北師大版九年級(jí)上第一章特殊平行四邊形導(dǎo)學(xué)案

1、3.2特殊平行四邊形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力 2、能運(yùn)用綜合法證明矩形、菱形、正方形性質(zhì)定理和判定定理 3、體會(huì)證明過(guò)程中所運(yùn)用的歸納概括以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法【重點(diǎn)難點(diǎn)】 掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定以及證明方法知識(shí)概覽圖新課導(dǎo)引【生活鏈接】 如圖（1）所示，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的4個(gè)頂點(diǎn)A，B， C，D處均有一棵大核桃樹田村準(zhǔn)備挖池塘建養(yǎng)魚池，想使養(yǎng)魚池面積為原池塘面積的兩倍，又想保持核桃樹不動(dòng)并要求擴(kuò)建后的養(yǎng)魚池為平行四邊形田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想? 【問(wèn)題探究】 問(wèn)題中要求擴(kuò)建后的養(yǎng)魚池面積為原池塘面積的兩倍，

2、形狀成平行四邊形，且核桃樹不動(dòng)，即設(shè)法使A，B，C，D四點(diǎn)在所作平行四邊形的邊上，聯(lián)想平行四邊形的性質(zhì)，將原四邊形分成四個(gè)三角形，把每一個(gè)三角形都補(bǔ)成一平行四邊形，即得到滿足條件的平行四邊形設(shè)計(jì)出符合題意的圖形，如圖（2）所示【點(diǎn)撥】分別以AB，BC，CD，DA為對(duì)角線作 AEBO， BFCP， CGDO， DHAO，則ABOBAE，BCOCBF，CDODCG，ADODAH，所以SABO+SBCO+SCDO+SADOSEFGH.即S四邊形ABCDSEFGH教材精華知識(shí)點(diǎn)1 矩形的性質(zhì)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形的性質(zhì) 矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)除此之外，它

3、還有自己特有的性質(zhì)，矩形的相關(guān)性質(zhì)定理如下（1）矩形的四個(gè)角都是直角用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖340所示，如果四邊形ABCD是矩形，那么AB CD90°（2）矩形的對(duì)角線相等用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖34l所示，如果四邊形ABCD是矩形，那么ACBD.性質(zhì)定理的推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖3-42所示，在RtABC中，AD是斜邊BC的中線，則ADBC這是證明線段相等、線段倍分關(guān)系、角相等的重要依據(jù)拓展 矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)腰長(zhǎng)相等的等腰三角形，當(dāng)兩條對(duì)角線夾角為60°時(shí)，必有一邊長(zhǎng)等于對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即這四個(gè)三角形中有兩個(gè)是等邊三

4、角形知識(shí)點(diǎn)2 矩形的判定矩形的判定（1）用定義判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的判定定理l：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）矩形的判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 矩形的判定定理的證明 （1）判定定理1的證明： 已知：如圖3-43所示，在四邊形ABCD中，ABC90°求證：四邊形ABCD是矩形證明：AB90°，A+B180°， ADBC同理，ABDC 四邊形ABCD是平行四邊形 四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）（2）判定定理2的證明：已知：如圖344所示，四邊形ABCD是平行四邊形，且ACBD求證：平行四邊形ABC

5、D是矩形證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADCBADCBCD180°DCCD，ACBD，ADBC，ADCBCD（SSS）ADCBCDADCBCD90°平行四邊形ABCD為矩形拓展（1）矩形的每種判定方法都有兩個(gè)條件定義：是平行四邊形；有一個(gè)角是直角判定定理1：是四邊形；有三個(gè)角是直角判定定理2：是平行四邊形；對(duì)角線相等（2）注意不要不加考慮地把性質(zhì)定理的逆命題作為矩形的判定定理知識(shí)點(diǎn)3 菱形的性質(zhì)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有自己特有的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)定理如下（1）菱形的四條邊都相等用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表

6、示：如圖3-45所示，若四邊形ABCD是菱形，則ABBCCDDA（2）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖3-46所示，若四邊形ABCD是菱形，AC，BD是對(duì)角線，則ACBD，且AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC.拓展（1）菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖3-47所示，在菱形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，則S菱形 AC·BD（2）如果菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°或120°，則兩邊與較短對(duì)角線可構(gòu)成等邊三角形，這是非常有用的基本圖形另外，兩條對(duì)角線把菱形分成了四個(gè)全等的含30°角的直角

7、三角形探索交流 我們知道，若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a，b，則菱形的面積Sab.那么在對(duì)角線互相垂直的四邊形中，面積也為它的對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半嗎? 為什么?點(diǎn)拔 菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，這一公式可以推廣到對(duì)角線互相垂直的四邊形中如圖3-48所示，在四邊形ABCD中，ACBD，則S四邊形ABCDAC·BD理由如下：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，ACBD，SABDAO·BD，SBCDOC·BD，S四邊形ABCDSABD+SBCDAO·BD+ OC·BDBD（AO+OC）BD·AC即菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，這一公式可以推廣到對(duì)角線

8、互相垂直的四邊形中知識(shí)點(diǎn)4 菱形的判定用定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定定理l：四條邊都相等的四邊形是菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形拓展（1）菱形的判定定理1，2的起點(diǎn)不同，一個(gè)是四邊形，一個(gè)是平行四邊形判定的條件也不同，一個(gè)是四條邊都相等，一個(gè)是對(duì)角線互相垂直（2）注意這里的起點(diǎn)和條件不能張冠李戴，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。知識(shí)點(diǎn)5 正方形的性質(zhì) 定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形拓展（1）正方形既是有一組鄰邊相等的矩形又是有一個(gè)角是直角的菱形（2）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形（3）正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是

9、特殊的菱形正方形的性質(zhì)正方形是平行四邊形中性質(zhì)最豐富的圖形，它既是矩形又是菱形正方形的具體性質(zhì)如下正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖3-49所示，若四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則DABABCBCDCDA90°，ABBCCDDA，OAOBOCOD，ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC拓展（1）正方形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)它的軸對(duì)稱性可知，在正方形一條對(duì)角線上任取一點(diǎn)，它到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（2）正方形的兩條對(duì)角線分正方形成四個(gè)大等腰直角三角形和四個(gè)小等

10、腰直角三角形，每條對(duì)角線長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的倍，且對(duì)角線分正方形的內(nèi)角成45°角，這是在證明或計(jì)算中常用到的知識(shí)點(diǎn)6正方形的判定判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種（1）先證明它是矩形，再證明有一組鄰邊相等（2）先證明它是菱形，再證明有一個(gè)角為直角還可以根據(jù)正方形的特殊性進(jìn)行判定：（1）對(duì)角線相等的菱形是正方形（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形判定正方形的一般順序（1）先證明是平行四邊形（2）再證明有一組鄰邊相等（或有一個(gè)角是直角）（3）最后證明有一個(gè)角是直角（或有一組鄰邊相等）拓展 （1）證明一個(gè)四邊形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少條件（2）四邊形之間的關(guān)系如圖3-50

11、所示，對(duì)各種四邊形的性質(zhì)和判定可以從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面分類識(shí)別（3）正方形、矩形、菱形、平行四邊形之間的包含關(guān)系如圖3-5l所示知識(shí)點(diǎn)7 中點(diǎn)四邊形定義：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，如圖3-52所示，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，四邊形EFGH就是中點(diǎn)四邊形那么，任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀呢?連接AC，易證HGAC，EFAC，所以HG EF，可得四邊形EFGH為平行四邊形任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀從探索中我們發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對(duì)角線有密切關(guān)系先將原四邊形分為：（1）一般四邊形；

12、（2）一般平行四邊形；（3）矩形；（4）菱形；（5）正方形；（6）一般梯形；（7）等腰梯形；（8）直角梯形為了便于觀察、探索，我們列表如下：序號(hào)名稱圖形兩條對(duì)角線的關(guān)系中點(diǎn)四邊形1一般四邊形不垂直、不相等平行四邊形2一般平行四邊形不垂直、不相等平行四邊形3矩形不垂直但相等菱形4菱形垂直但不相等矩形5正方形垂直且相等正方形6一般梯形不垂直、不相等平行四邊形7等腰梯形不垂直但相等菱形8直角梯形不垂直、不相等平行四邊形原四邊形的對(duì)角線與中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)系由上表我們可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：原四邊形對(duì)角線間的關(guān)系中點(diǎn)四邊形舉例相等菱形矩形、等腰梯形，對(duì)角線相等的四邊形互相垂直矩形菱形，對(duì)角線垂直的四邊形互相

13、垂直且相等正方形正方形，對(duì)角線相等且垂直的四邊形不垂直也不相等平行四邊形一般四邊形、平行四邊形、直角梯形規(guī)律·方法小結(jié)1類比思想：可以類比平行四邊形的性質(zhì)與判定來(lái)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定2數(shù)形結(jié)合思想：是用代數(shù)知識(shí)來(lái)解決幾何問(wèn)題的方法，也就是運(yùn)用幾何定理、法則，通過(guò)列方程、方程組或不等式，利用解方程、方程組、恒等變形等代數(shù)方法，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的方法3轉(zhuǎn)化思想：在本節(jié)學(xué)習(xí)的過(guò)程中還要用到轉(zhuǎn)化思想，即運(yùn)用平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換等方法來(lái)構(gòu)造圖形解決幾何問(wèn)題課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、如圖3-53所示，在菱形ABCD中，CEAB于E，CFAD于F，求證AEAF2

14、、如圖3-54所示，在四邊形ABCD中，BEDF，AC和EF互相平分于O，B90°，求證四邊形ABCD是矩形3、如圖3-55所示，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于F，交AC于E，EGBC于G，連接FG，求證四邊形AFGE是菱形4、如圖3-56所示，在正方形ABCD中E為BC上一點(diǎn)，EFAC，垂足是F，EGBD，垂足是G，AC5，求EFEG5、如圖3-57所示，P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEDC，PFBC，E，F(xiàn)分別是垂足，求證APEF6、如圖3-58所示，ABC中，ABAC，AD，AE分別是BAC和BAC的外角的平分線，BEAE

15、（1）求證DAAE；（2）試判斷AB與DE是否相等并證明你的結(jié)論綜合應(yīng)用題7、如圖3-59所示，菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角ABC為120°，平分這個(gè)內(nèi)角的對(duì)角線BD長(zhǎng)為12 ，求菱形的周長(zhǎng)8、如圖3-60所示，在矩形ABCD中，AB8，BC6，對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）設(shè)APx，四邊形PBCD的面積為y（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定x的取值范圍；（2）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P，PBC的面積與PAD的面積之和為常數(shù)這種說(shuō)法是否正確?說(shuō)明理由 9、如圖3-61所示，矩形ABCD中，四個(gè)內(nèi)角平分線交于E，F(xiàn)，G，H求證四邊形EFGH為正方形10、如圖3-62所示四邊形ABCD中，E，

16、F，G，H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G，H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形，連接AC，BD，容易證明中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形（1）如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)： 當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足ACBD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_時(shí)，四邊形EFGH為矩形；當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_時(shí)，四邊形EFGH為正方形（2）探索AEH，CFG和四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，并加以證明（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是多少? 探索與創(chuàng)新題 11、在一片正方形土地上修筑兩條筆

17、直的道路，把這片土地分成形狀相同且面積相等的4部分，若道路的寬度可忽略不計(jì)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的修路方案 體驗(yàn)中考 1、如圖3- 65所示，在梯形ABCD中ABC和DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點(diǎn)P，若EF3，則梯形ABCD的周長(zhǎng)為 （ ） A9 B105 C1 2 D 152、如圖3-66所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交點(diǎn)OAB5，AC6過(guò)D點(diǎn)作DEAC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E （1）求BDE的周長(zhǎng)； （2）點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q 求證BPDQ3、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖3-67(1)所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

18、AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證AEEF經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路，取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證AMEECF，所以AE=EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們做了進(jìn)一步的探究(1)小穎提：如圖3-67(2)所示，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B，C外)的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)小華提出：如圖3-67(3)所示，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除點(diǎn)C外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正

19、確嗎?如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由學(xué)后反思附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、分析 要證明AEAF，我們可以根據(jù)條件，先證ACEACF 證明：連接AC，四邊形ABCD是菱形， AC平分BADl2 又CEAB，CFAD，AECAFC90°在ACE和ACF中，ACEACFAEAF2、分析 因?yàn)镋F和AC互相平分于O，易證AOECOF，所以FCEA，34，所以CDAB又因?yàn)镈FBE，所以ABCD，所以四邊形ABCD為平行四邊形因?yàn)锽90°，所以四邊形ABCD為矩形證明：EF和AC互相平分，OCOA，OFOE 又12，F(xiàn)OCEOA 34，F(xiàn)CEAABCD 又D

20、FBE，ABCD四邊形ABCD是平行四邊形 B90°，四邊形ABCD是矩形3、分析 要證四邊形AFGE是菱形，要先證明它是平行四邊形，然后尋找鄰邊相等的條件，而要證明它是平行四邊形，要找出平行四邊形的判定條件證明：BAC90°，1290°. 又ADBC， 1C90°2C 又AFE23，AEBC4，34， AFEAEFAFAE BE平分ABC，BAC90°，EGBC， EAEGAFEG ADBC，EGBC，ADEG 又AFEG，四邊形AFGF是平行四邊形 又AFAE，四邊形AFGE是菱形【解題策略】 判定一個(gè)四邊形是特殊的平行四邊形，要逐步證明，

21、先證明它是平行四邊形，然后證明它是特殊的平行四邊形4、分析 設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，易證BGE為等腰直角三角形，四邊形EFOG為矩形，GEBG，EFOG，EFEGOB=AC =解：設(shè)O為AC，BD的交點(diǎn)， 四邊形ABCD為正方形， OBODAC，BOC90°，OBC45° 又EGOB，EFOC， BGE為等腰直角三角形，四邊形GEFO為矩形 EGBG，EFOG EFEGOGBGOB5、分析 由題意可得四邊形FECF是矩形，連接PC，則EFPC，而P為正方形對(duì)角線BD上一點(diǎn)，可證PCPA證明：連接PC，PEDC，PFBC， 四邊形PFCE是矩形，PCEF 四邊形ABCD是正方形

22、， 12，ADDC在ADP和CDP中，ADPCDPPCPAPAEF【解題策略】正方形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離相等6、分析本題綜合考查角平分線的定義，三線合一定理以及矩形的有關(guān)性質(zhì)根據(jù)題目已知條件判定四邊形DAEB是矩形是解決本題的關(guān)鍵證明：（1）AD平分BAC，AE平分BAF， BADBAC，BAEBAF 又BACBAF180°， BADBAE（BACBAF）×180°90°， 即DAE90°， DAAE解：（2）ABDE現(xiàn)由如下： 在ABC中，ABAC，AD平分BAC， ADBC， ADB90° 在四邊形AEB

23、D中，ADB90°，DAE90° BEAE，AEB90°， 四邊形AEBD是矩形， ABDE7、分析 若菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°或120°，則兩邊與較短對(duì)角線可構(gòu)成等邊三角形，這是非常有用的基本圖形解：因?yàn)锳BADBCCD，ABDABC×120°60°， 所以ABD為等邊三角形， 所以ABBD12， 所以菱形的周長(zhǎng)為48 8、解：（1）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E，在RtABC中，由AB8，BC6，得AC10，PCACAP10x 因?yàn)镻EBC，ABBC，所以PECABC 所以：所以PE8x 所以SPBCPE·B

24、C24x 又SPCDSPBC24x，所以y48x（0x10） （2）這種說(shuō)法是正確的 由（1）可得SPADx ，所以SPBCSPAD24【解題策略】 本題是幾何與函數(shù)的綜合題求三角形的面積與自變量x的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是確定三角形的底邊長(zhǎng)后，用含x的代數(shù)式表示出三角形的高9、分析 先證明是矩形，再證一組鄰邊相等證明：四邊形ABCD是矩形， DABABCBCDCDA90° 又AE，BE，CG，DG分別為四個(gè)內(nèi)角的平分線，1234567845° 9101190° 四邊形EFGH是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形） 7845°， FAFD（等角對(duì)等邊） 在AB

25、E和DCG中， l645°，ABCD，2545°， ABEDCG（ASA）AEDG FAAEFDDG，即FEFG 四邊形EFGH是正方形（一組鄰邊相等的矩形是正方形）【解題策略】（1）本題圖中所有的直角三角形均可證得是等腰直角三角形，并且還是對(duì)應(yīng)全等的這一點(diǎn)從圖形中可以看出來(lái)，所以我們要認(rèn)真觀察圖形，從圖形中尋找證題線索（2）不管是平行四邊形、矩形、菱形、正方形中的哪一類問(wèn)題，都要熟記它們的性質(zhì)和判定，再看題中的條件或結(jié)論能符合哪一條另外，還要能從圖形中找出符合它們的基本圖形10、解：（1）ACBD ACBD且ACBD （2）SAEH + SCFGS四邊形ABCD證明過(guò)程如

26、下： 因?yàn)镋，H分別為AB，AD的中點(diǎn)， 所以EHBD且EHBD 所以AEHABD，且相似比為 所以SAEHSABD同理SCFGSCBD 所以SAEH+SCFG（SABD+SCBD）， 即SAEH+SCFGS四邊形ABCD （3）由（2）可得SBEF+SDGH（SABC+SADC）S四邊形ABCD， SAEH +SCFG +SBEF 十SDGH S四邊形ABCD+S四邊形ABCDS四邊形ABCDS四邊形EFGH S四邊形ABCD11、解：三種方案如下： （1）如圖363（1）所示，連接AC，BD，交于點(diǎn)O （2）如圖3-63（2）所示，連接正方形兩組對(duì)邊中點(diǎn)EF，GH，交于點(diǎn)O （3）如圖36

27、3（3）所示，取AE：BGCFDH，連接EF，GH，交于點(diǎn)O規(guī)律·方法 目前，中考中關(guān)于開放和探索性試題的設(shè)計(jì)主要有三種形式：（1） 條件的開放與探索；（2）結(jié)論的開放與探索；（3）解題方法的開放與探索本題是結(jié)論開放式問(wèn)題實(shí)際上，兩條對(duì)角線繞著它們的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任何一個(gè)角度，都是符合要求的體驗(yàn)中考1、分析 本題綜合考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理和梯形中位線的性質(zhì)BP平分ABCEBPPBCEF是梯形ABCD的中位線，EFBC，EPBPBC，EBPEPB，EBEPAE，同理可知FPFCFD梯形的周長(zhǎng)（AD+BC）+（AB+CD）2EF+2EP+2PF2EF+2（EP+PF）4EF4

28、×312故選C2、分析 (1)本題主要考查菱形的性質(zhì)定理由菱形的對(duì)角線互相垂直，得ACBD在RtAOB中，AB=5又AC，BD互相垂直平分，而AC=6，OA=3，OB=4,BD=8又ADCE，ACDE，四邊形ACED為平行四邊形，故DE，BE可求長(zhǎng)(2)本題的關(guān)鍵是由四邊形ABCD是菱形得到BO=OD，即可證BOPDOQ，BP=DQ解：(1)四邊形ABCD是菱形，BEAD 又ACDE， 四邊形ACED為平行四邊形 則有BE=BCCE=BCAD=10 又ACBD，ACDE，BDDE，且DE=AC=6 在RtBDE中，由勾股定理，得BD2+DE2=BE2，解得BD=8 BDE的周長(zhǎng)為BD

29、+DE+BE=8+6+10=24證明：(2)四邊形ABCD是菱形， OB=OD BCAD，DBC=BDA，BPO=DQO， BOPDOQ，BP=DQ3、分析 (1)作輔助線是解題的關(guān)鍵，在AB上取點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME，則由題意可證AMEECFAE=EF(2)在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使AN=CE，連接NE，則由題意可證ANEECF，AE=EF解：(1)正確證明如下如圖3-68所示，在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME， BM=BE，BME=45°，AME=135°CF是外角平分線，DCF=45°，ECF135°，AME=ECFAEB+BAE=

30、90°，AEB+CEF=90°，BAE=CEF，AMEECF(ASA)，AE=EF (2)正確證明如下：如圖3 -69所示，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使AN=CE， 連接NE，BN=BE， N=FCE=45°四邊形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，NAE=CEF，ANEECF(ASA)，AEEF【解題策略】 熟練掌握有關(guān)證明三角形全等的系統(tǒng)知識(shí)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵把特殊四邊形和三角形綜合在一起考查空間想象力和邏輯判斷能力是中考的常見題型1.2菱 形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握菱形的判定方法，以及符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用 2、靈活運(yùn)用判定方法進(jìn)行有

31、關(guān)的證明和計(jì)算【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、 掌握并會(huì)應(yīng)用菱形的判定方法2、 菱形判定方法的應(yīng)用知識(shí)概覽圖定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形性質(zhì)：四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定：(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊相等的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形新課導(dǎo)引 【問(wèn)題鏈接】如右圖所示，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD，四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎?它與一般平行四邊形比較有什么區(qū)別? 教材精華知識(shí)點(diǎn)1 菱形的概念一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形如圖437所示拓展

32、 菱形是一種特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”菱形的定義既是它的性質(zhì)，也是它的差別方法如果已知一個(gè)四邊形是菱形，那么它一定是平行四邊形并且有一組鄰邊相等；反之，如果已知一個(gè)四邊形是平行四邊形且有一組鄰邊相等，那么它一定是菱形知識(shí)點(diǎn)2 菱形的性質(zhì) (1)具有平行四邊形的一切性質(zhì) (2)菱形的四條邊都相等 (3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 (4)菱形是軸對(duì)稱圖形有兩條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在的直線 如圖438所示，在菱形ABCD中，有如下結(jié)論： (1)ABBCCDAD四條邊都相等 (2)OAOC，OBOD，ACBD一對(duì)角線互相垂直平分 (3)l2，34

33、，56，78每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角拓展 菱形性質(zhì)的作用是：利用菱形的性質(zhì)可以證明線段相等、角相等、兩直線平行、兩直線垂直及有關(guān)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)3 菱形的判定 (1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 (2)四條邊都相等的四邊形是菱形 (3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 (4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形拓展 菱形的判定方法(1)和(3)是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，而判定方法(2)和(4)是以四邊形為基礎(chǔ)的，這兩點(diǎn)一定要區(qū)別清楚 菱形的判別方法可用圖439表示探究交流 (1)有一組鄰邊相等的四邊形是菱形嗎?(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形嗎?點(diǎn)撥 (1)如圖440所示，ABAD，顯然它不是菱形，所

34、以四邊形若只有一組鄰邊相等，則它不一定是菱形(只有當(dāng)四邊形是平行四邊形且有一組鄰邊相等時(shí)，它才是菱形) (2)對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形 如圖441所示，ACBD，但顯然四邊形ABCD不是菱形只有當(dāng)四邊形對(duì)角線互相垂直平分時(shí)，它才是菱形知識(shí)點(diǎn)4 菱形的面積菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半如圖442所示，菱形ABCD中，ACBD，S菱形ABCDSABDSCBD=BD·OABD·OC BD(OAOC)BD·AC拓展 (1)菱形的面積除了用對(duì)角線長(zhǎng)求以外，也可以用底乘高來(lái)求，這取決于已知條件 (2)凡是對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半

35、課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、已知菱形的兩條對(duì)角線AC，BC的長(zhǎng)分別為6 cm和8 cm，則邊長(zhǎng)為 cm，周長(zhǎng)為 cm，面積為 cm2，高為 cm2、如圖444所示，在菱形ABCD中，正是AB的中點(diǎn)，且DEAB，ABa (1)求ABC的度數(shù)； (2)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)； (3)求菱形ABCD的面積 綜合應(yīng)用題3、如圖446所示，在菱形ABCD中，BAD2B試說(shuō)明ABC是等邊三角形 4、如圖447所示，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為16 cm和12cm，DEBC于E，求DE的長(zhǎng) 探索創(chuàng)新題5、先閱讀下面的題目及解題過(guò)程，再根據(jù)要求回答問(wèn)題 如圖448所示，在ABCD中，BAD的平分線與B

36、C邊相交于點(diǎn)E，ABC的平分線與AD邊相交于點(diǎn)F，AE與BF相交于O，試說(shuō)明四邊形ABEF是菱形解：四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC，ABEBAF180° AE，BF分別是BAF，ABE的平分線，1=2=BAF，34ABE13(BAFABE)90°AOB90°AEBF 四邊形ABEF是菱形(1)上述解題過(guò)程是否正確? ； (2)如有錯(cuò)誤，在第 步到第 步推理錯(cuò)誤，應(yīng)在第 步后添加如下步驟： 體驗(yàn)中考1、如圖449所示，將一個(gè)長(zhǎng)為10 cm、寬為8 cm的長(zhǎng)方形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形的兩鄰邊中點(diǎn)的連線(虛線)剪下，再打開，得到的菱形(如圖450所示)的面積

37、為 ( ) A10 cm2 B20 cm2 C40 cm2 D80 cm2 2、如圖451所示，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長(zhǎng)均為16 cm，若墻上釘子間距離ABBC16 cm，則l 度學(xué)后反思附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、分析 如圖443所示，由菱形對(duì)角線互相垂直平分可知OAAC3 cm，OB BD4 cm，由對(duì)角線互相垂直和勾股定理可求出邊長(zhǎng)AB=5(cm)，由于菱形四條邊都相等，所以周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的4倍，即周長(zhǎng)為20 cm，由于菱形面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半，所以它的面積為AC·BD×6×824(cm2)，又因?yàn)镾菱形邊長(zhǎng)×高24，所以高4

38、.8(cm) 答案：5 20 24 48【解題策略】 此題運(yùn)用了菱形的性質(zhì)，應(yīng)重點(diǎn)掌握，靈活運(yùn)用2、分析 本題考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，將菱形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題進(jìn)行求解 解：(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O 四邊形ABCD是菱形，ADAB E是AB的中點(diǎn)，且DEAB， ADBDABD是等邊三角形 ABC60°×2120° (2)四邊形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分， OB=BD=AB=a OA= AC2AO (3)S菱形ABCD=AC·BD=··a=【解題策略】 有一內(nèi)角為60°的菱形，已知邊長(zhǎng)，便可求出對(duì)

39、角線長(zhǎng)、高、面積3、分析 要說(shuō)明ABC是等邊三角形，已知中給出了BAD2B，又因?yàn)閮芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以B60°，因?yàn)榱庑蔚泥忂呄嗟?，可知ABC是等腰三角形，從而得出ABC是等邊三角形 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ABBC，BADB=180° 又BAD2B，所以B60° 所以ABC是等邊三角形4、分析 已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，便可由勾股定理求出邊長(zhǎng)，然后再利用菱形面積的兩種計(jì)算方法便可求出DE的長(zhǎng) 解：在菱形ABCD中， BOBD=6cm，COAC8cm，BOCO 在RtBOC中，BC2=BO2CO26282102，BC10 S菱形ABCDAC

40、83;BDBC·DE， ×16×1210·DE，DE9.6(cm)【解題策略】 菱形兩條對(duì)角線分菱形為4個(gè)直角三角形，勾股定理常用于菱形的有關(guān)計(jì)算，另外菱形的面積的兩種計(jì)算方法可以用來(lái)列方程，求出未知量5、分析 要說(shuō)明四邊形ABEF是菱形，只得到對(duì)角線互相垂直是不夠的，還需要說(shuō)明此四邊形是平行四邊形，此題主要考查邏輯推理能力 答案：(1)不正確 (2) 4AFB，43，3AFB，AF=AB.同理BEABAFBE，又AFBE，四邊形ABEF為平行四邊形體驗(yàn)中考1、分析 由題意可知所得菱形兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為4 cm，5 cm，S菱形ABCDAC&

41、#183;BD×4×510(cm2)故選A.【解題策略】 利用軸對(duì)稱性質(zhì)解題也是常用的方法2、分析 連接AB，則ABADBD16 cm，因此ABD為等邊三角形，所以ADB60°，這就不難求出1120°故填1201.3矩形、正方形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解矩形、正方形的概念2、掌握矩形、正方形的性質(zhì)【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1、矩形、正方形的性質(zhì)的理解和掌握2、矩形、正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用知識(shí)概覽圖定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形性質(zhì)：(1)矩形的對(duì)角線相等；(2)矩形的四個(gè)角都是直角；(3)矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸判定：(1)有一個(gè)

42、角是直角的平行四邊形是矩形；(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形正方形性質(zhì)：(1)正方形的四條邊相等，對(duì)邊平行；(2)正方形的四個(gè)角都是直角；(3)正方形的對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(4)正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸判定：(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； (3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；(4)既是矩形，又是菱形的四邊形是正方形新課導(dǎo)引【問(wèn)題鏈接】 1某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊正方形空地上建造花壇(如圖(1)所示)，打算將其四等分，

43、在每一等份中種上不同顏色的花草如果你是園藝師，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出比較美觀且符合要求的方案 2小明家買了一張茶幾，他想檢查一下茶幾面是否為長(zhǎng)方形(如圖(2)所示)如果你手頭只有一把卷尺，你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案幫他檢查一下嗎?請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由教材精華知識(shí)點(diǎn)1 矩形的概念有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形如圖459所示拓展 矩形也就是我們小學(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，它是有一個(gè)角是直角的平行四邊形如圖460所示，在ABCD中，若A90°，則ABCD就是一個(gè)矩形矩形是一種特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一個(gè)角是直角”矩形的定義既是它的性質(zhì)，也是它的判別方法若已知一個(gè)四邊形是矩形，則它一定是平行四邊形注意：有一個(gè)角是

44、直角的四邊形不一定是矩形，如圖461所示的四邊形ABCD中，C90°，但四邊形ABCD不是矩形知識(shí)點(diǎn)2 矩形的性質(zhì) (1)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) (2)矩形的對(duì)角線相等 (3)矩形的四個(gè)角都是直角 (4)矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸 如圖462所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則直線EG，F(xiàn)H是矩形ABCD的兩條對(duì)稱軸，ABCBCDCDADAB90°，OAOBOCODAC=BD拓展 由矩形的對(duì)角線相等這一性質(zhì)可得出直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖462所示，RtABD中

45、，OBOD，AO是它斜邊上的中線，AO=AC=BD知識(shí)點(diǎn)3 矩形的判別(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形拓展 欲判定一個(gè)四邊彤是矩形，可直接判定，也可先判定其是平行四邊形，再判定其是矩形，至于選擇哪種方法，取決于已知條件和對(duì)知識(shí)靈活掌握的程度矩形的判別可用圖463表示知識(shí)點(diǎn)4 正方形的概念一組鄰邊相等的矩形叫做正方形如圖464所示拓展 由正方形的定義可知，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，也是有一個(gè)角是直角的菱形，也就是說(shuō)，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以我們?cè)谡f(shuō)明一個(gè)四邊形是

46、正方形時(shí)；可以先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明它是菱形，或先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明它是矩形知識(shí)點(diǎn)5 正方形的性質(zhì) (1)正方形的四條邊相等，對(duì)邊平行 (2)正方形的四個(gè)角都是直角 (3)正方形的對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 (4)正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸 如圖465所示，在正方形ABCD中，有如下結(jié)論： (1)ABBCCDDA；ADBC，ABCD四邊相等，對(duì)邊平行 (2)DABABCBCDCDA90°四個(gè)角都是直角 (3)ACBD，ACBD，OAOCOBOD，1234567845°對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角拓展 (1)由于正方

47、形是特殊的矩形和菱形，所以它具備矩形和菱形的所有性質(zhì)(2)正方形的兩條對(duì)角線將正方形分成8個(gè)等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的性質(zhì)在正方形的有關(guān)計(jì)算中經(jīng)常用到知識(shí)點(diǎn)6 正方形的判別(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形(3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形(4)既是矩形，又是菱形的四邊形是正方形拓展 幾種特殊平行四邊形的判別可用圖466表示規(guī)律方法小結(jié) 從一般到特殊的思想：從四邊形到平行四邊形再到菱形、矩形，再到正方形，就是從一般情況到特殊情況的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了從一般到特殊的思想四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系如圖467所示課堂檢測(cè)基

48、礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、如圖469所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD交于O，DEAC，CEBD，CE與DE交于E試說(shuō)明四邊形DOCE是菱形 2、如圖470所示，在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CEAC，連接AE交CD于F，則E . 3、如圖471所示，在矩形ABCD中，AB20 cm，BC4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線ABCD以4 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CD邊以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形? 4、如圖472所示，ABC中，ACB90°，CD平分ACB，交AB于0，DEAC，DFBC，E，F(xiàn)是垂足，那么四邊形DECF是正方形嗎?說(shuō)明理由 綜合應(yīng)用題5、如圖474所示，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AD，DC上的點(diǎn)，且EBF45°，則EF與CFAE相等嗎?說(shuō)明理由6、如圖475所示，在矩形ABCD中，AB