典型例題解析-_靜定結(jié)構(gòu)位移計算

1、第3章 靜定結(jié)構(gòu)位移計算 13第5章 靜定結(jié)構(gòu)位移計算 §5 1 基本概念圖3-1虛擬單位力狀態(tài)5-1-1 虛擬單位力狀態(tài)構(gòu)造方法虛擬單位力狀態(tài)構(gòu)造方法：（1）去掉所有荷載重畫一個結(jié)構(gòu)；（2）標(biāo)出所求位移矢量；（3）該矢量變成單位力，即得虛擬單位力狀態(tài)。 如圖3-1a剛架求C點(diǎn)豎向位移和C截面轉(zhuǎn)角，圖3-1b和圖3-1c為求相應(yīng)位移所構(gòu)造的虛擬單位力狀態(tài)。5-1-2 位移計算公式虛擬單位力作用下，引起的內(nèi)力和支座反力：實(shí)際荷載作用下，引起的內(nèi)力：位移計算一般公式 荷載作用產(chǎn)生位移的計算公式1、梁或剛架結(jié)構(gòu) 2、桁架結(jié)構(gòu) 3、混合結(jié)構(gòu) 支座移動引起位移計算公式溫度引起位移計算公式式中：

2、，h截面高度有彈性支座情況的位移計算公式圖3-2 圖乘法示意圖5-1-3 圖乘法圖乘法公式：圖乘法公式條件：等截面直桿且EI=常數(shù)求 y0圖形必須為一條直線正負(fù)號確定： 面積A 與y0同側(cè)取“+”號注意：求面積的圖形要會求面積和形心位置。為使計算過程簡潔、明了，先將面積和形心處對應(yīng)彎矩求出標(biāo)在彎矩圖一側(cè)，然后直接代入圖乘法公式求得位移。l例題31圖【分析】利用虛力原理計算位移，首先需要構(gòu)造一個與所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)，然后計算虛內(nèi)力在實(shí)際變形上所做的內(nèi)力虛功，對于荷載作用下剛架的位移計算，僅需計算在彎曲變形上的內(nèi)力虛功，為此，需要作荷載產(chǎn)生的彎矩圖（如圖b所示）。構(gòu)造單位力狀態(tài)：每求一個

3、位移重新畫一個結(jié)構(gòu)，將所求位移矢量（矢量方向任意假定）畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處，標(biāo)單位力值，即得到與所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)（分別如圖c、d所示）。虛擬單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際變形上做虛功，由于剛架僅需要計算彎曲內(nèi)力虛功，先作虛擬單位力產(chǎn)生的彎矩圖（如圖c、d所示）。圖乘法應(yīng)用：為使計算過程簡潔、明了，先將面積和形心處對應(yīng)彎矩求出標(biāo)在彎矩圖一側(cè)，然后直接代入圖乘法公式求得位移。特別注意：計算面積的圖形需要找形心位置，Mp圖AC桿面積用梯形減對稱拋物線面積，但形心位置不易計算，由于虛擬力狀態(tài)的AC桿彎矩為常數(shù)，因此本題AC桿不用計算確切形心位置。正負(fù)號選擇：面積彎矩圖與彎矩y在相同一側(cè)做正功取正號（

4、若不在同側(cè)時，內(nèi)力虛功為負(fù)，就應(yīng)取負(fù)號）。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。【例題3-1】 計算圖示結(jié)構(gòu)B轉(zhuǎn)角和D點(diǎn)豎向位移?！窘狻?求B截面轉(zhuǎn)角： （順時針）求D點(diǎn)的豎向位移： 例題32圖【例題3-2】分別計算圖示結(jié)構(gòu)A點(diǎn)、B點(diǎn)的豎向位移。【分析】利用虛力原理計算位移，首先需要構(gòu)造一個與所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)，然后計算虛內(nèi)力在實(shí)際變形上所做的內(nèi)力虛功，對于荷載作用下梁或剛架的位移計算，僅需計算在彎曲變形上的內(nèi)力虛功，為此，需要作荷載產(chǎn)生的彎矩圖（如圖b所示）。構(gòu)造單位力狀態(tài)：A點(diǎn)、B點(diǎn)豎向位移所對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)分別如圖d、c所示。求B點(diǎn)豎向位移：圖b和圖c作

5、圖乘，圖AB段為常數(shù)，MP圖AB段求面積A2不必確定形心位置；圖BC段為斜直線，MP圖BC段求面積A1，并確定形心位置，求對應(yīng)的圖彎矩y1。求A點(diǎn)豎向位移：圖BC段為直線，MP圖BC段求面積A1，并確定形心位置，求對應(yīng)圖彎矩y1。圖AB段為直線，MP圖AB段的面積分成三塊面積如圖e所示（兩個三角形和一個對稱拋物線），面積分別為A3、A4、A5，形心對應(yīng)的圖彎矩y3、y4、y5。注意：BC桿段抗彎剛度為2EI，相應(yīng)分母用2EI。 計算面積的圖形，要確定形心位置，對應(yīng)求彎矩值的彎矩圖要是一條直線（當(dāng)這條直線為常數(shù)時，求面積圖形不必確定形心位置）【解】求B點(diǎn)的豎向位移： 求A點(diǎn)的豎向位移：例題33圖

6、【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：能夠在轉(zhuǎn)角上做功的力是力偶，與A截面轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的單位力狀態(tài)如圖c所示。虛擬單位力做外力虛功等于所求位移。虛擬單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際變形上做內(nèi)力虛功，剛架僅需要計算彎曲內(nèi)力虛功，作虛擬單位力產(chǎn)生的彎矩圖（如圖c所示）。荷載彎矩圖：需要作荷載產(chǎn)生的彎矩圖（如圖b所示）。圖乘法應(yīng)用：本題兩個彎矩圖都為直線圖形，可以選其中任一個計算面積，另一個求彎矩值，由于AC桿直接圖乘形心不易計算， 本題對AC、DB桿件進(jìn)行一些特殊處理，方法如下：將DB桿件彎矩圖搬到AC上面（如圖虛線部分）變成AF，兩個圖都是三角形，可以直接圖乘，三角形的形心容易確定，這樣AC、DB一次圖乘就可以了；CE

7、、ED兩個桿件圖乘結(jié)果相同，只需計算一個即可。為使計算過程簡潔、明了，先將面積和形心處對應(yīng)彎矩求出后標(biāo)在彎矩圖一側(cè)，然后直接代入圖乘法公式求得位移。符號選?。簣D形在同側(cè)內(nèi)力虛功為正值，位移與虛擬力方向相同。【例題3-3】 計算圖示結(jié)構(gòu)A的轉(zhuǎn)角位移。各桿EI=常數(shù)?！窘狻?求A截面轉(zhuǎn)角： l【解】 例題34圖【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：重新畫一個結(jié)構(gòu)（如圖c所示），將所求位移矢量畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處I點(diǎn)，標(biāo)單位力值，即得到所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)（如圖c所示）。作荷載、單位力軸力圖：利用虛力原理計算位移，需要計算虛內(nèi)力在實(shí)際變形上所做的內(nèi)力虛功，對于求桁架結(jié)構(gòu)由荷載產(chǎn)生的位移，只計算在軸向變形上的

8、內(nèi)力虛功，為此，需要作荷載、單位力產(chǎn)生的軸力圖（如圖b、c所示）。位移計算公式應(yīng)用：桁架結(jié)構(gòu)位移計算僅有軸力項(xiàng)，軸力要帶符號計算（以拉力為正、壓力為負(fù)），對于桿件是等截面同材料，不需要作積分運(yùn)算，對所有桿件求和即可，要注意使用每個桿件的長度、彈性模量、面積。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。注：桁架內(nèi)力的計算方法本題桁架上部體系與地基之間只有三個聯(lián)系，可先求出支座反力，BJ桿件軸力在B處分解成X、Y方向再對A點(diǎn)取矩可以方便求得；其它桿件軸力利用結(jié)點(diǎn)法按照A、C、E、D、F、G、I順序列投影平衡條件得到。 ED、GF兩個桿件為零桿，可先求得?！纠}3-4】 計算圖示結(jié)構(gòu)I

9、點(diǎn)豎向位移。各桿EI=常數(shù)。ll例題35圖【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：每個位移重新畫一個結(jié)構(gòu)（如圖b、c所示），將所求位移矢量畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處，標(biāo)單位力值，即得到所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)。求A處角位移的單位力狀態(tài)如圖b所示，求C點(diǎn)水平位移的單位力狀態(tài)如圖c所示。靜定結(jié)構(gòu)因支座移動影響只發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生變形。虛擬力狀態(tài)的內(nèi)力也就不做內(nèi)力虛功，在此情況下不需要作內(nèi)力圖，虛擬力狀態(tài)的支座反力在位移狀態(tài)的支座位移上將做外力虛功；只需要求出對應(yīng)有支座移動的約束反力即可；支座不發(fā)生移動的，對應(yīng)虛擬力狀態(tài)的支座反力也不做外力虛功。計算支座反力：圖a體系的幾何組成為三剛片類型結(jié)構(gòu)，也稱作三鉸剛架。計算反

10、力要用雙截面法取兩次隔離體，本題只需要B支座反力,計算過程為：(1)先取整體ACDB隔離體，對A點(diǎn)列力矩平衡條件，求出B豎向反力；(2)再取一個剛片EDB隔離體，對E點(diǎn)列力矩平衡條件，求出B水平反力。正負(fù)號選擇：力和位移都是矢量，方向相同作正虛功，相反做負(fù)功。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。注意：位移計算公式支反力虛功前面的負(fù)號，是公式自帶的。本來是內(nèi)力虛功為零，外力虛功項(xiàng)在公式左端，移到右端加負(fù)號。【例題3-5】 圖示結(jié)構(gòu)B支座發(fā)生沉降,計算A的轉(zhuǎn)角位移和C點(diǎn)水平位移?！窘狻?A的轉(zhuǎn)角位移： （位移方向與虛擬單位力相同，順時針）C點(diǎn)水平位移： （位移方向與虛擬單位力

11、相反，向左）ll例題36圖【例題3-6】計算圖示結(jié)構(gòu)B轉(zhuǎn)角和A點(diǎn)水平位移（其中彈簧剛度為k）?！窘狻壳驛點(diǎn)的水平位移：（位移方向：向右）求B截面的轉(zhuǎn)角位移： （位移方向：逆時針）【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：每個位移需要重新畫一個結(jié)構(gòu)（如圖c、d所示），將所求位移矢量畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處，標(biāo)單位力值，即得到所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)。求B處角位移的單位力狀態(tài)如圖c所示，求A點(diǎn)水平位移的單位力狀態(tài)如圖d所示。內(nèi)力虛功：剛架在荷載作用下的位移計算，計算虛內(nèi)力在實(shí)際彎曲變形上所做的內(nèi)力虛功，為此，需要作荷載、單位力產(chǎn)生的彎矩圖。彈性支座計算：可以將彈性支座的彈簧當(dāng)作結(jié)構(gòu)的一部分；單位力產(chǎn)生的彈性支座反力，

12、在彈簧變形上做內(nèi)力虛功，其內(nèi)力虛功等于力乘以位移，彈簧位移等于位移狀態(tài)的彈性支座反力除以彈簧剛度（）。也可以將彈性支座按支座移動處理。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。注意：彎矩圖在圖乘時求面積A圖與y在同一側(cè)取正號，在不同側(cè)取負(fù)號。 彈簧內(nèi)力虛功符號：兩個支座反力、方向相同做正功，方向相反做負(fù)功。l例題37圖【例題3-7】計算圖示結(jié)構(gòu)B轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)水平位移。已知線膨脹系數(shù)為。-10【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：每個位移需要重新畫一個結(jié)構(gòu)（如圖b、c所示），將所求位移矢量畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處，標(biāo)單位力值，即得到所求位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)。求B處轉(zhuǎn)角位移的單位力狀態(tài)如圖b所示，求

13、C點(diǎn)水平位移的單位力狀態(tài)如圖c所示。作內(nèi)力圖： 對剛架由于溫度改變引起的位移計算，要考慮溫度改變引起的彎曲變形和軸向變形兩種因素對位移的影響，也就是要計算虛擬單位力狀態(tài)的內(nèi)力在彎曲、軸向變形上做的內(nèi)力虛功；作虛擬單位力產(chǎn)生的彎矩圖和軸力圖（如圖c、d所示）；軸力標(biāo)在桿件一側(cè)。內(nèi)力虛功正負(fù)號選擇：彎矩圖面積和桿件兩側(cè)溫度差都取正值，桿件溫度升高大的一側(cè)與彎矩圖在同側(cè)時內(nèi)力虛功為正，取正號，在不同側(cè)時取負(fù)號。軸力以拉力為正（壓力為負(fù)），符號不用選擇。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。 注意：若桿件截面不對稱時截面形心不在中間位置，需確定截面形心位置，以便計算截面形心處的溫度

14、；桿件兩側(cè)溫度差的計算與截面是否對稱無關(guān)?！窘狻緽截面的轉(zhuǎn)角位移： （轉(zhuǎn)角位移方向：順時針）C點(diǎn)水平位移： （水平位移方向：向右）l例題38圖【例題3-8】計算圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)和E點(diǎn)的豎向位移。EI=常數(shù)，EA=常數(shù)?！窘狻壳驝點(diǎn)的豎向位移： 求E點(diǎn)的豎向位移：【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：求C點(diǎn)豎向位移的單位力狀態(tài)如圖c所示，求E點(diǎn)豎向位移的單位力狀態(tài)如圖d所示。作內(nèi)力圖： 對組合結(jié)構(gòu)梁式桿件作彎矩圖、桁架桿件作軸力圖，F(xiàn)G桿件當(dāng)作梁式桿件處理（如圖b、c所示）。位移計算：梁式桿利用圖乘法求，正負(fù)符號選擇按照圖乘法，桁架桿軸力拉力為正（壓力為負(fù)）正負(fù)符號，代入。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就

15、是所求位移的方向。 結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算：本題為組合結(jié)構(gòu)，其幾何組成為基附型結(jié)構(gòu)，基本部分是簡支梁，附屬部分為桁架。內(nèi)力計算時按照先附屬后基本的順序進(jìn)行。當(dāng)附屬部分不受外力時，也沒有內(nèi)力。注意：FG桿件有彎矩，按照梁式桿計算。例題39圖【例題3-9】計算圖示結(jié)構(gòu)D點(diǎn)豎向位移和AE桿件的轉(zhuǎn)角。l【解】D點(diǎn)的豎向位移： （豎向位移方向：向上）AE桿件的轉(zhuǎn)角位移： （轉(zhuǎn)角位移方向：逆時針）【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：重新畫一個結(jié)構(gòu)（如圖b、c所示），將所求位移矢量畫在結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置處，標(biāo)單位力值。求D點(diǎn)豎向位移對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)如圖b所示；桁架只作用結(jié)點(diǎn)荷載，不能施加單位集中力偶，用一對力形成單位力偶，即求AE

16、桿件轉(zhuǎn)角所對應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)如圖c所示。計算單位力產(chǎn)生的軸力圖：利用虛力原理計算位移，需要計算虛內(nèi)力在實(shí)際變形上所做的內(nèi)力虛功，對于求桁架結(jié)構(gòu)由溫度改變產(chǎn)生的位移，只存在在軸向變形上的內(nèi)力虛功，為此，需要作單位力產(chǎn)生的軸力圖（如圖b、c所示）。位移計算公式應(yīng)用：桁架結(jié)構(gòu)位移計算公式僅有軸力項(xiàng)，軸力要帶符號計算（以拉力為正、壓力為負(fù)），溫度以升高為正，溫度不改變桿件不用計算，本題只需計算EF、CD兩桿件。位移實(shí)際方向：結(jié)果為正時虛擬單位力方向就是所求位移的方向。注：桁架內(nèi)力的計算方法本題桁架上部體系與地基之間只有三個聯(lián)系，可先求出支座反力，其它桿件軸力利用結(jié)點(diǎn)法取結(jié)點(diǎn)作隔離體，按照A、C、B、

17、D、F順序列投影平衡條件求出各個桿件的軸力。 同一個結(jié)構(gòu)的計算方法與幾何組成有關(guān)，而與其上面的作用力無關(guān)，即如圖b、c所示兩個結(jié)構(gòu)的軸力計算方法相同。例題310圖【例題3-10】圖示結(jié)構(gòu)EB桿件制造短了15 mm，支座C下沉， 計算F點(diǎn)豎向位移和AD桿件的轉(zhuǎn)角。4 m 【解】 F點(diǎn)的豎向位移：AD桿件的轉(zhuǎn)角：【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：求F點(diǎn)豎向位移的單位力狀態(tài)如圖b所示；由于制造誤差和支座移動使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，AD桿件任一點(diǎn)轉(zhuǎn)角相等，因此，求AD桿件轉(zhuǎn)角位移的單位力狀態(tài)如圖c所示。靜定結(jié)構(gòu)因制造誤差和支座移動影響只發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生變形，虛擬力狀態(tài)的內(nèi)力不做內(nèi)力虛變形功，也就不需要作內(nèi)力圖；

18、有制造誤差的桿件將產(chǎn)生內(nèi)力虛功，需計算相應(yīng)的虛內(nèi)力；虛擬力狀態(tài)的支座反力在位移狀態(tài)的支座位移上將做外力虛功，需要求出對應(yīng)有支座移動的約束反力；支座不發(fā)生移動的，對應(yīng)虛擬力狀態(tài)的支座反力也不做外力虛功。計算支座反力：圖a體系為基附型剛架，ADE為附屬部分，BFC為基本部分按三剛片組成。要按照先附后基的原則計算。附屬部分滿足二剛片規(guī)則用截面法求，基本部分用雙截面法（取兩次隔離體）計算。正負(fù)號選擇：力和位移都是矢量，方向相同作正虛功，相反做負(fù)功；制造誤差以伸長為正，軸力以拉為正。注意：位移計算公式支反力虛功前面的負(fù)號，是公式自帶的。有制造誤差，內(nèi)力虛功不為零，內(nèi)力虛功、外力虛功的符號由力、位移的正負(fù)符號決定，相同做正功。例題311圖【例題3-11】計算圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移。【解】求B點(diǎn)的豎向位移： 求C點(diǎn)的豎向位移：【分析】構(gòu)造單位力狀態(tài)：對應(yīng)每個位移單獨(dú)畫一個結(jié)構(gòu)，畫所求位移矢量，標(biāo)單位力，即得虛擬單位力狀態(tài)。求B、C點(diǎn)豎向位移的單位力狀態(tài)分別如圖c、d所示。荷載彎矩圖：需要作荷載產(chǎn)生的彎矩圖（如圖b所示）。圖乘法應(yīng)用：本題荷載彎矩圖為曲線圖形，荷載彎矩圖必須計算面積和確定形心位置。