2020學年河北省衡水中學高考一模試題數(shù)學文

1、2020年河北省衡水中學高考一模試題數(shù)學文一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A=x|x-20，B=x|xa，若AB=A，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-，-2B.-2，+)C.(-，2D.2，+)解析：集合A=x|x-20=x|x2，B=x|xa，AB=A，a2.故選：D2.如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是，則|z1+z2|=()A.2B.3C.2D.3解析：由圖可知：=(-2，-1)，=(0，1).z1=-2-i，z2=i.z1+z2=-2-i+i=-2.|z1+z2|=2.故選：A3.已知平

2、面直角坐標系內(nèi)的兩個向量=(1，2)，=(m，3m-2)，且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一的表示成(，為實數(shù))，則m的取值范圍是()A.(-，2)B.(2，+)C.(-，+)D.(-，2)(2，+)解析：根據(jù)題意，向量、是不共線的向量，=(1，2)，b=(m，3m-2)，由向量、不共線，解之得m2，所以實數(shù)m的取值范圍是m|mR且m2.故選D4. 如圖給出的是計算的值的一個框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應填入的條件是()A.i8B.i9C.i10D.i11解析：經(jīng)過第一次循環(huán)得到S=，i=2，此時的i應該不滿足判斷框中的條件經(jīng)過第二次循環(huán)得到S=+，i=3，此時的i應該不滿足判斷框中的條件經(jīng)過第三次循環(huán)得

3、到S=+，i=4，此時的i應該不滿足判斷框中的條件經(jīng)過第十次循環(huán)得到S=+ +，i=11，此時的i應該滿足判斷框中的條件，執(zhí)行輸出，故判斷框中的條件是i10.故選C5.將函數(shù)f(x)=sinx-cosx的圖象向左平移m個單位(m0)，若所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是()A.B.C.D.解析：y=sinx-cosx=2sin(x-)然后向左平移m(m0)個單位后得到y(tǒng)=2sin(x+m-)的圖象為偶函數(shù)，關于y軸對稱，2sin(x+m-)=2sin(-x+m-)，sinxcos(m-)+cosxsin(m-)=-sinxcos(m-)+cosxsin(m-)sinxcos(m-)=0

4、，cos(m-)=0，m-=2k+，m=.m的最小值為.故選A.6.已知等比數(shù)列an中，a3=2，a4a6=16，則的值為()A.2B.4C.8D.16解析：設等比數(shù)列an的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，則a1=1，q2=2，=4.故選：B.7.某社團有男生30名，女生20名，從中抽取一個容量為5的樣本，恰好抽到2名男生和3名女生，則該抽樣一定不是系統(tǒng)抽樣；該抽樣可能是隨機抽樣；該抽樣不可能是分層抽樣；男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率；其中說法正確的為()A.B.C.D.解析：總體容量為50，樣本容量為5，第一步對50個個體進行編號，如男生1

5、30，女生3150；第二步確定分段間隔k=10；第三步在第一段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l10)；第四步將編號為l+10k(0k9)依次抽取，即可獲得整個樣本.故該抽樣可以是系統(tǒng)抽樣.因此不正確.因為總體個數(shù)不多，可以對每個個體進行編號，因此該抽樣可能是簡單的隨機抽樣，故正確；若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進行抽樣，且分層抽樣的比例相同，但現(xiàn)在某社團有男生30名，女生20名，抽取2男三女，抽的比例不同，故正確；該抽樣男生被抽到的概率=；女生被抽到的概率=，故前者小于后者.因此不正確.故選B.8.已知點Q在橢圓C：上，點P滿足(其中O為坐標原點，F(xiàn)1為橢圓C的左

6、焦點)，則點P的軌跡為()A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓解析：因為點P滿足，所以P是線段QF1的中點，設P(a，b)，由于F1為橢圓C：的左焦點，則F1(-，0)，故Q(2a+，2b)，由點Q在橢圓C：上，則點P的軌跡方程為，故點P的軌跡為橢圓.故選：D9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.27-B.18-C.27-3D.18-3解析：由三視圖可知，該幾何體為放到的直四棱柱，且中間挖去半個圓柱，由三視圖中的數(shù)據(jù)可得：四棱柱的高為3，底面為等腰梯形，梯形的上、下底邊分別為2、4，高為2，圓柱的高為3，圓柱底面的半徑都是1，幾何體的體積V=(2+4)23-123=18-

7、.故選：B10.三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為()A.5B.C.20D.4解析：PA平面ABC，ACBC，BC平面PAC，PB是三棱錐P-ABC的外接球直徑；RtPBA中，AB=，PA=，PB=，可得外接球半徑R=PB=，外接球的表面積S=4R2=5.故選A11.若函數(shù)y1=sin2x1-(x10，)，函數(shù)y2=x2+3，則(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為()A.B.C.D.解析：設z=(x1-x2)2+(y1-y2)2，則z的幾何意義是兩條曲線上動點之間的距離的平方，求函數(shù)y=sin2x-(x0，)的導數(shù)，f(x)

8、=2cos2x，直線y=x+3的斜率k=1，由f(x)=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此時y=six2x-=-=0，即函數(shù)在(，0)處的切線和直線y=x+3平行，則最短距離d=，(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值d2=()2=.故選：B12. 已知x，yR，且則存在R，使得(x-4)cos+ysin+=0的概率為()A.B.C.2-D.1-解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：對應的區(qū)域為三角形OAB，若存在R，使得(x-4)cos+ysin+=0成立，則，令sin=，則cos=，則方程等價為sin(+)=-，即sin(+)=，存在R，使得(x-4)cos+ys

9、in+=0成立，|1，即2，即(x-4)2+y22，則對應的區(qū)域在(4，0)為圓心，半徑為2的外部，由解得即A(3，1)，A也在圓上，則三角形OAC的面積S=41=2，直線x+y=4的傾斜角為，則ACB=，即扇形的面積為S=()2=，則P(x，y)構成的區(qū)域面積為S=2-，則對應的概率P=1-.故選：D二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)13.已知p：|x-1|2，q：x2-2x+1-a20，(a0)，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是 .解析：p：|x-1|2，得-1x3，p：x3或x-1，記A=x|x3或x-1，q：x2-2x+1-a20，x-(1-a)x-(

10、1+a)0，a0，1-a1+a.解得x1+a或x1-a.記B=x|x1+a或x1-a.p是q的充分不必要條件，AB，即解得解得0a2.答案：(0，214. 已知函數(shù)f(x)=的值域是0，+)，則實數(shù)m的取值范圍是 .解析：當m=0時，f(x)=，值域是0，+)，滿足條件；當m0時，f(x)的值域不會是0，+)，不滿足條件；當m0時，f(x)的被開方數(shù)是二次函數(shù)，0，即(m-3)2-4m0，m1或 m9.綜上，0m1或 m9，實數(shù)m的取值范圍是：0，19，+)，答案：0，19，+).15.若點P是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線=1上一點，滿足PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，則此雙曲線的離心

11、率為 .解析：|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，PF1PF2，F(xiàn)1F2=2cPF12+ PF22=F1F22c2=5a2e=答案：16.已知函數(shù)f(x)=Acos2(x+)+1(A0，0，0)的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0，2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)= .解析：已知函數(shù)f(x)=Acos2(x+)+1(A0，0，0)的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0，2)，可得A=2，f(0)=2cos+1=2，cos=，=，即f(x)=2cos2(x+)+1.

12、再根據(jù)其相鄰兩條對稱軸間的距離為=2，可得=，f(x)=2cos2(x+)+1=cos(x+)+2，故函數(shù)的周期為4.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4032，答案：4032.三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.設數(shù)列an的前n項和為Sn，且首項a13，an+1=Sn+3n(nN*).(1)求證：Sn-3n是等比數(shù)列；(2)若an為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.解析：(1)由an+1=Sn+3n(nN*)，可得數(shù)列Sn-3n是公比為2，首項為a

13、1-3的等比數(shù)列；(2)n2時，an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1，利用an為遞增數(shù)列，即可求a1的取值范圍.答案：(1)an+1=Sn+3n(nN*)，Sn+1=2Sn+3n，Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，a13，數(shù)列Sn-3n是公比為2，首項為a1-3的等比數(shù)列；(2)由(1)得Sn-3n=(a1-3)2n-1，Sn=(a1-3)2n-1+3n，n2時，an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1，an為遞增數(shù)列，n2時，(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1，n2時，2n-212()n-2+a1-30，a1-9，a2=a1+3a

14、1，a1的取值范圍是a1-9.18.今年5月，某商業(yè)集團公司根據(jù)相關評分細則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進行了考核評估，將各連鎖店的評估分數(shù)按60，70，70，80，80，90，90，100分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示，集團公司還依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為A、B、C、D四個等級，等級評定標準如下表所示：()估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的眾數(shù)和平均數(shù)；()從評估分數(shù)不少于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少選一家A等級的概率.解析：()根據(jù)最高小矩形下底邊的中點值為得出眾數(shù)是多少，根據(jù)直方圖中各小矩形的面積及底邊中點值求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)；()求出A、B等級的頻數(shù)是多少，利用古典

15、概型求出至少選一家A等級的概率.答案：()最高小矩形下底邊的中點值為75，估計評估得分的眾數(shù)為75；直方圖中從左至右第一、三、四個小矩形的面積分別為0.28、0.16、0.08，第二個小矩形的面積為1-0.28-0.16-0.08=0.48；.x=650.28+750.48+850.16+950.08=18.2+36+13.6+7.6=75.4，即估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的平均數(shù)為75.4；()A等級的頻數(shù)為250.08=2，B等級的頻數(shù)為250.16=4，從6家連鎖店中任選2家，共有=15種選法，其中選1家A等級和1家B等級的選法有24=8種，選2家A等級的選法有1種；P=，即至少選一

16、家A等級的概率是.19.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，ACC1=CC1B1=60，AC=2.(1)求證：AB1CC1；(2)若AB1=，求四棱錐A-BB1C1C的體積.解析：()連接AC1，CB1，取CC1中點O，連接OA，OB1，利用正三角形的性質可得：CC1OA，CC1OB1，可得CC1平面OAB1，即可證明.(II)利用勾股定理的逆定理可得：OAOB1.利用線面垂直的判定定理可得：OA平面BB1C1C.再利用四棱錐的體積計算公式即可得出.答案：()連接AC1，CB1，則ACC1和B1CC1皆為正三角形.取CC1中點O，連接OA，OB1

17、，則CC1OA，CC1OB1，又AOB1O=O，CC1平面OAB1，CC1AB1.()由()知，OA=OB1=，又AB1=，OA2+B1O2=AB12，OAOB1.又OACC1，OB1CC1=O，OA平面BB1C1C.=BCBB1sin60=2，故.20.設拋物線C1：y2=4x的準線與x軸交于點F1，焦點為F2，橢圓C2以F1和F2為焦點，離心率e=.設P是C1與C2的一個交點.(1)求橢圓C2的方程.(2)直線l過C2的右焦點F2，交C1于A1，A2兩點，且|A1A2|等于PF1F2的周長，求l的方程.解析：(1)由條件，F(xiàn)1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C2的兩焦點，離心率為，由此能

18、求出C2的方程和其右準線方程.(2)PF1F2的周長|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6.設l方程為y=k(x-1)，與C1方程聯(lián)立可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，由此利用弦長公式能求出l的方程.答案：(1)由條件，F(xiàn)1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C2的兩焦點，故半焦距為1，再由離心率為知半長軸長為2，從而C2的方程為，其右準線方程為x=4.(2)由(1)可知PF1F2的周長|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6.又C1：y2=4x而F2(1，0).若l垂直于x軸，由題意知|A1A2|=4，矛盾，故l不垂直于x軸，可設其方程為y=k(x-1)，與C1方程聯(lián)立可得k2x2-

19、(2k2+4)x+k2=0，從而|A1A2|=|x1-x2|=，|A1A2|等于PF1F2的周長，|A1A2|=6，解得k2=2，即k=，故l的方程為y=(x-1)或y=-(x-1).21.已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為3.(1)求實數(shù)a的值；(2)若f(x)kx2對任意x0成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)當nm1(m，nN*)時，證明：.解析：(1)求出f(x)的導數(shù)，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；(2)f(x)kx2對任意x0成立k對任意x0成立，令g(x)=，則問題轉化為求g(x)的最大值，運用導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最大值

20、，令k不小于最大值即可；(3)令h(x)=，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即得h(x)是(1，+)上的增函數(shù)，由nm1，則h(n)h(m)，化簡整理，即可得證.答案：(1)f(x)=ax+xlnx，f(x)=a+lnx+1，又f(x)的圖象在點x=e處的切線的斜率為3，f(e)=3，即a+lne+1=3，a=1； (2)由(1)知，f(x)=x+xlnx，f(x)kx2對任意x0成立k對任意x0成立，令g(x)=，則問題轉化為求g(x)的最大值，g(x)=，令g(x)=0，解得x=1，當0x1時，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函數(shù)；當x1時，g(x)0，g(x)在(1，+)上是減函數(shù). 故g(

21、x)在x=1處取得最大值g(1)=1，k1即為所求； (3)令h(x)=，則h(x)=，由(2)知，x1+lnx(x0)，h(x)0，h(x)是(1，+)上的增函數(shù)，nm1，h(n)h(m)，即，mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm，即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln(mnn)mln(nmm)n，(mnn)m(nmm)n，.22.如圖，已知O是ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是O的直徑.(1)求證：ACBC=ADAE；(2)過點C作O的切線交BA的延長線于點F，若AF=4，CF=6，求AC的長.解析：()首先連接B

22、E，由圓周角定理可得C=E，又由AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓的直徑，可得ADC=ABE=90，則可證得ADCABE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得ACAB=ADAE；()證明AFCCFB，即可求AC的長.答案：()連接BE，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓的直徑，ADC=ABE=90，C=E，ADCABE.AC：AE=AD：AB，ACAB=ADAE，又AB=BC，故ACBC=ADAE.()FC是O的切線，F(xiàn)C2=FAFB，又AF=4，CF=6，從而解得BF=9，AB=BF-AF=5，ACF=CBF，CFB=AFC，AFCCFB，AC=.23.在極坐標系中，Ox為極點，點A(2，)，B(2，).()求經(jīng)過O，A，B的圓C的極坐標方程；()以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸