考研高數(shù)第四、五、六章總結(jié)

1、元函數(shù)積分學(xué)(一)不定積分1原函數(shù)的存在性泄dxj 丄 dx,e*dx 等。 Hj II.xxIn x被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故這些不定積分均稱為積不出來。設(shè)f(x)在區(qū)間I連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上原函數(shù)一定存在，但 初等函數(shù)的原函數(shù) 不一定是初等函數(shù) eg : sin(x2)dx, cos(x2 )dx, sinxdx,2、基本積分公式xx aC(a 0,a = 1)In aU書1xudx = C(u 一 ： -1,實常數(shù));dx = In | x | C; adx = arcs inC(a 0);a - xa11a x2dx InH a - x 2aa - xdx 二 u

2、 +1、xsec2 xdx 二1' cos xFor pers onal use only in study and research; not for commercial use2dx = tan x C; csc xdx =12 dx - - cot x C sin xtanxsecxdx 二 secx C; cotxcscxdx 二-cscx C;tanxdx 二 -In | cosx | C; cotxdx = In | sin x | C;secxdx = In | secx tan x | C; cscxdx = In | cscx - cotx | Cfy22補充公式:

3、| C(a 0); I 一1一 dx = In |xx2 _a | C(a 0)Jx2 土 a211丄x2 arctan C(a 0);a x a a要求：會推導(dǎo)，會背！ !I3、換元積分法和分部積分法(1)第一類換元積分法(湊微分法-整體代換-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運算)設(shè)f (u)dF(u) C，又(x)可導(dǎo)，則把x的一個函數(shù)看成一個新 變量).f (x) ' (x)dx = . f (x)d (x)令 u V：(x). f (u)du =F(u) C = F ：(x) C要求積分公式能夠倒背如流，可以順利的湊出中間變量！ 常用的幾種湊微分形式：見練習(xí)本1<1>f (axn

4、 b)xn4dxf (axnb)d(axn b)(a = 0, n = 0)na1<2><3>f (arcta n_)11二- f (arctan-)d(arctan-) 1 xxxln( x， 2 亠 2 ) ; :x 2 adx = J f In( x + 可x2 ± a2 )d(In( x +、；x2 士 a2 )(a > 0) x上af (x)<4> 帀取小|f(x)| C(f(x)")第二類換元積分法(把X看成一個新變量函數(shù))設(shè)x = (t)單調(diào)、可導(dǎo)，且'(t) = 0,若 f'- (t)- (t)dt

5、二 G(t) C, 則 f(x)dx令x (t) f'- (t)- (t)dt 二 G(t) C 二 G'-(x) C 其中t= A(x)為x=(t)的反函數(shù)。注意：第二類換元積分法絕大多數(shù)用于根式的被積函數(shù)，通過換元把根式去掉。 常見的變量替換分為兩大類：+ b第一類：被積函數(shù)是 x與ax + b或x與寸 或由ex構(gòu)成的代數(shù)式的根式,V ex +d例如aex b等。只要令根式n g(x) =t，解出x= (t)已經(jīng)不再有根式，那么就作這種 變量替換x (t)即可。被積函數(shù)含有.Ax2 Bx C(A0),如果仍令 Ax2 Bx C = t解出第二類：x(t)仍是根號，那么這樣變

6、 量替換不行，要作特殊 處理，將A .0時 先化為. A(x x。)2 _I2,A ：0時，先化為.(-A)l -(x-x。)2然后再作 三角替換。(三角替換見練習(xí)本)注意：如果既能用上述第二類換元積分法，又可以用第一類換元積分法，那么一般用 第一類換元積分法比較簡單。(3)分部積分法(兩個函數(shù)相乘的求導(dǎo)數(shù)的逆運算)分部積分法的目的：化難為易。設(shè)u(x)v(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，貝yu(x)v (x)dx 二 u(x)dv(x) =u(x)v(x)- v(x)du(x)二u(x)v(x) - . v(x)u (x)dx使用分部積分法時被積 函數(shù)中誰看作u(x)誰看作v (x) 有一定規(guī)律。丄宀(

7、1)Pn(x)eax,Pn(x)sin ax, Pn(x) cosax情形,Pn(x)為n次多項式，a為常數(shù)，要規(guī)律：進(jìn)行n次分部積分法，每次均 取eax,sinax,cosax為v"(x);多項式部分為u(x)。(2) Pn x lnx,Pn x arcsinx,巳 x arctanx情形，Pn x 為n次多項式取 Pn x 為v (x), 而In x,arcsinx,arctanx為u(x)，用分部積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變 化, 再考慮其它方法。eaxsirbx,eaxcobx情形，進(jìn)行二次分部積 分法后要移項，合并。(4)比較復(fù)雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要用湊微分法，

8、 使盡量多的因子dx和湊成dv(x)例題：1、直接積分法所謂直接積分法就是用代數(shù)或三角恒等式，并用積分的性質(zhì)和基本積分公式能直接求出不定積分，它要求初等數(shù)學(xué)有關(guān)公式很熟練。三角函數(shù)中的倍角公式 cos2x 二 cos -In x i、 dx) xsin2 x = 12sin2 x = 2coS x-1在不定積分的計算中?？善鸬胶喕嬎愕淖饔?。然后再用基本積分公式積分。 加項減項法、積化差(因式分解再裂項)、三角函數(shù)中平方關(guān)系的巧妙應(yīng)用。2、第一類換元積分法n n.ndx(n >1, n e N )=x(x 1)+, 1 + X X ,|x | 丄cEg1、n dx = In | Cx x

9、 1n xn 1Eg2、6x2 -26x2632dxx -6x 11x -6根據(jù)分子建立方程，令6x2 -26x 26A Bdx = J+(x -1)(x -2)(x -3)x -1 x -2x =1= A =3;令 x = 2= B =2;令 x =3二 C =1;Cx-3dx原式=1 n |(x-1)3(x-2)2(x-3) | CEg3、(1 ex)2ex 1 - edx=芳 dx='(1+ex)2M + edx-= d(1 ©1 ex先化簡，再湊微分。x 1 1x 一廠齊d(1 e，xn(1 »+ C1 ex1 -ln x , dxd(1 蟲)x2Eg4、(

10、x 咖(1 .蟲)2x1 C 一 x c In xx In x2 cos x eg5: sin x2sin x(cos xsinx)esin x、cosx(1 cosxe )血=co；xesinx(1 co；xesinx)dxsin x、d (cosxe )sin xcosxesin x '2sin x、 (cosxe )=(cosx-sinx)e duu(1 u)二丄一丄du = I n| 丄 | C=l n| cosxen>< u ''“s阪 | + C1 cosxe注：被積函數(shù)中最復(fù)雜的因子，可能就是中間變量,d()=()湊微分，這種方法常用。c dx

11、eg6:1x2ex1斗1、廠d() = ex ex把分母的指數(shù)函數(shù)挪到分子上變成負(fù)指數(shù)。性質(zhì)sin xEg7：1 sinxd cosx2cos x, si nx(1_si nx) , dxdx ='(1+s in x)(1-si nx)d cosxsecx-tanx x Ccos xsin x2 cos.2.sin Xjdx2 dxx cos x注：兩個根號相加減的因子，乘以另外一個因子，構(gòu)成平方差,化簡常用。2Eg8、(dxp*(x-1)2(x-1)1dx100(X-1)3、第二類換元積分法Eg1：a x ,dx2 2-xdx(a 0)=' Va2厶.x1 d(a -x )=

12、a arcsina2 adx=a I 22a2 - x2xdxa2 _ x2x 22a arcsin a - x C -x2a令x =acos2t則原式=1 cos2t(_2asin 2t)dt =-2a J - cos2tcost2sin t costdt sin t解法二、-2a (1 cos2t)dt二-a(2t sin 2t) C = -a arccos- -<'ax2 C a(注:a arcsin x arccosx aa.x 二 a arcsina兀xarccos2a4、分部積分法ax e sin(有時還用了換元積分法)a 式 01axbx( ) sin bxdeb

13、= 0 a11e sin bx - aaeaxd sinbx1 axbax1 axbaxe sinbx e cosbxdx e sinbx 2 cosbxde aaaaEg1:e sinbx e cosbx 2 e sinbxdx找關(guān)系式aaa L(1 禺)eax sin bxdx = 1 eax sin bx - 2 eax cosbx Ca Laaaxeax sinbxdx =22(asin bx-bcosbx) Ca +b(二)定積分和反常積分的概念與計算方法1定積分的幾何意義曲邊梯形面積的代數(shù)和。2、定積分的性質(zhì)ab(1) b f(X)dX a f(X)dXa(2) a f (x)dx

14、 =0bbb(3) k1 t(x) +k2 f2(x)dx =k訂 f1(x)dx 秋2 f2(x)dxbcb(4) f(x)dx = j f (x)dx 亠 i f (x)dx(c也可以在a,b之外)aLa""C(5) 如果在區(qū)間a,b上f (x)三 1,則 fldx= fdx = b-a“a abb(6) 設(shè)b, f (x) < g(x)(i x < b),貝U f(x)dxg(x)dx;LaL abb設(shè)a : b,則| f(x)dx|乞| f (x) |d(絕對可積一常用)aLa(7) 設(shè)a ： b, m 込 f (x)遼 M (a 遼 x 遼 b),貝U

15、m(ba)空f (x)dx込M (b-a)二 積分估值定理a設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一 個點 a,b,使bf (x)dx = f ( )(b - a)二定積分中值定理a1 b定義：我們稱f(x)dx為f (x)在a,b上的積分平均值b _a a(9) 奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)a.f (x)dx =0(f為連續(xù)、奇函數(shù))aaaqf(x)dx=2 o f (x)dx(f為連續(xù)、偶函數(shù))(10) 周期函數(shù)的積分性質(zhì)a+iTT設(shè)f(x)以T為周期的連續(xù)函數(shù)，a為常數(shù)，則.f(x)dx = n. f(x)dxa03、變上限積分的函數(shù)x定義：設(shè)f(x)在a,b上可積，貝X：(x)f(t)dt,x a

16、,b稱為變上限積分的函數(shù)ax(1) 若f(x)在a,b上可積，貝U ：J(x)f(t)dt,x在a,b上連續(xù)a定理：x(2) 若f (x)在a,b上連續(xù)，貝U ：(x)二.f (t)dt在f(x)上可導(dǎo)，且(x)二 f (x)a推廣形式：: 2( X)設(shè) F(X)=1(x)f(t)dt,1(X)2(X)可導(dǎo)，f(x)連續(xù)，則F(X)二 f2(x) ：2(x) - f1(x)1(x)4、牛頓-萊布尼茨公式設(shè)f (x)在a,b上可積，F(xiàn) (x)為f (x)在a, b上任意一個原函數(shù)，bb則有f(x)dx=F(x) |a = F(b)F(a)(注：若f(x)在a,b上連續(xù)，可以很容易地 用上面變上限

17、積分的方 法來證明； 若f (x)在a,b上可積，牛頓-萊布尼茨公式仍成立，但證明方法就很復(fù)雜)5、 定積分的換兀積分法和分部積分法：式子和上下限都變！ ！6、反常積分(1 )無窮區(qū)間上的反常積分:bbb1定義： f (x)dx lim f(x)dx和 f (x)dx lim f (x)dxab)：】aa .：a反常積分不能向定積分那樣把一個區(qū)間去分割，取點，求和，取極限；而是把反常積分定義為定積分取極限狀態(tài)這么考慮， 所以有極限存在(收斂，有值得概念)或不存在(發(fā)散, 沒有值的概念)兩大類。:c: ：cbf(x)dx f(x)dx亠 I f(x)dx lim f(x)dx limf(x)dx

18、ca j：. ab c:Rc判斷f (x)dx的收斂性不能用lim f (x)dx的極限存在性，必須要 求 f (x)dxR )- - R和f(x)dx兩個反常積分都收斂，才能知道"f (x)dx是收斂的。但如果已經(jīng)知道c"f (x)dx是收斂的，而求它的值<230R，那么計算limf(x)dx是可以的R )： -2常用公式:-：dxp xp1收斂P -1:p- 1 發(fā)散咼 dx! x(l nx)p:duup1p -1p 1收斂p - 1發(fā)散 - 0,收斂，空0,發(fā)散,(k -0)(2)無界函數(shù)的反常積分(瑕積分)1設(shè)在f (x)在a,b上除點c(a : c :： b

19、)外連續(xù)，且lim f(x)=:，則稱點c為f (x)的瑕點XTbcbtb定義 f (x)dx f(x)dx亠 I f(x)dx=lim f (x)dx lim f (x)dxaactTcat十丫b(注:若上面兩個極限都存在 時才稱反常積分.f(x)dx是收斂的，ab否則反常積分(f(x)dx發(fā)散)。<2>常用公式:idx 收斂(q : 1 時).0 xq 發(fā)散(q _1時)'.類似考慮1亠匚和乜0（x_1）q -1 xq最后指出：由于反常積分是變限積分的極限, 法則就可以得到反常積分運算法則。例題：1、用常規(guī)方法計算定積分因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算arcsi

20、n_x dx(收斂的反常積分).x(1 - x)Eg1:令 arcs in仮=t, dt = , 1J1 xdx2、xjr兀于是，原式=2 f2 tdt = t $ | 2 =00dx（b - a）（收斂的反常積分）解：令 x = a c o St bs i n t,0 乞 t J ,則原式二 2 (b a) S i r2t dt = :2“(bajcoSsin2 - Eg3 ： u sin 2xdx(分段函數(shù))2 応 I2解：原式 =0(sin x -cosx)2dx 二 o |sin x- cosx |dx = 2 ° |sinx - cosx | dx丑兀r=2 ' (cosx - sinx)dx- (sin x - cosx)dx = 4 24(三)定積分的應(yīng)用1平面圖形的面積2、平面曲線的弧長3、特殊的空間圖形的體積(一般體積要用二重積分)(1 )已知平行截面面積的立體體積dV S(z)d 乙(cEzEd)(2 )繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積<1>平面圖形由曲線 y = y(x)_O與直線x = a, x=b和x軸圍成繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的b 2b體積為Vx -y2(x)dx ；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為 Vy =2二xy(x)dx竹a<2>平面圖形由曲線 y二y(x) _ 0與直線y二c, y二d和y軸圍成繞y軸 旋轉(zhuǎn)一周的d 2