GM11模型應(yīng)用及殘差修正

1、GM(1,1)預(yù)測模型應(yīng)用舉例灰色預(yù)測是基于GM(1,1)預(yù)測模型的預(yù)測,按其應(yīng)用的對象可有四種類型：(1)數(shù)列預(yù)測.這類預(yù)測是針對系統(tǒng)行為特征值的開展變化所進(jìn)行的預(yù)測.災(zāi)變預(yù)測.這類預(yù)測是針對系統(tǒng)行為的特征值超過某個闕值的異常值將在何 時出現(xiàn)的預(yù)測.季節(jié)災(zāi)變預(yù)測.假設(shè)系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年 中的某個特定的時區(qū),那么該預(yù)測為季節(jié)性災(zāi)變預(yù)測. 拓?fù)漕A(yù)測.這類預(yù)測是對一段時間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測.例1 (數(shù)列預(yù)測)：設(shè)原始序列X (0) = (x(1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5) = (2.874,3.278,

2、3.337,3.390,3.679)試用GM(1,1)模型對X(0)進(jìn)行模擬和預(yù)測,并計算模擬精度.解：第一步：對X(0)進(jìn)行一次累加,得X (1) - (2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：對X(0)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn).由；(k)x(0)(k)x(1)(k -1)得 P(3)定0.54,P(4)定 0.36 <0.5, P(5)Z 0.29 <0.5.當(dāng)k>3時準(zhǔn)光滑條件滿足.第三步：檢驗(yàn)X(1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律.由(k)=x(1)(k)x(1) (k -1)二1 ：(k)得 c (1)(3) ： 1.54,二(4)、1.36,二：1.29

3、當(dāng)k>3時,仃(k)=1,1.5, 6 <0.5,準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足,故可對X建立GM(1,1) 模型.第四步：對X作緊鄰均值生成,得Z三(4.513,7.820,11.184,14.718)于是一一/)(2) z(1)(3) j-z(1)(4) z(1)(5)11111-4.513 1-7.820 11-11.184 1；14.7 1 8 1_丁)(2)【 |x(0)(3) jx(0)(4) 1 (5) 一3.2 7 83.3 3 73.4 9 013.6 7 9第五步：對參數(shù)列? = a, bT進(jìn)行最小二乘估計.得c T J T 0.0 37 2?二(BtB) BtY 二 3.0

4、65 3第六步：確定模型Q0.037* =3.0653 dt及時間響應(yīng)序列-82.4 0 2 1 5 10(1)(k 1) =(x(1) -P)e'k b =85.276151e°°372k a a第七步：求X(1)的模擬值資=便(1), ?(2),(3),7)(4), 6)(5)(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5 5 5)8第八步：復(fù)原求出X(0)的模擬值.由?(0)(k 1) =a(1)?(k 1) =/“(k 1) /"(k)得*(0) = (X(0) (1),?(0) (2),婢(3),姆(4),婷(5) =(2.

5、8 7 4,0.2 3 2,0.3 5 4,5.4 8 1,7.6 1 3)6 第九步：檢驗(yàn)誤差.由下表可算出殘差平方和： 誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)(0)/i x (k)模擬數(shù)據(jù)/4)殘差a(k) = x(0)(k)-娉(k)相對誤差& -科(k)|k 一(0)/1 x (k)23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相對誤差1.6025%第十步：預(yù)測X(0)(k 1)?(1) (6) =85.276151e0.0372 5 82.4021

6、51 = 20.3063?(0)(6) =3.7505?(1) (7) =85.276151e°.°3726 82.402151 = 24.1 99 1?(0)(7) = 3.8 9 28 . . . . . .例2 (災(zāi)變預(yù)測)：某企業(yè)生產(chǎn)用原料屬受自然災(zāi)害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品.一般來 說,自然災(zāi)害的發(fā)生有其偶然性,但對歷史數(shù)據(jù)的整理,仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性.為 盡量減少生產(chǎn)不受自然災(zāi)害的影響,該企業(yè)希望了解影響原料供給的規(guī)律性并提前做 好原料儲藏,所收集數(shù)據(jù)見下表,并規(guī)定每畝平均收獲量小于32仃克時為欠收年份, 將影響原料的正常供給,現(xiàn)應(yīng)用灰色災(zāi)變預(yù)測來預(yù)測下次發(fā)生欠收的年份

7、.原料收獲統(tǒng)計表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001202220222022202220222022收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號替換,并找出收獲量小于32仃克的年份序號形成初始序列初0).本例初始序列：.(0) =(3,8,10,14,17)一次累加生成序列：.=(3,11,21,35,52)與的緊鄰均值生成序列：Z= (7,16,28,43.5)第二步：按Z建GM(1,1)模型.-z(2) z(3)

8、-z(4)-z(1)(5)1【111-7-16-2843.5111%(0) (2) 1 仔(0) (3) 切(0) (4) 60)(5) 一一811014 17 一八(BSBf0鬻1,(t 1) = (0) (t) -be*tb =27.67702e0.25361t -24.67702a a第三步：預(yù)測當(dāng) t=6 時,?(1)(6) =73.684?(0)(6) =21.6848因此,下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2022年至2022年,即四至五年后 將出現(xiàn)欠收年份.其他預(yù)測類型見參考書二.殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型精度不符合要求時,可使用殘差序列建立GM(1,1)模型

9、,對原來模 型進(jìn)行修正,以提升精度.定義4設(shè)(0)(0)(0)(0) /"=(",-7(2),.,卜,(n)其中,楙)=*(0a)-?(1)(2為*(1)的殘差序列.假設(shè)存在k0,滿足1 .-k .k0,；(k)的符號一致；2 .n -k0之4 ,那么稱(| ；(0?.)|,| ；(0)(k.1)|,.,| ；(0)(n)|) 為可建模殘差尾段,仍記為；(0)=(；(k°), ；(0)(k0 - 1),., ；(0)(n)命題1設(shè)i0) =(J0)(k0)"(0)(k0十1),.,)(n)為可建模殘差尾段,其一次累加序；(1)=(；(k°),；

10、(k0 1),., ；(1)(n)的GM(1,1)模型的時間響應(yīng)式為?6(k 1) = ( ；(0)(k0) 一也)e4k*) b-,k -k0a ；a ；那么殘差尾段的模擬序列為?(0) =(?(0)他),?(0)(k01),., ?(0)(n)其中?(0) (k1)=(-a；)(；(0)(k0)-5)ef(k“0),k.k0a ；定義5假設(shè)用？修正父那么稱修正后的時間響應(yīng)式?(1) (k 1)=/ (0)(x(0) b-akb(x (1) )e 一,k ：二 k0a a3)ek2 _a ( ；(0)(k0)匹)e (k-Ha aa .k - k0為殘差修正GM(1,1)模型,簡稱殘差GM(

11、1,1)0其中殘差修正值?(0)(k 1) =(-a .)( ；(0)(k0).巴)e3(j)a；的符號應(yīng)與殘差尾段名(0)的符號保持一致.定義6假設(shè)X(0)(k) =?(1)(k) ?(k 1) =(1 ea)(x(0)口拉小口那么相應(yīng)的殘差修 a正時間響應(yīng)式(1-ea)(x(0)(1)-)e"k, k<k0父(k+1)=?ba b(1 -ea)(x(0)上*k ±ae(0)(k0) .%)ef0) , k 之k0aasL/稱為累減復(fù)原式的殘差修正模型.例題湖北省云夢縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為X (0) = (x(0)(1),x(0)(2), x(0)(3),x(0)(4)

12、, x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7), x(0) (8),.,x(0) (13)=(6,20,40,25,40,45,35,21,14,18,15.5,17,15)建立GM(1,1)模型,得時間響應(yīng)式為?(1) (k 1) =-567.999eqO6486k 573.999作累減復(fù)原,得義(0) =x>(0)(k)23= (35.6704,33.4303,31.3308,29.3682,27.5192,25.7900,24.1719,22.6534,21.2307,19.8974,18.6478,17.4768)檢驗(yàn)其精度：列出誤差檢驗(yàn)表誤:差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)模

13、擬數(shù)據(jù)殘差相對誤差x(0)(k)文(k)&(k) =x(0)(k)-(k)a _ |£(k)|k 一 (0)x (k)22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.51

14、9.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相對誤差30.11%由此可見,相對精度不到70%,需采用殘差模型進(jìn)行修正.取.=9,得殘差尾段；(0) = (；(0)(9),；(10), ；(0)(11),；(12), ；(0)(13)= (-8.6 5 3,43.2 3 0,74.39 7,41.6 4 7,82.4 7 6)8此為可建模殘差尾段,去絕對值,得；(0) =(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型,得/°)的一次累加

15、序列a的時間響應(yīng)式:?(1)(k - 1) = -24e-0.16855(k-9) - 32.7其導(dǎo)數(shù)復(fù)原值為c(0)_0.1 6 8(5<59)_0.1 6 8(3k 59)? (k 1) = (0.16855)(24)e( )=4.0452e( )由及(0)(k +1) = ?(k +1)父(k) =(1ea)(x(0)b)e"k =38.0614e906486k 可得累 a減復(fù)原式殘差修正模型為娉(k +1)=38.0614e °06486 k, k ： 938.0614eq06486k 4.0452eJL16855(k") , k _ 9其中,20)

16、(k+1)的符號與原始?xì)埐钚蛄械姆栆恢掳创四Ｐ?可對k=10,11,12,1訓(xùn)個模擬值進(jìn)行休整,修正后的精度如下表: 誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù) x(0)(k)模擬數(shù)據(jù)X(0)(k)殘差-k) =x(0)(k)-婢(k)相對誤差a lk)|41.=k x(0)(k)101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相對誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提升.因此時殘差序列已不滿足建 模要求,假設(shè)對殘差精度仍不滿意,就只有考慮采用其它

17、模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適 當(dāng)取舍.三.GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中,原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模.我們在原始數(shù)據(jù)序列中取出一局部數(shù)據(jù),就可以建立一個模型.一般來說,去不同的數(shù)據(jù),建立的模型也 不一樣,即使都建立同類的GM(1,1)模型,選擇不同的數(shù)據(jù),參數(shù)a,b的值也不一樣. 這種變化,正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映.例如我國的 糧食產(chǎn)量,假設(shè)采用建國以來的數(shù)據(jù)建立 GM(1,1)模型,開展系數(shù)-a偏小；而舍去1978 年以前的數(shù)據(jù),用剩余的數(shù)據(jù)建模,開展系數(shù)-a明顯增大.定義 1 設(shè)序列 X(0) =(x(o)(1),x(o)(2),.,x(o)(n)將x

18、(0)(n)取為時間軸的原點(diǎn),那么稱t<n為過去,t=n為現(xiàn)在,t>n為未來.定義 2 設(shè)序列 x(0) =(x(0),x(0),.,x(0)(n) , 50)(k+1) =(1ea)(x(0)B)ek , a為其GM(1,1)時間相應(yīng)式的累減復(fù)原值,那么：1 .當(dāng)twn時,稱欠(0)為模型模擬值；2 .當(dāng)t > n時,稱父(t)為模型預(yù)測值.建模的主要目的是預(yù)測,為提升預(yù)測精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤 其是t=n時的模擬精度.因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括x(0)(n)在內(nèi)的一個等時距序列.定義3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X(0) =(x(0"1),x(0)(2),

19、.,x(0)(n)1 .用 X (0) =(x?1), x(0) (2),., x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù) GM(1,1);2 .Vk0 >1 ,用 X(0) =(x(0)(k0),x(0)(k0 +1),.,x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為局部數(shù)據(jù) GM(1,1);3 .設(shè)x(0)(n+1)為最新信息,將x(0)(n+1)置入X(0),稱用X(0) =(x(0),x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(n+1)建立的模型為新信息 GM(1,1);4 .置入新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),稱用X(0) =(x(0)(2),.

20、,x(0)(n),x(0)(n+1)建立的模型為新陳代謝 GM(1,1).很顯然,新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測效果會更好.任何一個系統(tǒng)隨著時間的 推移,將會不斷地有一些隨機(jī)擾動或驅(qū)動因素進(jìn)入系統(tǒng),使系統(tǒng)的開展受到影響.因 此,在實(shí)際預(yù)測中,必須不斷地將每一個新數(shù)據(jù)置入,已考慮到這些隨機(jī)或驅(qū)動因素.相比之下,新陳代謝模型是最理想的模型.隨著系統(tǒng)的開展,老數(shù)據(jù)的信息意義 將逐步降低,在不斷補(bǔ)充新信息的同時,及時地去掉老數(shù)據(jù),建模序列更能反映系統(tǒng) 在目前的特征.4 .GM(1,1)模型的適用范圍可以證實(shí),當(dāng) GM(1,1)的開展系數(shù)|a戶2時,GM(1,1)模型無意義.因此,(-嗎-2 =2,+比)

21、是GM(1,1)開展系數(shù)a的禁區(qū).在此區(qū)間,GM(1,1)模型失去意義一般地,當(dāng)|a|<2時,GM(1,1)模型有意義.但是,隨著a的不同取值,預(yù)測效果也不同.通過數(shù)值分析,有如下結(jié)論：(1)當(dāng)aM0.3時,GM(1,1)的1步預(yù)測精度在98%以上,2步和5步預(yù)測精度都 在97%以上,可用于中長期預(yù)測；(2)當(dāng)0.3<-a W0.5時,GM(1,1)的1步和2步預(yù)測精度都在90%以上,10步預(yù)測 精度也高于80%,可用于短期預(yù)測,中長期預(yù)測慎用；(3)當(dāng)0.5<-a W0.8時,GM(1,1)用作短期預(yù)測應(yīng)十分慎重；(4)當(dāng)0.8<-aM1時,GM(1,1)的1步預(yù)測精度已低于70%,應(yīng)采用殘差修正模 型；(5)當(dāng)a>1時,不宜采用GM(1,1)