現(xiàn)代數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理

1、現(xiàn)代數(shù)字信號處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告 題 目：基于LMS和RLS的自適應(yīng)濾波器應(yīng)用仿真基于LMS和RLS的自適應(yīng)濾波器應(yīng)用仿真一、自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)濾波器是指利用前一時刻的結(jié)果，自動調(diào)節(jié)當(dāng)前時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機(jī)變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法兩部分組成，如圖1.1所示圖1.1 自適應(yīng)濾波器原理圖x(n)稱為輸入信號，y(n)稱為輸出信號，d(n)稱為期望信號或者訓(xùn)練信號，e(n)為誤差僖號，其中，e(n)=d(n)-y(n)，自適應(yīng)濾波器的系數(shù)(權(quán)值)根據(jù)誤差信號e(n)，通過一定的自適應(yīng)算法不斷的進(jìn)行更新，以達(dá)到使濾波器實(shí)際輸出y(n)與期望響應(yīng)

2、d(n)之間的均方誤差最小。1.1 自適應(yīng)濾波器原理圖中參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波算法是濾波器系數(shù)權(quán)值更新的控制算法，根據(jù)輸入信號與期望信號以及它們之間的誤差信號，自適應(yīng)濾波算法依據(jù)算法準(zhǔn)則對濾波器的系數(shù)權(quán)值進(jìn)行更新，使其能夠使濾波器的輸出趨向于期望信號。記數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)為：h(k)=h0(k) h1(k) hn-1(k)T輸入采樣信號為：x(k)=x(k) x(k-1) x(k-n-1)誤差信號為：優(yōu)化過程就是最小化性能指標(biāo)J(k),它是誤差的平方和：求使J(k)最小的系數(shù)向量h(k),即使J(k)對h(k)的導(dǎo)數(shù)為零，也就是。把J(k)的表達(dá)式代入，得

3、：和 由此得出濾波器系數(shù)的最優(yōu)向量： 這個表達(dá)式由輸入信號自相關(guān)矩陣和輸入信號與參考信號的相關(guān)矩陣組成，如下所示，維數(shù)都為（n,n）:系數(shù)最優(yōu)向量也可以寫成如下形式：自相關(guān)和互相關(guān)矩陣的遞歸表達(dá)式如下：把的遞歸表達(dá)式代入系數(shù)向量表達(dá)式，得：即考慮到可以記用前面得到的表達(dá)式求出，并代入上式：或 則濾波器系數(shù)的遞歸關(guān)系式可以記作其中e(k)表示先驗(yàn)誤差。只因?yàn)樗怯汕耙粋€采樣時刻的系數(shù)算出的，在實(shí)際中，很多時候由于h(k)計(jì)算的復(fù)雜度而不能應(yīng)用于實(shí)時控制。用,I代換，其中：為自適應(yīng)梯度，I為辨識矩陣（n，n）這時這時就是一個最小均方準(zhǔn)則問題。二、自適應(yīng)算法自適應(yīng)算法中使用最廣的是下降算法，下降算法

4、的實(shí)現(xiàn)方式有兩種：自適應(yīng)梯度算法和自適應(yīng)高斯-牛頓算法。自適應(yīng)高斯-牛頓算法包括RLS算法及其改進(jìn)型，自適應(yīng)梯度算法的典型例子即是LMS算法1。 2.1 LMS算法最陡下降算法不需要知道誤差特性曲面的先驗(yàn)知識，其算法就能收斂到最佳維納解，且與起始條件無關(guān)。但是最陡下降算法的主要限制是它需要準(zhǔn)確測得每次迭代的梯度矢量，這妨礙了它的應(yīng)用。為了減少計(jì)算復(fù)雜度和縮短自適應(yīng)收斂時間許多學(xué)者對這方面的新算法進(jìn)行了研究。1960年，美國斯坦福大學(xué)的Windrow等提出了最小均方（LMS）算法，這是一種用瞬時值估計(jì)梯度矢量的方法，即可見，這種瞬時估計(jì)法是無偏的，因?yàn)樗钠谕礒確實(shí)等于矢量。所以，按照自適應(yīng)濾

5、波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計(jì)的方向之間的關(guān)系，可以先寫出LMS算法的公式如下：將式e(n)=d(n)-y(n)和e(n)=d(n)-wHx(n)代入到上式中，可得到圖2.1 自適應(yīng)LMS算法信號流圖由上式可以得到自適應(yīng)LMS算法的信號流圖，這是一個具有反饋形式的模型，如圖2.1所示。如同最陡下降法，我們利用時間n=0的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值w(0),然后開始LMS算法的計(jì)算，其步驟如下。(1) 由現(xiàn)在時刻n的濾波器濾波系數(shù)矢量估值，輸入信號矢量x(n)以及期望信號d(n)，計(jì)算誤差信號：(2) 利用遞歸法計(jì)算濾波器系數(shù)矢量的更新估值：將時間指數(shù)n增加1，回到步驟(1)，重復(fù)上述計(jì)算

6、步驟，一直到達(dá)穩(wěn)態(tài)為止。由此可見，自適應(yīng)LMS算法簡單，它既不要計(jì)算輸入信號的相關(guān)函數(shù)，又不要求矩陣之逆，因而得到了廣泛的應(yīng)用。但是，由于LMS算法采用梯度矢量的瞬時估計(jì)，它有大的方差，以致不能獲得最優(yōu)濾波性能2。2.2 RLS算法遞推最小二乘(RLS)算法是一種在自適應(yīng)迭代的每一步都要求最優(yōu)的迭代算法，濾波器輸出信號法，濾波器輸出信號等于輸入信號與沖激響應(yīng)序列的卷積和，即 (2-1)誤差信號。由此可以得到自適應(yīng)橫向?yàn)V波器按最小均方準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的代價函數(shù) (2-2)式中與分別為自適應(yīng)濾波器的期望相應(yīng)于輸出信號。為誤差信號。其目的在于確保濾波器能夠忘記“過去的”數(shù)據(jù)以確保算法適用于非平穩(wěn)的環(huán)境，n為

7、可變的數(shù)據(jù)長度。將式（2-1）帶入式(2-2)并展開，得到 (2-3)式中M=N。為了簡短地表示濾波器地代價函數(shù)，將上示中有關(guān)項(xiàng)定義為以下參數(shù)：(1) 確定性相關(guān)函數(shù)表示輸入信號在抽頭k與抽頭m之間兩信號的相關(guān)性，即：(2) 確定性相互關(guān)系函數(shù)表示期望響應(yīng)與在抽頭k輸入信號之間的互相關(guān)姓，即：(3) 期望響應(yīng)序列的能量為：將上述定義的三個參數(shù)代入式(2-3)中，得到為了估算濾波器的最佳濾波器系數(shù),把上示對濾波器系數(shù)(權(quán)系數(shù))微分一次，并令其導(dǎo)數(shù)等于零:得到 這是最小二乘法自適應(yīng)濾波的正則方程，其所用輸入信號確定性自相關(guān)函數(shù)，期望響應(yīng)序列與輸入信號之間的確定性互相關(guān)函數(shù)都是在有限觀察范圍內(nèi)的時間

8、平均值，而不是總體平均(數(shù)學(xué)期望)值。 (2-4)式中為Ml維最小均方估計(jì)的濾波器系數(shù)，為延遲線抽頭輸入信號的確定性相關(guān)函數(shù)MM維矩陣，為沖激響應(yīng)序列與輸入信號之間確定性互相關(guān)函數(shù)Ml維矢量。假定矩陣是非奇異的，其逆矩陣存在，則由(2-4)求得最小平方自適應(yīng)濾波的權(quán)矢量為式中，是確定性相關(guān)矩陣之逆。確定性相關(guān)函數(shù)表達(dá)式可以重新寫成這是一個更新確定性相關(guān)函數(shù)的遞推方程。相關(guān)函數(shù)更新公式可以寫成矩陣形式: 式中，矩陣代表相關(guān)函數(shù)的更新校正項(xiàng)。為了計(jì)算方便。令則這里矢量稱之為增益矢量。如果將上式兩邊右乘以延遲線抽頭輸入信號矢量。得到簡化為：可得到時間遞歸形式：表示確定性互相關(guān)函數(shù)遞歸計(jì)算方程式中的更

9、新校正項(xiàng)。由上式可以得到確定性互相關(guān)矢量遞歸計(jì)算公式:將代入上式得到：得到濾波系數(shù)矢量的遞歸計(jì)算公式為：式中，是真正的估計(jì)誤差，RLS算法的主要優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，且對自相關(guān)矩陣特征值的分散性不敏感，其缺點(diǎn)是計(jì)算量比較大。三、仿真模型圖3.1 自適應(yīng)濾波仿真模型濾波器輸入為N個單頻信號之和，其中。根據(jù)濾波器的設(shè)計(jì)要求可以得到理想的目標(biāo)信號，其中為增益， 為相移。同時讓x(t) 輸入到自適應(yīng)FIR 濾波器。通過使期望信號d(t)與自適應(yīng)濾波器的輸出y(t)之間的誤差平方最小化來調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)，以完成實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)偽濾波器為線性相位低通濾波器，在的增益為1，在的增益為-50dB，線性相位表示，其

10、中為常數(shù)。四、實(shí)現(xiàn)代碼及仿真結(jié)果4.1 基于LMS算法自適應(yīng)濾波器仿真1、基于LMS算法自適應(yīng)濾波器的Matlab實(shí)現(xiàn)程序程清單如下： N=500;M=20;n=1;a1=-0.8;h=zeros(M,n+1,3);e=zeros(M,n,3);for d=1:3 if d=1 delta=0.01; else delta=0.05*(d-1); end; for k=1:M b=0.2*randn(1,N); y(1)=1; for i=2:N y(i)=-a1*y(i-1)+b(i); end for i=n+1:N e(k,i,d)=y(i)-h(k,i,d)*y(i-1); h(k,i

11、+1,d)=h(k,i,d)+delta*y(i-1)*e(k,i,d); end endendfor d=1:3 for i=1:N em(i,d)=0; hm(i,d)=0; for j=1:M em(i,d)=em(i,d)+e(j,i,d)2; hm(i,d)=hm(i,d)+h(j,i,d); end endend figure(1) semilogy(1:150,em(1:150,1),hold on semilogy(1:150,em(1:150,2),r),hold on semilogy(1:150,em(1:150,3),g),hold off axis(0 150 0.0

12、1 1),grid title(Mean square error ) xlabel(Samples) gtext(leftarrowd=0.01); gtext(leftarrowd=0.05); gtext(leftarrowd=0.1); figure(2),plot(1:N,hm(1:N,1),hold on plot(1:N,hm(1:N,2),r),hold on plot(1:N,hm(1:N,3),g),hold off,grid title(Filter coeffcient evalution) xlabel(Samples), gtext(d=0.01), gtext(d

13、=0.05), gtext(d=0.1)2、仿真結(jié)果如圖4.1所示：圖4.1 平均方差誤差根據(jù)圖4.2所示，可知系數(shù)以時間常數(shù)的指數(shù)曲線收斂，越大，時間常數(shù)越?。?圖4.2 濾波器系數(shù)曲線4.2 RLS算法自適應(yīng)濾波器仿真1、基于RLS算法自適應(yīng)濾波器的Matlab實(shí)現(xiàn)程序見清單如下：N=1000;n=200;k=12;Ts=1e-1b=0.8*randn(1,N);for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N); x(1,i)=xr(1,i)+b(i);end Cxx=10000*eye(n);g=zeros(N,n);h=zeros(N,n);e=zeros(1,N);

14、y=zeros(1,N);tr=zeros(1,N); for i=n+1:N g(i,:)=(Cxx*x(i-n+1:i)./(1+x(i-n+1:i)*Cxx*x(i-n+1:i); e(1,i)=xr(i)-h(i-1,:)*x(i-n+1:i); h(i,:)=h(i-1,:)+e(1,i)*g(i,:); Cxx=Cxx-g(i,:)*x(i-n+1:i)*Cxx; y(1,i)=h(i,:)*x(i-n+1:i); tr(1,i)=trace(Cxx);end figure(1)plot(0:N-n,x(1,n:N),gridtitle(x(k) input singnal in

15、V)xlabel(Samples) figure(2)plot(0:N-n,xr(1,n:N),r),gridaxis(0 800 -1.2 1.2)title(xr(k) reference singnal in V)xlabel(Samples) figure(3)plot(0:N-n,e(1,n:N),hold onplot(0:N-n,y(1,n:N),r),hold on gridtitle(e(k) error and y(k) output in V)xlabel(Samples)gtext(e(k),gtext(y(k) figure(4)plot(0:N-n,h(n:N,1)

16、,hold onplot(0:N-n,h(n:N,2),r),hold offgridtitle(a(n-1) and a(n-2) coeffcients evolution)xlabel(Samples) figure(5)num1=fliplr(h(N,:);sys1=tf(num1,1,Ts);bode(sys1),hold offtitle(Synthesized filter)xlabel(Frequency in rad/s)ylabel(Phase in degree;Module in dB) figure(6)semilogy(0:N-n,tr(n:N),gridtitle

17、(Cxx matrix trace)xlabel(Samples)2、仿真結(jié)果如圖所示下：圖4.3 輸入信號x(k)圖4.4 參考信號xr(k)圖4.5 誤差e(k)和輸出信號y(k) 圖4.6 濾波器系數(shù)a(n-1)和a(n-1)變化曲線系數(shù)的變化曲線在200步時有一個超調(diào)，這是由于h(k)向量為零，所以200步以后僅代表x值。獲得的濾波器的傳遞函數(shù)也類似于LMS濾波器的傳遞函數(shù)，相應(yīng)的預(yù)測也類似。它的中心頻率調(diào)整為正弦信號頻率，即75rad/s，如下圖所示圖4.7 合成濾波器傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性圖4.8 Cxx矩陣曲線Cxx曲線在采樣步數(shù)n=200時突變。200步以后曲線值變小，使

18、濾波器不能再根據(jù)輸入信號的統(tǒng)計(jì)變換進(jìn)行調(diào)整。五、總結(jié)由于LMS 算法只是用以前各時刻的抽頭參量等作該時刻數(shù)據(jù)塊估計(jì)時的平方誤差均方最小的準(zhǔn)則，而未用現(xiàn)時刻的抽頭參量等來對以往各時刻的數(shù)據(jù)塊作重新估計(jì)后的累計(jì)平方誤差最小的準(zhǔn)則，所以LMS 算法對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性差。而RLS算法的基本思想是力圖使在每個時刻對所有已輸入信號而言重估的平方誤差的加權(quán)和最小，這使得RLS 算法對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性要好。與LMS 算法相比，RLS 算法采用時間平均，因此，所得出的最優(yōu)濾波器依賴于用于計(jì)算平均值的樣本數(shù)，而LMS算法是基于集平均而設(shè)計(jì)的，因此穩(wěn)定環(huán)境下LMS算法在不同計(jì)算條件下的結(jié)果是一致的。在性能方面，

19、RLS 的收斂速率比LMS 要快得多，因此，RLS在收斂速率方面有很大優(yōu)勢。RLS 算法和LMS 算法在處理過程中的誤差曲線的仿真結(jié)果中，指出了在迭代過程中的誤差減少過程。由圖可見，RLS 算法在迭代過程中產(chǎn)生的誤差明顯小于LMS 算法。由此可見，RLS 在提取信號時，收斂速度快，估計(jì)精度高而且穩(wěn)定性好，可以明顯抑制振動加速度收斂過程，故對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性強(qiáng)，而LMS 算法收斂速度慢，估計(jì)精度低而且權(quán)系數(shù)估計(jì)值因瞬時梯度估計(jì)圍繞精確值波動較大，權(quán)噪聲大，不穩(wěn)定。自適應(yīng)濾波是信號處理的重要基礎(chǔ)，近年來發(fā)展速度很快，在各個領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問題中，迫切需要研究有效、實(shí)用的自適應(yīng)算法。本文在對自適應(yīng)濾波的兩種算法進(jìn)行了比較。比較的內(nèi)容主