郭德泉數(shù)值分析

1、青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 本科生課程論文題 目： 數(shù)值分析課程設(shè)計 姓 名： 郭德泉 學(xué) 院： 理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計算科學(xué) 班 級： 12級01班 學(xué) 號： 20125990 指導(dǎo)教師： 常桂娟 完成時間： 2014年11月30日 二一四年十二月一日 課 程 論 文 任 務(wù) 書學(xué)生姓名 郭德泉 指導(dǎo)教師 常桂娟 論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計 論文內(nèi)容（需明確列出研究的問題）： 運用數(shù)值分析的知識 來解決數(shù)學(xué)研究問題中的計算問題。（1）列主元Gauss消去法解方程組。（2）雅克比迭代法和高斯迭代法求線性方程組的解。（3）求解拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式。 資料、數(shù)據(jù)、技術(shù)水平等方面的要

2、求：論文要符合一般學(xué)術(shù)論文的寫作規(guī)范，具備學(xué)術(shù)性、科學(xué)性和一定的創(chuàng)造性。文字要流暢、語言要準(zhǔn)確、論點要清楚、論據(jù)要準(zhǔn)確、論證要完整、嚴(yán)密，有獨立的觀點和見解。內(nèi)容要理論聯(lián)系實際，計算數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確，涉及到他人的觀點、統(tǒng)計數(shù)據(jù)或計算公式等要標(biāo)明出處，結(jié)論要寫的概括簡短。參考文獻(xiàn)的書寫按論文中引用的先后順序連續(xù)編碼。（根據(jù)情況修改） 發(fā)出任務(wù)書日期2014.11.20 完成論文（設(shè)計）日期 2014.11.30 學(xué)科組或教研室意見（簽字） 院、系（系）主任意見（簽字） 注：此表裝訂在課程論文之前。 4 目錄【摘要】·······&

3、#183;·················································&

4、#183;·······1【關(guān)鍵詞】·········································&

5、#183;······················1 【前言】··························&

6、#183;······································2一、列主元Gauss消去法·········

7、;··········································3（一）理論知識：······&#

8、183;················································3（二）題目：&

9、#183;·················································&

10、#183;·······4（三）程序清單：········································

11、3;·············4 （四）程序運行操作過程與輸出結(jié)果：·································

12、83;···5 （五）對計算過程與結(jié)果的分析：·········································7（六）在課程設(shè)計中的心得體會：

13、·········································7二、雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法······

14、;·································8（一）理論知識：···············&#

15、183;·······································8（二）題目：·········&

16、#183;················································8（三）程序清

17、單：·················································

18、3;···10（四）程序運行操作過程與輸出結(jié)果：····································10（五）對計算過程與結(jié)果的分析：····

19、3;···································13 （六）在課程設(shè)計中的心得體會············

20、;·····························13三、求拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式·················&

21、#183;···············14（一）基礎(chǔ)知識：································

22、83;·····················14（二）題目：···························&

23、#183;······························15（三）程序清單：·················

24、83;···································16（四）程序運行操作過程與輸出結(jié)果：···········&#

25、183;························18 （五）對計算過程與結(jié)果的分析：······················&#

26、183;·················18 （六）在課程設(shè)計中的心得體會：·····························&#

27、183;··········19四、參考文獻(xiàn)······································

28、·····················19五、課程設(shè)計自我評價···························

29、·························20 數(shù)值分析課程設(shè)計 信息與計算科學(xué)專業(yè) 郭德泉 指導(dǎo)教師 常桂娟【摘要】 數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算方法，是數(shù)學(xué)中計算數(shù)學(xué)分支的重要內(nèi)容。近幾十年來，隨著計算機的飛速發(fā)展，數(shù)值計算方法的學(xué)習(xí)與研究越來越離不開計算機。實際計算中遇到的數(shù)值問題只有與計算機相結(jié)合，算法與程序密切聯(lián)系，形

30、成切實可靠的數(shù)值軟件才能為社會創(chuàng)造更大的社會財富。本文主要描述運用數(shù)值分析的知識來解決數(shù)學(xué)研究問題中的計算問題，包括運用列主元高斯消去法求方程組的的解；運用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求線性方程組的解；求四次拉格朗日插值多項式及牛頓插值多項式?！娟P(guān)鍵詞】 gauss消去法 雅克比迭代法 高斯-賽德爾迭代法 lagrange插值 Newton插值 前言 本文主要介紹要MATLAB軟件完成對各種數(shù)學(xué)問題的求解，數(shù)值分析的問題求解過程會有一定的復(fù)雜性，通過MATLAB軟件計算，提高了運算速度，避開了復(fù)雜的運算過程，對我們的學(xué)習(xí)有很大的幫助。數(shù)值分析是一門基礎(chǔ)課,它象通常的數(shù)學(xué)課程一樣有自身嚴(yán)密的

31、科學(xué)體系,但它又是一門應(yīng)用性很強的課程,目的是使學(xué)生能夠用本課程的理論在計算機上實現(xiàn)有關(guān)的科學(xué)與工程計算,計算能力的培養(yǎng)對工科各專業(yè)的學(xué)生都是十分重要的,數(shù)值分析課程的課程設(shè)計環(huán)節(jié)正是為了適應(yīng)這種需要而設(shè)置的,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)各種算法時,能在課程設(shè)計環(huán)節(jié)中深刻體會算法的內(nèi)涵、物理背景和實際意義,同時也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣, 而更重要的是能提高學(xué)生綜合運用知識的能力和培養(yǎng)學(xué)生利用計算機解決實際問題的能力。 現(xiàn)在，讓我們一起學(xué)習(xí)用MATLAB軟件解決一下 數(shù)學(xué)問題吧。 一、列主元Gauss消去法（一）理論知識： 1.列主元Gauss消去法就是通過矩陣的行變換達(dá)到消元的目的，從而將方程組的系數(shù)矩

32、陣由對稱矩陣變?yōu)槿蔷仃?，最后獲得方程組的解。定理：當(dāng)一個方陣A的1-（n-1）階順序主子式都不為0時，A存在唯一的doolittle(杜利特爾)分解。對于滿足條件的這個方陣，采用直接三角分解法可以得到這個唯一的L、U矩陣。但事實上，matlab的lu函數(shù)并不是采用直接三角分解法，因為直接三角分解法存在著引入很大舍入誤差的可能（直接分解法過程中，當(dāng)對角元為零或很小時）。matlab的lu函數(shù)采用的是列主元三角分解法，又稱為PLU分解，實現(xiàn)LU=PA。該分解法要求的前提條件是A為非奇異矩陣 2.使用matlab自帶命令lu函數(shù). 將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)變成等價兩個矩陣L和U的乘積 ，其中L和U分別是下三

33、角和上三角矩陣。當(dāng)A的所有順序主子式都不為0時，矩陣A可以分解為A=LU，其中L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣。L，U=lu(X)：產(chǎn)生一個上三角矩陣U和一個“心理上下三角矩陣”L（即由下三角矩陣和置換矩陣構(gòu)成），使得X=L*U。L,U,P=lu(X);產(chǎn)生一個上三角矩陣U和一個下三角矩陣L，以及一個置換矩陣P，使得P*X=L*U 。其中X必須是方陣（2） 題目： 1. 用列主元Gauss消去法解方程組（3） 程序清單： 1.列主元Gauss消去法MATLAB程序如下：%magauss2.mfunction x=magauss2(A,b,flag)%用途：列主元Gauss消去法解線性方程組A

34、x=b%格式：x=magauss(A,b,flag),A為系數(shù)矩陣，b為右端項，若flag=0，則不顯示中間過程，否則顯示中間過程，默認(rèn)為0，x為解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b);for k=1:(n-1) % 選主元 ap,p=max(abs(A(k:n,k); p=p+k-1; if p>k t=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=t; t=b(k);b(k)=b(p);b(p)=t; end %消元 m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+

35、1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag=0, Ab=A,b,endend%回代x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k);end 2.輸入>> A=2 2 3;4 7 7;-2 4 5; %用數(shù)組形式將A的值輸入>> b=3 1 -7' %用數(shù)組形式將b的值輸入>> L,U,P=lu(A) %產(chǎn)生一個上三角矩陣U和一個下三角矩陣L（4） 程序運

36、行操作過程及輸出結(jié)果 （1）在MATLAB命令窗口執(zhí)行>> A=2 2 3;4 7 7;-2 4 5;>> b=3 1 -7'>> x=magauss2(A,b); x'得到計算結(jié)果：ans =2.0000 -2.0000 1.0000 （2）>> A=2 2 3;4 7 7;-2 4 5; %用數(shù)組形式將A的值輸入>> b=3 1 -7' %用數(shù)組形式將b的值輸入>> L,U,P=lu(A) %產(chǎn)生一個上三角矩陣U和一個下三角矩陣LL = %產(chǎn)生一個下三角矩陣L 1.0000 0 0 -0.500

37、0 1.0000 0 0.5000 -0.2000 1.0000U = %產(chǎn)生一個上三角矩陣U 4.0000 7.0000 7.0000 0 7.5000 8.5000 0 0 1.2000P = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 >> y=L(P*b)y = 1.0000 -6.5000 1.2000>> x=Uyx = 2.0000 -2.0000 1.0000（五）對計算過程及結(jié)果的分析：通過檢驗可以得出結(jié)果是準(zhǔn)確的，正確反應(yīng)了實驗程序編寫的正確性。并且Gauss消去法的消元過程不至于中斷，避免了普通高斯消元法中遇到某個主元為零或者當(dāng)主元絕對值很小時，計算將會停

38、止或求出的結(jié)果將與其實際結(jié)果相差很遠(yuǎn)的情況，并且舍入誤差較小。另外利用matlab自帶命令lu函數(shù)，來幫助解決此問題會更加快捷。（6） 在課程設(shè)計中的心得體會 矩陣的轉(zhuǎn)置符號要用英文輸入法下的單引號代替，否則將會出現(xiàn)錯誤，運行不出結(jié)果。 二、雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法（1） 理論知識： 1、.diag(A)是提取出矩陣A的主對角線元素,得到的是一維向量,diag(diag(A)是一個對角矩陣.如A=1,2,3;4,5,6;7,8,9,則diag(A)=1 5 9; 而diag(diag(A)=1,0,0;0,5,0;0,0,9 2. tril(A)產(chǎn)生A矩陣的下三角矩陣，其余元素補0 3

39、. triu(A)產(chǎn)生A矩陣的上三角矩陣，其余元素補0 4. inv(A)求A矩陣的逆矩陣 5. norm(X,p) 功能:norm函數(shù)可計算幾種不同類型的向量范數(shù),根據(jù)p的不同可得到不同的范數(shù) （二）題目： 用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求線性方程組的解，初始迭代值，求近似解使其滿足（3） 程序清單： 1、Jacobi程序清單i=1;a=0.9889 0.0005 0.0002 0.3372;-0.0046 0.9946 0.0077 0.5381;-0.0002 0.0092 0.9941 0.1936;-0.8002 0.5671 0.1849 0.3891;d=diag(diag(

40、a);l=d-tril(a);u=d-triu(a);d0=inv(d);b=1;0;1;0;x0=zeros(4,1);B=d0*(l+u);f=d0*b;x=B*x0+f;while norm(x-x0,inf)>=1e-6 %10的負(fù)6次方 x0=x; x=B*x0+f; i=i+1;endxi 2、Gauss-Seidel程序清單i=1;a=0.9889 0.0005 0.0002 0.3372;-0.0046 0.9946 0.0077 0.5381;-0.0002 0.0092 0.9941 0.1936;-0.8002 0.5671 0.1849 0.3891;d=diag

41、(diag(a);l=d-tril(a);u=d-triu(a);b=1;0;1;0;x0=zeros(4,1);B=inv(d-l)*u;f=inv(d-l)*b;x=B*x0+f; while norm(x-x0,inf)>=1e-6 x0=x; x=B*x0+f; i=i+1;endxI （四）程序運行操作過程與輸出結(jié)果 1、在MATLAB中輸入>> i=1;a=0.9889 0.0005 0.0002 0.3372;-0.0046 0.9946 0.0077 0.5381;-0.0002 0.0092 0.9941 0.1936;-0.8002 0.5671 0.18

42、49 0.3891;d=diag(diag(a);l=d-tril(a);u=d-triu(a);d0=inv(d);b=1;0;1;0;x0=zeros(4,1);B=d0*(l+u);f=d0*b;x=B*x0+f;while norm(x-x0,inf)>=1e-6 %10的負(fù)6次方 x0=x; x=B*x0+f; i=i+1;endxi點擊Enter結(jié)果如下x = 0.3454 -1.0604 0.6353 1.9539i =192、 在MATLAB中輸入 >> i=1;a=0.9889 0.0005 0.0002 0.3372;-0.0046 0.9946 0.00

43、77 0.5381;-0.0002 0.0092 0.9941 0.1936;-0.8002 0.5671 0.1849 0.3891;d=diag(diag(a);l=d-tril(a);u=d-triu(a);b=1;0;1;0;x0=zeros(4,1);B=inv(d-l)*u;f=inv(d-l)*b;x=B*x0+f; while norm(x-x0,inf)>=1e-6 x0=x; x=B*x0+f; i=i+1;endxi按Enter鍵得出結(jié)果x = 0.3454 -1.0604 0.6353 1.9539i =10 （五）對計算過程及結(jié)果的分析： 該問題的數(shù)據(jù)都在小數(shù)點

44、后面五位了，如果用紙筆計算的話運算起來將會相當(dāng)麻煩，這次就更顯示出了，運用MATLAB軟件計算的有效性，而且雖然是大數(shù)據(jù)運算起來準(zhǔn)確性還是可以保證的。比較兩種方法，雅可比迭代法在解決此問題上會較為精確些。 （六）在課程設(shè)計中的心得體會 問題中的數(shù)據(jù)比較多，且比較長要細(xì)心輸入，否則容易出錯 。第二，第一次看到，兩種方法的運行結(jié)果不一致時，感覺有些詫異，但一分析這數(shù)據(jù)的精確度問題，和方法問題，明白這誤差是可以理解的。 三、求拉格朗日插值多項式及牛頓插值多項式（1） 理論知識： 定義1： 設(shè)為區(qū)間上函數(shù)，為上個互不相同的點，為給定的某一函數(shù)類，若上有函數(shù)，滿足. (1)則稱為關(guān)于節(jié)點在上的插值函數(shù)，

45、稱點為插值節(jié)點；稱為插值型值點，簡稱型值點或插值點;稱為被插函數(shù).定義2： 已知函數(shù)在區(qū)間上的個點的值，即已知，尋求一個解析形式的函數(shù)，使之滿足 (2)則稱為插值結(jié)點,為被插值函數(shù)，為插值函數(shù)，稱條件為插值條件，若為次數(shù)不超過的多項式，即， . (3)其中為實數(shù)，則稱為插值多項式.定理1:在個相異結(jié)點滿足插值條件而次數(shù)不高于的多項式是唯一的.拉格朗日插值多項式定義：對某個多項式函數(shù)，已知有給定的k + 1個取值點：其中xj對應(yīng)著自變量的位置，而yj對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值。假設(shè)任意兩個不同的xj都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：其中每個為拉

46、格朗日基本多項式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：拉格朗日基本多項式的特點是在xj 上取值為1，在其它的點 上取值0。求拉格朗日插值多項式的算法：輸入：數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)點構(gòu)成的向量x，y和要求的點x0；輸出：拉格朗日插值多項式已經(jīng)特值對應(yīng)的y值Step1: 對于i=1:n 對于j=1：n 如果j不等于i，執(zhí)行step2； 執(zhí)行step3Step2: l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j);/這就是計算出的拉格朗日基本多項式step3：f=f+l;/計算插值多項式（2） 題目：根據(jù)下表所列的數(shù)據(jù)點求出四次拉格朗日插值多項式及牛頓插值多項式，并計算當(dāng)x=2.0時的值。0.20.40.60.81.

47、00.980.920.810.640.38（3） 程序清單：1、拉格朗日插值function f=Lagrange(x,y,x0)% 求已知數(shù)據(jù)點的拉格朗日插值多項式% 已知數(shù)據(jù)點的x坐標(biāo)向量:x% 已知數(shù)據(jù)點的y坐標(biāo)向量:y%插值的x坐標(biāo):x0%求得的拉格朗日插值多項式在x0處的插值:fsyms t; %定義符號變量x=0.2 0.4 0.6 0.8 1.0;y=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;if(length(x)=length(y) n=length(x);else disp('x和y的維數(shù)不相等!'); return;end %檢驗錯誤f=0.0;for(i=1:n) l=y(i); for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j);%計算拉格朗日基函數(shù) end; f=f+l; %計算拉格朗日插值函數(shù) simplify(f); %化簡 if(i=n) if(nargin=3) % nargin是用來判斷輸入變量個數(shù)的函數(shù) f=subs(f,'t',x0); %計算插值點的函數(shù)值,把xo賦給t帶入f中計算,結(jié)果賦給f else f=collect(f); %將