中考數(shù)學(xué)一元二次方程應(yīng)用題123

1、一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總同學(xué)們知道，學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法以后，就會(huì)經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關(guān)的生活中的應(yīng)用問(wèn)題，即列一元二次方程解應(yīng)用題，不少同學(xué)遇到這類問(wèn)題總是左右為難，難以下筆，事實(shí)上，同學(xué)們只要能認(rèn)真地閱讀題目，分析題意，并能學(xué)會(huì)分解題目，各個(gè)擊破，從而找到已知的條件和未知問(wèn)題，必要時(shí)可以通過(guò)畫圖、列表等方法來(lái)幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個(gè)或幾個(gè)相等的式子，從而列出方程求解，同時(shí)還要及時(shí)地檢驗(yàn)答案的正確性并作答.現(xiàn)就列一元二次方程解應(yīng)用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說(shuō)明.一、增長(zhǎng)率問(wèn)題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬(wàn)元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從

2、十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率.解設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x.，則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解這個(gè)方程，得x10.1，x22.1（舍去）.答這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%.說(shuō)明這是一道正增長(zhǎng)率問(wèn)題，對(duì)于正的增長(zhǎng)率問(wèn)題，在弄清楚增長(zhǎng)的次數(shù)和問(wèn)題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2n求解，其中mn.對(duì)于負(fù)的增長(zhǎng)率問(wèn)題，若經(jīng)過(guò)兩次相等下降后，則有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.二、商品定價(jià)例2益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每

3、件商品售價(jià)a元，則可賣出（35010a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過(guò)20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解根據(jù)題意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750，解這個(gè)方程，得a125，a231.因?yàn)?1×(1+20%)25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以35010a35010×25100（件）.答需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說(shuō)明商品的定價(jià)問(wèn)題是商品交易中的重要問(wèn)題，也是各種考試的熱點(diǎn).三、儲(chǔ)蓄問(wèn)題例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并

4、將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90x2+145x30.解這個(gè)方程，得x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x21.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.說(shuō)明這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.四、趣味問(wèn)題例4一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢

5、嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？解設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x1.8，整理，得x2+0.8x1.80.解這個(gè)方程，得x11.8（舍去），x21.所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說(shuō)明求解本題開始時(shí)好象無(wú)從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五、古詩(shī)問(wèn)題例5

6、讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x3.則根據(jù)題意，得x210(x3)+x，即x2-11x+300，解這個(gè)方程，得x5或x6.當(dāng)x5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)x6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為36歲.說(shuō)明本題雖然是一道古詩(shī)問(wèn)題，但它涉及到數(shù)字和年齡問(wèn)題，通過(guò)求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味.六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記

7、2分，輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選 手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.解設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n(n1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n(n1)局.由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為n(n1)分.顯然(n1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n1)1980，得

8、n2n19800，解得n145，n244（舍去）.答參加比賽的選手共有45人.說(shuō)明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈(zèng)賀年片等問(wèn)題，都可以仿照些方法求解.七、情景對(duì)話例7春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？解設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.因?yàn)?000×252500027000，所以員工人數(shù)一定超過(guò)25人.則根據(jù)題意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解這個(gè)方程，得x145，x

9、230.當(dāng)x45時(shí)，100020(x25)600700，故舍去x1；當(dāng)x230時(shí)，100020(x25)900700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.說(shuō)明求解本題要時(shí)刻注意對(duì)話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論.圖1如果人數(shù)超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元.如果人數(shù)不超過(guò)25人，人均旅游費(fèi)用為1000元.八、等積變形例8將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來(lái)荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路

10、.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說(shuō)明理由.解都能.（1）設(shè)小路寬為x，則18x+16xx2×18×15，即x234x+1800，解這個(gè)方程，得x，即x6.6.（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.14r2×18×15，即r257.32，所以r7.6.圖2圖4圖3說(shuō)明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.九、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例9如圖4所示，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8

11、cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由.解因?yàn)镃90°，所以AB10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得·(6x)·2x8.整理，得x26x+80，解這個(gè)方程，得x12，x24.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的

12、面積為8cm2.（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)·2x××6×8.整理，得x26x+120.由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說(shuō)明本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必須依據(jù)路程速度×時(shí)間.十、梯子問(wèn)題例10一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)

13、的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個(gè)方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個(gè)方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則根據(jù)

14、勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個(gè)方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m.說(shuō)明求解時(shí)應(yīng)注意無(wú)論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.十一、航海問(wèn)題圖5例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里

15、？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DFBC.因?yàn)锳BBC，D為AC的中點(diǎn)，所以DFAB100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解這個(gè)方程，得x1200118.4，x2200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海

16、里.說(shuō)明求解本題時(shí)，一定要認(rèn)真地分析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程.十二、圖表信息例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，劃分成12×12個(gè)小正方形格，將邊長(zhǎng)為n（n為整數(shù)，且2n11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n1)×(n1)個(gè)小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問(wèn)題：（1）由于正方形紙片邊長(zhǎng)n的取值

17、不同，完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴L(zhǎng)n23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.當(dāng)n2時(shí)，求S1S2的值；是否存在使得S1S2的n值？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖6解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12n)n2(n1)2n2+25n12.當(dāng)n2時(shí)，S122+25×21234，S212×1234110.所以S1S2341101755.若S1S2，則有n2+25n12×122，即n225n+840，解這個(gè)方程，得n14

18、，n221（舍去）.所以當(dāng)n4時(shí)，S1S2.所以這樣的n值是存在的.說(shuō)明求解本題時(shí)要通過(guò)閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問(wèn)題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來(lái)加以判斷.十三、探索在在問(wèn)題例13將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少?（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20x）cm.則根

19、據(jù)題意，得+17，解得x116，x24，當(dāng)x16時(shí)，20x4，當(dāng)x4時(shí)，20x16，答這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20y）cm.則由題意得+12，整理，得y220y+1040，移項(xiàng)并配方，得(y10)240，所以此方程無(wú)解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說(shuō)明本題的第（2）小問(wèn)也可以運(yùn)用求根公式中的b24ac來(lái)判定.若b24ac0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若b24ac0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b24ac160即無(wú)解.十四、平分幾何圖形的周長(zhǎng)與面積問(wèn)題例14如圖7，在等腰梯形ABCD中，ABDC5，AD4，B

20、C10.點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成12的兩部分？若存在，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖7KG解（1）由已知條件得，梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28.過(guò)點(diǎn)F作FGBC于G，過(guò)點(diǎn)A作AKBC于K.則可得，F(xiàn)G×4，所以SBEFBE·FGx2+x（7x10）.（2）存在.由（1）得x2+x14，解這個(gè)方程，得x17，x25（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE7.（3）不存在.假設(shè)存在，顯然有SBEFS多邊形AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.則有x2+x，整理，得3x224x+700，此時(shí)的求根公式中的b24ac5768400，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成12的兩部分.說(shuō)明求解本題時(shí)應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x25時(shí)，并不屬于7x10，應(yīng)及時(shí)地舍去；三是處理第（3）個(gè)問(wèn)題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元二