第二章變分原理

1、第二章變分原理變分原理是力學(xué)分析中重要數(shù)學(xué)工具之一，能量法、有限元法、加權(quán)殘值法等力學(xué)方法都是以變分原理為數(shù)學(xué)工具的。變分法的早期思想是 Johann Bernoulli在1696年以公開(kāi)信的方式提出最速降線命題，并在1697年進(jìn)行了解決。關(guān)于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱之為 Euler-Lagrange 變分原理。1872年Betti 提出了功的互等定理。1876年意大利學(xué)者 Castigor提出了最小功原理。德國(guó)學(xué)者Hellinger 于1914年發(fā)表了有關(guān)不完全廣義變分原理，后來(lái)美國(guó)學(xué)者Reissner發(fā)表了與Hellinger

2、相類似的工作，此工作被稱之為Helli nger-Reiss ner變分原理。我國(guó)學(xué)者錢令希于1950年發(fā)表“余能原理”論文。我國(guó)學(xué)者胡海昌于1954年發(fā)表了有關(guān)廣義變分原理的論文，日本學(xué)者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發(fā)表了與有胡海昌相類似的工作，此工作被稱之為胡-鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學(xué)變分原理。1964年錢偉長(zhǎng)提出用Lagranger乘子構(gòu)造廣義 分原理的方法。1964年Gurtin提出了線彈性動(dòng)力學(xué)變分原理。1967年意大利學(xué)者Tonti提出了四類變量的廣義變分原理，在這類變分原理中，位移、應(yīng)變、應(yīng)力及 Beltrami應(yīng)力函數(shù)都是變分變量。§

3、2.1歷史上著名的變分法命題歷史上有三個(gè)著名的變分法命題,即最速降線問(wèn)題、短程線線問(wèn)題和等周問(wèn)題。這三個(gè)命題的提出和解決推動(dòng)了變分法的發(fā)展。1、最速降線命題1695年，Bernoulli 以公開(kāi)信方式提出了最速降線命 題。如圖2-1所示，設(shè)有不在同一垂線上的A、B兩點(diǎn)，在此兩點(diǎn)間連一曲線，有一重物沿此曲線下滑，忽略各種阻 力的理想情況，什么曲線能使重物沿曲線 AB光滑下滑的時(shí) 間最短。設(shè)A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 1 ,y 1)，滑 體質(zhì)量為m從0點(diǎn)下滑至P點(diǎn)時(shí)的速度為V,根據(jù)能量恒 原理，有：1 2mgy mv(2-1)2用s表示弧長(zhǎng)，則沿弧切向方向的速度為:圖2-1最速降線圖d

4、s dt2gy(2-2)曲線弧長(zhǎng)為:ds dx2 dy22dy dxdx(2-3)于是，時(shí)間為:下降時(shí)間為:'21 y .dx2gy(2-4)TT dt0'21 y dxxi° 2gy(2-5)經(jīng)過(guò)求解，最速降線為圓滾線，其參數(shù)方程為：C x2C y 一 y 2sin(2-6)2、短程線命題COS設(shè) x, y, z 0是如圖2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)如何連接可使此曲面上A、B兩點(diǎn)間的距離最短。122x2L1dydz dx(2-7)X1dxdx其中，y yx,Zz x是滿足曲面x, y, z 0的約設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為A x1, yj, z1 、B點(diǎn)的坐標(biāo)

5、為Bx2,y2,Z2 ,在曲面上 A B兩點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度為：束條件。3、等周命題圖2-2短程線等周命題為在長(zhǎng)度一定的閉合曲線中，什么曲線圍成的面積最大。設(shè)所給曲線的參數(shù)方程為 x x s ,y y s，因這條曲線是封閉的,在這條曲線的始端和末端，有 x s0x S| , y s0LrS1 1s。,2dxds2dy dsds由于該曲線封，根據(jù)格林公式：dYdXdxdyXdx Ydydxdxy s1。該曲線周長(zhǎng)為:該曲線所圍成的面積為:(2-8)(2-9)dxdy11 dxdy xdy ydx1 s1dyx -2 sodsy主ds ds(2-10)于是等周問(wèn)題可以歸納為在滿足x s0x s, , y

6、 s0y s,和式(2-8)條件下，從所有可能函數(shù)中選擇一對(duì)函數(shù)使面積最大。§2.2泛函的概念在函數(shù)論中，自變量 x對(duì)應(yīng)著另一變量 y，則變量y稱為自變量x的函數(shù)y(x)。假如 自變函數(shù)y(x)對(duì)應(yīng)著另一個(gè)函數(shù)y(x),則 y(x)稱為泛函。函數(shù)是變量與變量之間的關(guān)系，泛函是變量與函數(shù)之間的關(guān)系。泛函是函數(shù)的函數(shù)，是函數(shù)的廣義函數(shù)。通過(guò)微分學(xué)和變分學(xué)對(duì)比，可理解變分特性。2.2.1 微分和變分函數(shù)y(x)的自變量x的增量 x是 x = x-x,，當(dāng)x是獨(dú)立變量時(shí)，x的微分等于x的 增量，即dx x ；泛函 y(x)的自變函數(shù)c的增量在它很小時(shí)稱為變分，用y(x)或簡(jiǎn)單地用 y表示。變

7、分y等于y(x)與跟它相接近、并通過(guò)邊界的另一個(gè)函數(shù)y,(x)之差，即 y(x) = y(x)- yx)。特別指出的是，變分y(x)不是常值，而是通過(guò)邊界條件的函數(shù)。兩個(gè)自變函數(shù)相接近的意義可有不同的理解，最簡(jiǎn)單的理解是在任意 x值上y(x)和y'x)之差很小，即：y(x)- yi(x) (2-11) 這種接近稱零階接近度，如圖2-3所示。很明顯，這時(shí)之差 y (x) y1 (x)不一定是微量。如果滿足零階接近，同時(shí)滿足自變函數(shù)的斜率也很接近，即：(2-12)y(x) y1 (x)IIy (x) ydx)圖2-3零階接近度圖2-4 一階接近度依次類推，k階接近度要求零階至 k階導(dǎo)數(shù)之差

8、都很小。yy(x)y1 (x)1yy1(x)y1(x)2yy2(x)y；(x)(2-14)kyyk(x)y：(x)接近度越高，兩條曲線亦越接近。222 函數(shù)的微分和泛函的變分函數(shù)的微分有兩個(gè)定義。一個(gè)是通常的定義，即函數(shù)的增量定義為：y y(x x) y(x)(2-15)可展開(kāi)為 x的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)之和，即y A(x) x (x, x) x(2-16)其中線性項(xiàng)A(x)和x無(wú)關(guān)，(x, x)與x有關(guān)，是高次項(xiàng)，當(dāng)x0時(shí)(x, x) 0，Idy A(x) x ydx lim A(x)x 0此時(shí)可稱y(x)是可微，相應(yīng)有：(2-17)y dy dx也可以說(shuō)，對(duì)于可微函數(shù)，函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主

9、部分，即線性項(xiàng)。 函數(shù)的第二定義是設(shè)是為一小參數(shù)，將 y(x x)對(duì) 求導(dǎo)數(shù)，即/、 y(xx) (x x) ，/、y(x x)y(x x) x(xx)(2-18)當(dāng)趨近于零時(shí)Iy(x x) o y(x) x(2-19)這就說(shuō)明，y(x x)在=o處對(duì) 的導(dǎo)數(shù)等于y(x)在x處的微分。稱為拉格朗日乘子，此法稱為拉格朗日乘子法。泛函的變分也有類似的兩個(gè)定義。第一個(gè)定義：自變函數(shù)y(x)的變分 y(x)所引起的泛函的增量，即：y(x)y(x)y(x)(2-20)類似地，其可展開(kāi)為線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)L y(x),y(x)y(x), y(x)Ymax(2-21)其中L是對(duì) y(x)的線性泛函項(xiàng)，而y(x

10、) 0 時(shí) ymax0，同時(shí)是非線性泛函項(xiàng)，是也趨近于零，這時(shí)泛函的增量等于 精選資料，歡迎下載y(x)的同階或高階微量，當(dāng)y(x)的線性部分y(x)l y(x),y(x)y(x)(2-23)y(x)y( x), y( x)Ymax因?yàn)榉汉瘜?dǎo)數(shù)是y(x)y(x)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值，于是有(2-22)所以泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個(gè)主部對(duì)于函數(shù)變分 第二個(gè)定義：泛函變分是y(x) y(x)對(duì) 在泛函的增量用微小參數(shù)表示為：y(x)來(lái)說(shuō)是線性的。0處的示導(dǎo)值。y(x) y(x)y(x) L y(x), y(x)y(x) y(x)L y(x), y(x) y(x), y(x)ymax(x

11、)y(x), y(x) ymax(x)(2-24)因?yàn)榫€性項(xiàng)L y(x), y(x)對(duì)y(x)是線性的，故L y(x), y(x) L y(x), y(x)(2-25)并且當(dāng) 0時(shí) y(x), y(x) 0，ymax0，得一 y(x) y(x) L y(x), y(x)(2-26)由此得拉格朗日的泛函變分定義為一 y(x) y(x) 0 L y(x), y(x)(2-27)變分運(yùn)算規(guī)則自變函數(shù)的變分 y(x)是x的函數(shù)，于是可以用x求導(dǎo)數(shù)dY(x) dxdy(x) dxd%(x)-、-、,Y (x) Yi(x)dxdy(x) dx(2-28)即d_Y(x)dy(x)dxdx(2-29)因此，變

12、分 和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可換，變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分。同理有：dxy(x)' y(x)ny" (x) yn(x)(2-30)其它運(yùn)算規(guī)則如下：i ( i2)122 ( 12) 2 1 1 23( i/2) ( 2 1 1 2) /224nn 1 n5 (yn)(y)nX26幷X2dxdxx極大極小一一極值問(wèn)題與函數(shù)的極大、極小問(wèn)題相類似，泛函也有極大、極小問(wèn)題。如果任何一條接近y y°(x)的曲線y(x)的泛函值y(x)不大(或不小)于 y°(x)的泛函y0(x)，即y(x)yo(x)0(或 0)， 則泛函yo(x)在曲線yo(x)上達(dá)到極大(或極小)值，而且在

13、 y yo(x)上泛函的一階變分等于零=0(2-32)因?yàn)楹瘮?shù)接近度有零階和高階之分，所以變分分為強(qiáng)變分和弱變分。對(duì)于y(x) y0(x)的零階接近度的變分稱為強(qiáng)變分，這樣得到的極值叫強(qiáng)極值。如果是一階接近度，即y(x) y°(x)IIy(x) y°(x)(2-33)則把這類變分稱弱變分，所得到極值稱為弱極值。和微分的極值條件一樣，一階變分等于零 的條件 =0只是存在極值(或駐值)的必要條件，而不是充分條件，只有兩階變分才能確定極大或極小。§ 2.3 泛函極值問(wèn)題的歐拉方程-拉格朗日方程。變分的早期工作是把泛函極值問(wèn)題化為微分方程問(wèn)題，即歐拉 求泛函X2F(x,y

14、,y)dx(2-34)在邊界條件y(xj 力，yg) y下的極值。設(shè)正確解為y(x)， y1 (x)為接近y(x)的任意函數(shù)，則(2-35)yi(x)y(x) y(x)精選資料，歡迎下載y(xi)y(X2)0(2-36)泛函增量為X?'x F (x, yi, yi )dxxiX2'x F(x,y,y)dxxi(2-38)x?xiF(x,%, yi')dxXiF(x,yy, yy')dxX2F(x,y,y)dxX2(士y')dxX22f-(yy)22f2y y2F('2y)2dx .(2-38)令(2-39)x2xy )dxx2Xiy)22'

15、;2y')2 dx根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，有F(x,y,z)是自變量dF (x, y, z)這時(shí)式(i.3.6 )可以寫成i 2(2-40)2其中，稱為一階變分，二階變分等。根據(jù)式(2-34)的泛函極值條件,=0,即X2FF '°x (yr y)dx 0(2-4i)xiyy關(guān)于泛函的一階變分式(2-39)x,y,z 的函數(shù)，則其全導(dǎo)數(shù)為或式(2-41)可由導(dǎo)數(shù)的概念獲得。令F F Fdx dy dz x yz(2-42)令泛函 F(x, y, y')是函數(shù)y(x)的函數(shù)。假如F不僅與y有關(guān)，同時(shí)與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這時(shí) 泛函一階變分自變函數(shù)可視為y(x)和其導(dǎo)數(shù)y'

16、;(x)的函數(shù)。因此可以把微分符號(hào)d用變分符號(hào) 來(lái)代替，而 x 0 ,因泛函的變分只與 y(x)和y'(x)的變分有關(guān)，故泛函變分為FF'Fy : y(2-43)yy假如泛函含有y, y , y,則'" FF ' FF(x,y,y,y)y y " yy y y(2-44)對(duì)式(2-42 )的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分，得x2x1X2X1x2 d F宀 ydX(2-45)把上式代入式(2-42)中，得>2>1d齊)ydx>2>1(2-46)上式第二項(xiàng)是邊界條件式，當(dāng)給定邊界條件情況下在x Xi 和 xX2 處y 0 ,(式(13

17、5 ),即第二項(xiàng)等于零，這個(gè)邊界條件稱為基本邊界條件。當(dāng)沒(méi)有給定基本邊界條件時(shí) y在x x1和x x2處 y 0處可能不等于零，則=0的條件必須要求在邊界處F/ y'0,這一邊界條件稱為自然邊界條件。今后將看到彈性力學(xué)問(wèn)題的基本邊界條件為位移(包括轉(zhuǎn)角)，自然邊界條件為力(包括彎矩)。式(2-46)的第一項(xiàng)中y是x的函數(shù)，它不能等于零，故=0的條件是匸乎(上)0 y dx y(2-47)這個(gè)方程稱為歐拉方程， 就是說(shuō)，泛函極值的積分方程轉(zhuǎn)換成歐拉方程一一微分方程。這是1744年歐拉提出的著名方程，后來(lái)拉格朗日用拉格朗日法簡(jiǎn)捷地得到相同結(jié)果(1755年)，所以這個(gè)方程又稱為歐拉 -拉格朗

18、日方程。應(yīng)當(dāng)指出，假如原來(lái)的泛函的積分方程含有一階導(dǎo)數(shù)，則歐拉方程將含有更高一階導(dǎo)數(shù)。需要考慮二階變分歐拉方程式(2-47)是泛函極值的條件式。為判定所得解為極大還是極小,的符號(hào)。因所得的解已滿足=0，由式(1.3.9)(2-48)y(xj y'(xjy1,y1,y(x2) y21y (X2) y2(2-50)根據(jù)式(2-46)，一階變分x?FF 'F "y(x) x (-y:y" y )dxx1yyy(2-51)2因此，若對(duì)于任意y(x)有2 >0，則解使為極小，反之極大。假如泛函還含有兩階導(dǎo)數(shù)，則其泛函數(shù)為X?'"y(x) x F

19、 x,y(x),y (x),y (x) dx x1(2-49)端點(diǎn)上的邊界條件為和前面推導(dǎo)一樣，上式的第二項(xiàng)進(jìn)行一次分部積分，第三項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分，并考慮邊界條件，得歐拉方程FdFd2Fc2"0ydxydxy(2-52)這一歐拉方程與式(2-47)比校，上式多一個(gè)全微分項(xiàng)， 分時(shí)得到的。同理含n階導(dǎo)數(shù)的泛函極值的歐拉方程為它是(2-51)的第三項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積-缶(上)y dx y%上.(1)尋(丄) dx ydx y(2-53)這是函數(shù)y(x)的2n階微分方程，件確定。例1連接兩點(diǎn)的最短曲線長(zhǎng)度根據(jù)數(shù)學(xué)理論，兩點(diǎn)間曲線長(zhǎng)度用積分表示為：x21 y'2dx稱為歐拉-柏桑方程

20、，未知常數(shù)是2n個(gè)，由2n個(gè)邊界條X1泛函只含有y，其歐拉方程為其通解為其中g(shù),C2是由邊界條件的兩點(diǎn)顯然,因此,例2-d- y'/dxXi, yi其解是連接兩點(diǎn)的直線。由式(XiX2'2GXC2X2, y2確定，最后得y2y1X2Xi1.3.8b'2yy'2 dxX2yLv'2/ 1 y'11x(1幵X2泛函是最小值。Win kier基礎(chǔ)上初等梁的微分方程 Win kier基礎(chǔ)上初等梁的總勢(shì)能為：'2'2y dx'2'2'2ydx'2dx21 1 d w 2El(2)2dx2 0 dx21 2 k

21、w dx 0i°qwdx根據(jù)歐拉方程，知 Win kier基礎(chǔ)上初等梁的控制方程為: 精選資料，歡迎下載.4d w El 4 kw q 0 dx4例3雙參數(shù)地基上初等梁的微分方程雙參數(shù)地基上初等梁的總勢(shì)能為：El(.2d w 22) dx dx1 1 2kw dx2 0ioqwdx例4雙參數(shù)地基上 Timoshenko梁的微分方程§ 2.3多維問(wèn)題泛函及其極值問(wèn)題含有一階導(dǎo)數(shù)的二維、三維泛函w(x, y)(2-54)wwF x, y,w(x, y),(x, y),(x, y) dxdy sxy自變函數(shù)w（x, y）是x，y的函數(shù)，它在邊界 c上w（x, y）已知。為簡(jiǎn)便，引

22、進(jìn)符號(hào)w(x, y)w(x, y)w,x,w,yJxy222wwww,xx2 , w yy2 , w,xyxyx y顯然，式（1.4.1 ）的一階變分可寫為(2-55)FFF,ww,xwy dxdys ww,xw,y上式右第二式用附錄A公式（A.4）格林公式進(jìn)行分部積分，得(2-56)w,xdxdywdxdysw,xsw,xXF亠-(2-57)rc w,x nxwdcs xvvuAuyw,x同理，第三式也用格林公式，代入式（1.4.3）中，并考慮到在邊界上w=0，得FFFwdxdy(2-58)由此得歐拉方程為s wxw,xyw,yFFF 0w xw,xy0w,y上式稱為奧斯特羅格拉斯基公式 同

23、理，三維問(wèn)題泛函式(2-59)Fvx, y,乙w,wx,wy,wz dv(2-60)的歐拉方程為FFFF0(2-61)wxw,xyw,yzw,z和一維問(wèn)題歐拉方程式(1.3.15)相比校,二維和三維冋題歐拉方程式(1.4.4 )和(1.4.5 )各自增加了第三項(xiàng)和第四項(xiàng)，它們的公式結(jié)構(gòu)與一維問(wèn)題完全相冋。應(yīng)當(dāng)特別注意的是，多維積分的分部積分過(guò)程中采用附錄A的格林公式，它對(duì)計(jì)算力學(xué)發(fā)展起了重要作用，它的貢獻(xiàn)在于使高維變低維，高階變分變?yōu)橐浑A變分W，在以后的有關(guān)章節(jié)詳述。232含有兩階導(dǎo)數(shù)的二維、三維泛函w(x,y) sF x,y,w，Wx，Wy,w,xx,w,xy,w,yy ds(2-62)的一

24、階變分為w(x, y)Fw,xw,xFw,yWy,xx,xxFw,xyw,xyFw,yyw,yydS(2-63)其歐拉方程為FFF2 F2 Fwxw,xyw,y2Xw,xxX yw,xy2yw,yy(2-64)上式中函數(shù) w(x, y)和它的導(dǎo)數(shù)是x，y的函數(shù)。同理，三維情況的泛函(2-65)x,y,Z,w,w,x,w,y,w,z,w,xx,w,yy,w,zzwxy,w,xz,w,yz dsv其歐拉方程為FFFF2 F2 F2 Fw xw,xywzw,z2xw,xxx yw,xyx z w,xz2F2F2 F(2-66)022y zw,yzyw,yyz wzz上式中自變函數(shù)w和它的導(dǎo)數(shù)是x ,

25、 y , z的函數(shù)。與時(shí)間和空間有關(guān)的泛函w(x,y, t)：2 sF x, y, t, w, w,x, w, y, w,xx, w xy, w, yy, w,t ds(2-67)其歐拉方程為2 2 w xw,xy w,y. 2t wtxw,xxx yw,xy上式屮 wt-wt自變函數(shù)w和它的導(dǎo)數(shù)是x , y , t的函數(shù)。以上都是含有一個(gè)自變函數(shù)的情況。234 含有n個(gè)自變函數(shù)的泛函2y w,yy0 (2-68)現(xiàn)有n個(gè)自變函數(shù) 力（刈，y2（x），yn（x），其泛函式為F(x,ayi, y2,yn,yi,y2,yn)dx（2-69）其一階變分為i i yiyix i i yiyi dx（2

26、-70）歐拉方程為匚rl匚2(0, i1,2,n(2-71)yidxyi上式與式（）的歐拉方程完全一致，只是yj代替y，并且式是n個(gè)聯(lián)立方程。含有高階導(dǎo)數(shù)的多維問(wèn)題 n個(gè)自變函數(shù)的表達(dá)式與式（）（）完全一致， 但是它是聯(lián)立方程。例1求下列泛函的歐拉方程1s2w 2()2xw 2()2 dxdyy上式含有W,x和W,y，故由（2-61）,得22WW220xy顯然，這是在流體、電磁場(chǎng)及熱場(chǎng)中常用到的拉普拉斯方程。 例2求下列泛函的歐拉方程2 2Dw 2w 2D S (汀 2( w)22 s xx y2w 2(w) q(x,y)wdxdy y上式含有 w和w,xx.的泛函，由式（2-61 ）得歐拉方

27、程4422wwD w D(r 2= 2x x y4w4)q(x, y)y這是薄板彎曲微分方程式。例3多質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程理論力學(xué)中的拉格朗日方程，可以由式（2-71 ）得到。自變量?函數(shù)yi用廣義坐標(biāo)q代替，y'用時(shí)間的導(dǎo)數(shù)qi代替，貝Vx用時(shí)間t代替，自變? ? ?L(t,q1,q2,.qn，q1,q2,.qn)dt根據(jù)式（2-71 ）泛函極值的歐拉方程為L(zhǎng) d L qi dt q0, i 1,2,n這就是著名的拉格朗日方程，這里L(fēng)稱為拉格朗日函數(shù)，它由動(dòng)能T和位能U組成L=T-U泛函式的極值條件又可以寫成b（T U ）dt 0a（）這就是哈密頓原理。具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi的力

28、系，各質(zhì)點(diǎn)上作用的力為Fi （又稱力函數(shù)），是位能U的函數(shù)，它們之間的關(guān)系為dtXi仃U)dtXidtXiXid m dtFxiXimi XiFxUU, FzU(1.4.13 )JXFyi這個(gè)力系的動(dòng)能T為1n21n ?2 ?2 ?2T -miVmi(x y z)2i 12i 1于是泛函式為t1t1t11 n?2?2?2Ldt(TU)dt- m(x y召）U dtt0t0t02 i 1根據(jù)式（）,并利用式（），得拉式方程為mi Xi FXi0同理m yiFyi=1,2.nm乙Fz例4薄板彎曲振動(dòng)微分方程薄板彎曲的彎矩及扭矩為MxD(jx),MyD(2 占),xMXy2wD(1 v)x薄板變曲應(yīng)

29、變能為2w)22 )xy 2y2w)2_2 )y2Mxyx y2 2w w2v 2xwdxdy2(12w)2dxdy動(dòng)能為w(x,y)()2dxdy能量泛函式為t0 s(TU )dtdst11t0 s 2w 2(x,y)()22_w)22 )x2w 2(r)2y2v2w -2 2(1x y2w 2v)()2x ydxdydt這一泛函是只含有時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)和 得x,y的兩階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其歐拉方程直接由式(148 )D(4w-4x4W、 c 4) 0 y這就是薄板彎曲的振動(dòng)微分方程式。§ 2.5條件極值問(wèn)題上幾節(jié)討論的泛函極值問(wèn)題，習(xí)慣上稱為無(wú)條件極值問(wèn)題。所謂無(wú)條件，并不是說(shuō)在自變函

30、數(shù)選取中不考慮任何條件。自變函數(shù)必須使給定泛函在某一范圍內(nèi)有意義，并滿足邊界條件，因?yàn)檫@些條件容易被滿足，所以稱為無(wú)條件極值問(wèn)題。在工程實(shí)際中，有些約束條件 不易得到滿足，這種在給定約束條件下來(lái)求泛函極值，稱為條件極值問(wèn)題。函數(shù)條件極值問(wèn)題求函數(shù)2 2F (x, y) x 2y 2xy 3x 5(2-72)在約束條件(x, y) x y 0下的極值問(wèn)題。上述極限問(wèn)題有兩種方法，第一種方法是由約束條件式消去y,代入(2-72 )式，得y xF (x, y) x23x 5-J匚函數(shù)取得極值的條件是 2x 3 0，得x=-3/2, y=-3/2, F(-3/2, 3/2)=11/4 .dx第二種方法

31、是利用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。選擇拉格朗日乘子，把乘以條件式,與式(2-72 )相加，形成新的泛函2 2R(x, y, ) x 2y 2xy 3x 5 (x y) (2-73)這時(shí)新的泛函F!不僅是x，y的函數(shù)，同時(shí)也是的函數(shù)，R的極值條件為xFyF12x 2y 304y 2x 0x y 0上面第三式正是約束條件式。由此可解出x =-3/2, y =3/2,=-3.把它代入式(2-73 )，得R( -3/2, 3/2, -3)=11/4，其結(jié)果與第一方法完全相同。拉格朗日乘子法是通過(guò)拉格朗日乘子，將有條件極值問(wèn)題的舊函數(shù)改造成為無(wú)條件極值問(wèn)題的新函數(shù)。有時(shí)把拉格朗日乘子又稱為權(quán)數(shù)或權(quán)函數(shù)，這是

32、行之有效的一種方法，加權(quán)殘值法、廣義變分原理也是基于拉格朗日乘子法得來(lái)的。泛函條件極值問(wèn)題約束條件式i為x, y!, y2,.yn的函數(shù)i(x, yi, y2,.yn)0 (i 1,2,.k) k n (2-74)滿足式(2-74 )的約束條件下，求泛函X'''x F(x,y1, y2,.,yn,y1,y2,.yn)dx(2-75)x0的條件極值問(wèn)題。與前述一致，此問(wèn)題也有兩種方法，第一方法是通過(guò)式(2-74)的k個(gè)自變函數(shù)yi來(lái)表示泛函式(2-75)中的n-k個(gè)未知自變函數(shù)。把n個(gè)未知自變函數(shù)泛函式(2-75)的有條件極值 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n-k個(gè)未知自變函數(shù)的泛函極值問(wèn)題

33、。第二種方法是拉格朗日乘子法，選擇拉格朗日乘子函數(shù) i(x),i 1,2,.k，乘以式(2-74 )，相加式(2-75 )的函數(shù)F中，得到新的X11X0nFi(x) i(x,y1, y2,i 1.yn) dxX1F1dxx0(2-76)顯然，泛函1是自變函數(shù)yj( j 1,2,., n)的函數(shù)，同時(shí)又是i(i 1,2,.,k）的函數(shù)，因此泛函是n+k個(gè)未知自變函數(shù)的極值問(wèn)題。首先對(duì)式(2-76)用i求極值，即i有變分時(shí)極值條件為x11xi(x,y1,y2,.,yn) idx0 i 1,2,.,k(2-77)泛函1因?yàn)閕是任意值，不等于零，上式可導(dǎo)出(2-78)i(x, yi, y2,.yn)0

34、 (i 1,2,., k)這就是約束條件式（2-74）下求泛函式（2-75）的極值問(wèn)題。不難證明，式（2-76）的歐拉方程為FVjdx yj(2-79)為了能求出待定拉氏乘子x，需要諸乘子的系數(shù)滿足下列行列式不為零的要求，即:1 1y1y22 2y1y21 2y1y2同理，約束條件含一階導(dǎo)數(shù)的情況，即IIIi(x, y1, y2,.yn, %, y2,，yn) 01yn2ynnyn(2-80)i 1,2,., k; n k (2-81)求泛函芻'''x F(x,y1,y2,., Yn,y1,y2,.Yn)dxx3(2-82)的極值問(wèn)題歐拉方程為Fni dFni(x)-&

35、#39;i(x)/0yji 1Yj dx y ji 1yj在式(2-81)的約束條件下求泛函1,2, .n(2-83)(2-84)F(x,y1,y2,.,yn,y1, y2,.yn, y1',y2,., y：)dx的極值問(wèn)題的歐拉方程為yj i 1i(x)= dx 2i(x)丄 2(上)0 j 12n (2-85) y j dx y j例1件式。）所示梁在x如圖（這例題相當(dāng)于求泛函w, w為給定端點(diǎn)撓度，建立歐拉方程及邊界條I El0 2qw dxI處約束條件為 圖極值條件。 立新的泛函w w用拉格朗日乘子0時(shí)的，建22曰(診2qwdx(ww)(b)其變分式為I 1 d2wd2 EI0

36、 2wdx2 dx廠dx(ww) I(c)對(duì)上式右第一項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分，得2 2 2l d w d wd w d wEI 22 dx EI 20 dx dxdx dxd2w2 )y(ddx dxI蘭0dx2(Eld2w(d)wdx (d)dx2把上式代入式（c），并整理后，其極值條件為0嘗EI帶）q wdxEld 2w dw |dx2 dx 0EI dx上式成立的條件為.2d w、刃w IdxEl dxd 2wdx2(w w) |(e)(1)22*(EI 乎)dxdx在x =0I域內(nèi)(2)d.2(EI d w)0或w 0dxdx(3)ww0(4)d(EI.2d w2 )0或w0dxdxEI.

37、2dw 0或d w小0dxdx上式中第一式是梁彎曲微分方程式,顯，拉格朗日乘子的物理意義是在在x=l處在x =l處(f)在x =0處在x=0處和在x = l處即歐拉方程；第二式是確定拉格朗日乘子的方程，很明x=l處的剪力；第三式就是給定約束條件；第4和第5矩、剪力的邊界條件，如圖的情況，在x=0處空0，在x = l處El寫dxdx由式(f)的第二式，把 代入式(b)得新的泛函式21 1 d w 2.El (牙)qw dx10 2 dx2d(EI dW)(w w) idx dx(g)由此可知，泛函極值方程(e)給出歐拉方程式 和所有邊界條件式，所以變分問(wèn)題式(c)等價(jià)于式 (f)的微分方程的解。

38、例2證明如圖的無(wú)條件泛函式為i12qw dx w(kw El2.6 加權(quán)殘值法大量的應(yīng)用科學(xué)和工程學(xué)問(wèn)題往往可以歸結(jié)為根據(jù)一定的邊界條件，初始條件等，來(lái)求解問(wèn)題的控制微分方程式或微分方程組或關(guān)鍵的積分方程。微分方程式(組)可以是常微分方程，偏微分方程，線性的或非線性的。加權(quán)殘值法是一種數(shù)學(xué)方法，可以直接從微分方程 式(組)中得出近似解。該方法用于解算力學(xué)問(wèn)題具有原理的統(tǒng)一性和方法的一致收斂性， 應(yīng)用的廣泛性，且簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確，工作量少，程序簡(jiǎn)短，亦可用于解復(fù)雜問(wèn)題等優(yōu)點(diǎn)。加權(quán)殘值法的基本方法按權(quán)函數(shù)進(jìn)行分類，加權(quán)殘值法共有五類，可稱為加權(quán)殘值法的基本方法。1、最小二乘法解某一問(wèn)題時(shí)，在物體域 v內(nèi)

39、的殘值R平方積分式為：2I(Cj) vRdv(2-86)為使I(Cj)為最小，應(yīng)用求函數(shù)的極值條件:可得消除殘值方程式為:Cj(2-87)RRddv 0Cj(j=1,2,n )(2-8由此可知，最小二乘法中的權(quán)函數(shù)為R/ Cj，進(jìn)行運(yùn)算后(2-88)式即可化為n個(gè)代數(shù)方程式，足以求出n個(gè)待定系數(shù)Cj( j=1,2,n )。如果求解的問(wèn)題系屬二維的，則有最小二乘法消除殘值方程組為:,n )(2-89)R(x,y) R(X, y)dA 0(j,k=1,2,ACjk同樣，三維問(wèn)題的最小二乘法消除殘值方程組為:R(x, y,z)v5dv0 (j,k,l=1,2,Cjkl，n)(2-90)2、配置法最初

40、發(fā)展的配置法僅是配點(diǎn)法, 將詳述配點(diǎn)法。這是如果以笛拉克今年來(lái)在我國(guó)發(fā)展了配線法, 種使用極為廣泛又很方便的加權(quán)殘值法。函數(shù)作為權(quán)函數(shù)：配面法及配域法等,這里(2-91)Wj(x Xj)就得到了配點(diǎn)法。笛拉克函數(shù)又稱為單位脈沖函數(shù)。一維的單位脈沖函數(shù)其主要的性質(zhì)如下：a.(X Xj)0,(x Xj)Xj)(x(2-92)b.(xxj )dx(2-93)c.(xxj )dx1,0,(a Xj b)(x a,或 xb)(2-94)d.baf(x)(x Xj)dxf (Xj),(a0,(Xjb)a,或 Xjb)Xj(2-95)二維的單位脈沖函數(shù)的主要性質(zhì)如下:a.(xXj) (y yj)0,b.(x

41、 Xj) (y yj)dxdyc.(x(x1,0,xj及yXj及y(a(Xjba f (x, y) (X Xj) (y yj)dxdyayj)yj)x b及cb或 xjf (x,yj)0(2-96)d)ya 及 yjd 或 yjc)(2-98)(2-97)曰是，(1)配點(diǎn)在積分域內(nèi)，(2)配點(diǎn)不在積分域內(nèi)) 按(2-95)即有一維問(wèn)題的配點(diǎn)法，即：vRWjdvvR(x) (x Xj)dx R(Xj) 0(j=1,2,n)(2-99)按(2-98)即有二維的配點(diǎn)法，為:RWjdvR(x, y)vvR(Xj, yj)(X Xj) (y yj )dxdy0, (j 1,2,., n)上面兩個(gè)方程的意

42、義就是殘值應(yīng)在n個(gè)配點(diǎn) Xj (維)，(xj, yj)殘值方程中代入配點(diǎn)坐標(biāo)，置方程為零即可。于是解代數(shù)方程組(能解出待定系數(shù) C j( j2,.j n)。(2-100)(二維)處為零。亦即在1-3-13 )或(1-3-14 )即3、子域法將物體的域v分為n個(gè)子域vj(j=1,2，,n )，權(quán)函數(shù)如下確定:Wj1,0,(在Vj內(nèi))(不在Vj內(nèi))(2-101)列出消除殘值方程組為:Rdvjvj(j=1,2，,n )(2-102)運(yùn)算后解n個(gè)代數(shù)方程式即可求得Cj(j*1,2,., n)。伽遼金法實(shí)際上就是將試函數(shù)項(xiàng)當(dāng)作為權(quán)函數(shù)4、伽遼金法 若按加權(quán)殘值法的觀點(diǎn)去理解伽遼金法， 的加權(quán)殘值法。以薄

43、板彎曲問(wèn)題為例，薄板彎曲的控制微分方程為:2 2D w(x, y) q(x, y) 0(2-103)3式中，D Eh /12(12)為抗彎剛度，E為彈性模量，h為板的厚度，為材料泊松比,算子為22 / x22 / y2 , w為板的撓度，q(x,y)為作用于板上分布荷載的集度。若假設(shè)薄板撓度的試函數(shù)已滿足了所有的邊界條件為:_ nw Cjfj (X, y)j 1(2-104)則這塊薄板彎曲問(wèn)題的伽遼金法方程為:2 2 (D wSm或即為RWjdxdy(j=1,2，,n )(2-106)式中Sm2 2 R D w q, Wjfj(x, y)(2-107)所以，在伽遼金法中權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)。對(duì)(2

44、-106)式進(jìn)行運(yùn)算可得到一組代數(shù)方程組，從其中可解出待定系數(shù) Cj。5、矩量法在一維問(wèn)題中，矩量法的權(quán)函數(shù)為xj( j 0,1,., n 1)。消除殘值方程式為：Rxjdv 0, (j 0,1,., n 1)(2-108)v這里有n個(gè)代數(shù)方程式，可求出試函數(shù)中n個(gè)Cj(j 1,2,., n)二維問(wèn)題矩量法的消除殘值方程式為:R(x,y)xjyjdv 0, (j,k 0,1,2,., n 1)v(2-109)運(yùn)算后得代數(shù)方程組可以解出試函數(shù)中的Cjk(j, k 0,1,2,.)。2.6.2 加權(quán)殘值法的試函數(shù)在加權(quán)殘值法計(jì)算力學(xué)中，如何選用或確定待求函數(shù)的試函數(shù)十分重要。我國(guó)國(guó)內(nèi)加權(quán)殘值法計(jì)算

45、力學(xué)研究工作者在實(shí)踐中曾采用有下列試函數(shù)并取得良好的效果。按其使用頻繁的程度次序列出如下：1、單B樣條函數(shù)形式如：Cij i(x)Yj(y)(2-110)i j其中i(x)為從3次到9次的B樣條函數(shù)，Yj(y)為正交函數(shù)，或?yàn)檎一蛴嘞业娜呛瘮?shù)如sin(口)等，或?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)等。b2、多三角級(jí)數(shù)形式如：Amn sin m xsin n aBmncoscosU(2-111)及單三角級(jí)數(shù)如:a i sin i ,bi cosixcj sin jy.3 、多項(xiàng)式雙幕級(jí)數(shù) 形式如：mn1 2nyBmn(x2m 21) (y1)n.(2-112)4、單多項(xiàng)式級(jí)數(shù) 形式如：AiA?xA3X2.(1 孑)

46、(1(2-113)5、雙B樣條函數(shù) 形式如：j i(x) j(y)(2-114)i(x)及j(y)都是B樣條函數(shù)，從3次到9次。6 、多項(xiàng)式與三角函數(shù)積并與多項(xiàng)式之和 形式如：2G C2 rC3r cosC4r sin2.r sincos(2-115)7、雙調(diào)和函數(shù)如由e xsiny,cosy,x _ xe siny,ye y cos x.組成，或?yàn)?G cos1xch1 y C2 cos2xsh 2y C3 sin 3xch 3y(2-116)8、梁振動(dòng)函數(shù)C1 m sin mxC2m cos mx C3mshmxC4mchmx(2-117)9、對(duì)數(shù)函數(shù)如：G C2ln-ar2ln -,a2riln ri2(i1,2,3,.),(2-118)用于分析開(kāi)孔物體中。10、指數(shù)函數(shù)如:Aeir, e(a by)11、貝塞耳函數(shù)如:AJo()BJ ().12、“完備系”試函數(shù)如:C1 C2.r n(cos nsin n13、柱穩(wěn)定函數(shù)如：C1 C2x sink x cosk試函數(shù)是選擇在低級(jí)近似計(jì)算中十分重要。 中則不太重要，因?yàn)?，?jì)算中依靠了解的收斂性。