(xí)對圓與橢圓再認(rèn)識1在例3中，若M分PP之比為M點(diǎn)的軌跡方程為 2在例3中，若點(diǎn)M分PP之比為M點(diǎn)的軌跡仍是橢圓嗎?時呢?3橢圓可由圓上的點(diǎn)怎樣變換得到?4若將圓按某個方向均勻地壓縮(或拉長)，軌跡是什么?按其他方向呢?參考答案 2均為橢圓；3將圓上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變換為原來的一半得到橢圓; 4橢圓，橢圓【應(yīng)用】已知圓及定點(diǎn)A(8，0)，P為圓上動點(diǎn)，試求AP中點(diǎn)M的軌跡解：設(shè)M為AP中點(diǎn)， 將x0=2x-8和y0=2y代入上式，得即：點(diǎn)