初中四種典型的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

1、中考動(dòng)點(diǎn)問題講乂1、如圖1，已知線段 AB= 6, C D是AB上兩點(diǎn)，且 AC= DB= 1, P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在 AB同側(cè) 分別作等邊三角形 APE和等邊三角形PBF G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移 動(dòng)的路徑長度為.A MC P Q N D £22、正 ABC的邊長為 3cm,邊長為1cm的正 RPQ的頂點(diǎn)R與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P, Q分別在AC, AB上，將 RPQ沿著邊AB BC, CA逆時(shí)針連續(xù)翻轉(zhuǎn)(如圖所示)，直至點(diǎn)cm .(結(jié)果保留 n )P第一次回到原來位置，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為3、如圖，AB為O O的直徑，AB=8,點(diǎn)C為圓上任意一點(diǎn)，ODL A

2、C于D,當(dāng)點(diǎn)C在O 0上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn) D運(yùn)動(dòng) 的路徑長為6cm的等邊三角形木板 ABC在水平桌面上繞 C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到厶A' B' C'的4、如圖，一塊邊長為5、如圖所示，扇形 OAB從圖無滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)到圖，再由圖到圖，/0=60°, OA=1.(1 )求O點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路徑長；(2) O點(diǎn)走過路徑與直線 L圍成圖形的面積.6、如圖，0從0B,垂足為0, P、Q分別是射線 OA 0B上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ=4則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長是 7、如圖，半徑為2cm,圓心角為90°的扇形0AB的弧AB上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn) P.從點(diǎn)P向半徑0A引垂

3、線PH交0A于點(diǎn)日.設(shè)厶0PH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為 .&如圖，正方形 ABC啲邊長是2, M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止連接 EM并延長交射線 CD于點(diǎn)F,過M作EF的垂線交射線 BC于點(diǎn)G連結(jié)EG FG(1 )設(shè)AE= x時(shí)， EGF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2) P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)路線的長.BBC G9、某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8.問題思考：如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP BP為邊在同側(cè)作正方形 APDC B

4、PEF(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面 積之和的最小值.(2) 分別連接 AD DF、AF, AF交DP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 APK ADK DFK中，是否存在兩個(gè)面 積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由.問題拓展：(3) 如圖2,以AB為邊作正方形 ABCD動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)， 沿At BtO D的線路，向點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)0所經(jīng)過的路徑的長.(4) 如圖3，在“問題思考”中，若點(diǎn) M N是線段AB上的兩點(diǎn)，且 AM=BN=1點(diǎn)G H分別是邊CD EF的

5、 中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)0所經(jīng)過的路徑的長及 0M+0的最小值.A M PN B10、如圖1,在Rt ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長度的速 度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD/ BC交AB于點(diǎn)D,連接PQ分別從點(diǎn)A C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t> 0).(1 )直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=(2) 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改 變Q

6、的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn) Q的速度；(3) 如圖2,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.11、在直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A坐標(biāo)為（0, -1 ），點(diǎn)C是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1） 如圖， AOBn BCD都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn) C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn) D的運(yùn)動(dòng)軌跡；（2） 如圖2,A ABOD ACD都是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn) D的運(yùn)動(dòng)軌跡；（3） 如圖3,四邊形OABE是正方形，請(qǐng)你畫出正方形BCDF（ BCDF按照逆時(shí)針順序），并探究當(dāng)點(diǎn) C在x軸 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡。12、如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)

7、為(0, 6), B點(diǎn)坐標(biāo)為(8, 0),點(diǎn)P沿射線B0以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從A到0以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)0時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1 )設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為PQ的中點(diǎn)，請(qǐng)用t表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2) 設(shè)厶BPM勺面積為S,當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？(3) 請(qǐng)畫出M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，并說明理由；(4)若以A為圓心，AQ為半徑畫圓,13、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)是(0.3 ),點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終 保持 ACP是等邊三角形.當(dāng)點(diǎn) C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，得到等邊三角形 AOB(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合).(1 )

8、點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)(如圖)，求證： AOC2A ABP由此你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？(2)求點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P所在函數(shù)圖象的解析式.14、如圖，邊長為4的等邊三角形 AOB勺頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A在x軸正半軸上，點(diǎn) B在第一象限一 動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 是t秒.將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60°得點(diǎn)C點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接 CP CA 過點(diǎn)P作PDL 0B于點(diǎn)D.（1）填空：PD的長為用含t的代數(shù)式表示）；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；在

9、點(diǎn)P從0向A運(yùn)動(dòng)的過程中， PCA能否成為直角三角形？求 t的值.若不能，說理由；（4）填空：在點(diǎn) P從0向A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)路線的長為 _.15、等邊三角形 ABC勺邊長為6,在AC BC邊上各取一點(diǎn) E, F,連結(jié)AF, BE相交于點(diǎn)P.（1 ）若AE=CF求證：AF=BE并求/ APB的度數(shù).若AE=2,試求AP AF的值.C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.16、如圖，E, F是正方形 ABCD勺邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G 連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為 2,則線段DH長度的最小值是 .20、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn) A (- 2, 0),點(diǎn)

10、B ( 0, 2),點(diǎn)E,點(diǎn)F分別為OA OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形 OE D' F',記旋轉(zhuǎn)角為a .Ff(I)如圖，當(dāng) a =90°時(shí)，求AE', BF'的長；(H)如圖，當(dāng) a =135°時(shí)，求證 AE' =BF',且AE'丄BF ;(川)若直線 AE'與直線BF'相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)果即可)17、如圖，矩形 ABCD的邊AB=3cm AD=4cm點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線 AD移動(dòng)，以CE為直徑作O O,點(diǎn)F為O O與射線BD的公共點(diǎn)，連接 EF

11、、CF,過點(diǎn)E作EGL EF, EG與O O相交于點(diǎn) G,連接CG(1) 試說明四邊形 EFCG是矩形；(2) 當(dāng)O O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng).在點(diǎn) E移動(dòng)的過程中， 矩形EFCG勺面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明 理由； 求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長.E18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC勺兩邊OA 0C分別在x軸、y軸的正半軸上，OA 4, OC= 2 點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90。得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)而

12、運(yùn)動(dòng)，連接 DP DA（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn) D的坐標(biāo)；（2）求t為何值時(shí)， DPA的面積最大，最大為多少？（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中， 明理由；（4）請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)19. 如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 2，4），B（ 5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng), 動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒 1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了 x秒.（1） Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（_ ） （用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)x為何值時(shí)， APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形？（3） 記PQ的中點(diǎn)為G.請(qǐng)你直接寫出點(diǎn) G隨點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路線的長度.20、問題探究：(1) 請(qǐng)?jiān)趫D的正方形 ABCD內(nèi)