44三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1

1、4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考點(diǎn)集結(jié)號(hào)】1三角函數(shù)的圖象；2三角函數(shù)的性質(zhì)；3正弦型函數(shù)性質(zhì)；4五點(diǎn)作圖法【易錯(cuò)點(diǎn)精析】一、忽視“五點(diǎn)”的位置O2yx例1 已知函數(shù)y=Asin（xj）（A0，|j|）的部分圖象如圖所示，試確定該函數(shù)的解析式錯(cuò)解由圖象可知A=2又=，所以T=，即=所以=2，故有 y=2sin（2xj）又因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（，0），所以有sin（j）=0，則j=k（kZ）因?yàn)閨j|，所以得j=或j=故所求的函數(shù)解析式為y=2sin（2x）或y=2sin（2x）剖析事實(shí)上，函數(shù)y=2sin（2x）的圖象并不經(jīng)過點(diǎn)（，2） ，故y=2sin（2x）不符合題意原因是錯(cuò)解只考慮了函數(shù)值

2、的對(duì)應(yīng)而忽視了函數(shù)圖象的合理性我們知道形如y=Asin（xj）的函數(shù)圖象均可以用“五點(diǎn)法”畫出，而“五點(diǎn)法”中我們令xj分別取0，2，從圖可看出對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是，錯(cuò)解中令j=k（kZ）就擴(kuò)大了j的取值范圍正解1將點(diǎn)（，2）代入y=2sin（2xj）中，則有sin（j）=1，所以j=2k（kZ）又因?yàn)閨j|，所以j=故y=2sin（2x）即為所求正解2（，0）為五點(diǎn)作圖的第三點(diǎn)，則由sin（j）=0，得j=（2k1），j=2k（kZ） 又因?yàn)閨j|，所以j=故y=2sin（2x）即為所求 二、忽視變換對(duì)象例2 把函數(shù)y=sin（3x）的圖象向右平移個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，求所

3、得函數(shù)的解析式錯(cuò)解將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin（3x）=sin（3x），再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到y(tǒng)=sin（·3x）=sin（x）剖析以上解法沒有準(zhǔn)確抓住變換對(duì)象而致錯(cuò)不論左右平移還是橫坐標(biāo)的伸縮，變換的對(duì)象只是“x”，即以什么代換“x”此題中，向右平移個(gè)單位，依據(jù)“左右”的原則，應(yīng)以（x）代換x，表達(dá)式中其他部分不變；而橫坐標(biāo)的伸長(zhǎng)或縮短，對(duì)應(yīng)于周期的變大或縮小，此例中橫坐標(biāo)縮短為原來的，意味著周期變?yōu)樵瓉淼?，故?yīng)以2x代換，而表達(dá)式其他部分不變正解將原函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin3（x）=sin（3x），再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到y(tǒng)=sin3

4、（2x）=sin（6x）三、忽視復(fù)合函數(shù)單調(diào)性例3 求函數(shù)y=2sin（2x）的單調(diào)遞增區(qū)間錯(cuò)解由2k2x2k，解得：kxk（kZ）所以函數(shù)y=2sin（2x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：k，k（kZ）剖析由u=2x是減函數(shù)，y=2sinu是2k，2k（kZ）上的增函數(shù)可知k，k（kZ）是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，而非單調(diào)遞減區(qū)間正解1由u=2x是減函數(shù)，且使原函數(shù)在待求區(qū)間遞增，需使函數(shù)y=2sinu遞減，于是u2k，2k（kZ）于是令2k2x2k，解得kxk（kZ），故k，k（kZ）是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間正解2由y=2sin（2x）=2sin（2x），得y=2sin（2x）由2k2x2k，解得：kxk（

5、kZ）故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k（kZ）四、忽視定義域的變化例4 求函數(shù)y=的周期錯(cuò)解因?yàn)閥=tan2x，所以T=剖析解法遵循常規(guī)思路，先化簡(jiǎn)后求周期，但結(jié)果是錯(cuò)的，不是y=的周期因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y=有意義，所以由周期函數(shù)定義應(yīng)有f（0）=f（0）成立，然而f（0）根本無意義，故不是其周期究其原因，是從變到“tanx”不是等價(jià)變形前者定義域是xR|xk且x，kZ，而后者定義域是xR| x，kZ顯然在變形過程中定義域擴(kuò)大了，兩式不等價(jià)，故周期不一定相同正解由于函數(shù)y=的定義域?yàn)閤R|xk且x，kZ，故分別作出函數(shù)y=與y=tan2x的圖象，如圖1，圖2所示可以看出，所求函數(shù)周期應(yīng)為Oxy圖

6、211Oxy圖111考點(diǎn)精練組一、選擇題 1函數(shù)y=sin（3x）的最小正周期是（ ）A B C4 D 2函數(shù)y=sin（x）在（ ）A，上是增函數(shù) B0，上是減函數(shù)C，0上是減函數(shù) D，上是減函數(shù) 3將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（4xj）的圖象，則j的一個(gè)值等于（）A BC D 4在下列函數(shù)中，同時(shí)滿足條件在（0，）上遞增；以2為周期；是奇函數(shù)的是（ ）AytanxBycosxCytanxDytanx 5函數(shù)y=2cos（2x）圖象（ ）A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱C關(guān)于y軸對(duì)稱 D關(guān)于直線x=對(duì)稱 6用五點(diǎn)法作y=2sin2x的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的

7、橫坐標(biāo)可以是（ ）A0，2B0，圖O121xy2C0，2，3，4D0， 7如圖所示，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）Ay=|sinx| By=sin|x|Cy=sin|x| Dy=|sinx| 8將函數(shù)f（x）=cos（2x）的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的， 那么所得到的圖象的解析表達(dá)式為（ ）Ay=cosx By=cos（4x）Cy=cos（4x ） Dy=cos（x） 9函數(shù)f（x）=2sin|x|的部分圖象是（ ）Byx2OyxAO2Cyx2ODyx210函數(shù)f（x）=cos2xsinx在區(qū)間，上的最小值是（）ABC1D二、填空題：11函數(shù)y=cos（2x），當(dāng)x=

8、時(shí)， y取到最小值12函數(shù)y=lg（2sinx1）的定義域是_ _13已知f（x）=axnsinx3 ，f（3）=6， 則f（3）= 14函數(shù)f（x）=tan（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 15若f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x2xtanx，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）= 組一、選擇題： 1下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）Ay=sin（2x）By=tan（2x）Cy=cos（2x）Dy=tan（4x） 2已知函數(shù)y=tanx在（，）內(nèi)是減函數(shù)，則（ ）A01 B10 C1 D1 3下列命題中正確的是（）Ay=tanx為增函數(shù)By=sinx在第一象限內(nèi)為增函數(shù)Cy=cosx在（0，）（2，3）上為減函數(shù)

9、Dy=sinxcosx在（0，）上是增函數(shù) 4y=2sin（2x）單調(diào)增區(qū)間為（）Ak，kBk，kCk，kDk，k其中kZxxxxOOOOyyyyABCD 5函數(shù)y =xcosx的部分圖象是（） 6f（x）=Asin（xj）（A0，0）在x=1處取最大值，則（）Af（x1）一定是奇函數(shù)Bf（x1）一定是偶函數(shù)Cf（x1）一定是奇函數(shù)Df（x1）一定是偶函數(shù) 7已知f（x）=sin（xj）cos（xj）為奇函數(shù)，則j的一個(gè)取值（）A0 BC D 8f（x）=sinxcosx的圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸間距離為（）A3 BCD 9函數(shù)y=tan（2x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）

10、D（，0） 10使y=sinx（0）在區(qū)間0，1至少出現(xiàn)2次最大值，則的最小值為（）A BC D二、填空題：11把函數(shù)y = cos（x）的圖象向左平移m個(gè)單位（m0）， 所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 則m的最小值是_12函數(shù)y = 2sin（4x）的圖象與x軸的交點(diǎn)中， 離原點(diǎn)最近的一點(diǎn)的坐標(biāo)是_ _13y=sin2xacos2x的圖象關(guān)于x=對(duì)稱，則a等于_14存在（0，）使sincos=；存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)而sinx0；y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；y=cos2xsin（x）既有最大、最小值，又是偶函數(shù)；y=sin|2x|最小正周期為以上命題錯(cuò)誤的為_15函數(shù)y=的定

11、義域是 三、解答與證明：16求函數(shù)y=sinxcosx的周期和值域，并作出在x，2上的簡(jiǎn)圖17已知正切函數(shù)y=Atan（xj）（A0，0，|j|）的圖像與x軸相交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）和（，0），且過（0，3）求它的表達(dá)式18函數(shù)y=3cos（）的周期為，求正整數(shù)k的值；求函數(shù)的最大值，以及此時(shí)的取值集合19已知函數(shù)y=2sin（2x），求其對(duì)稱軸方程；求其單調(diào)增區(qū)間20已知函數(shù)f（x）=sin（xj）（j0，0j）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱，且在區(qū)間0，上是單調(diào)函數(shù)求j和的值21設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2xj）（j0），y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=，求j；求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間0，上的圖象 參考答案4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)組15DBCBD610 BCCCD11k（kZ）；12(2