有限元基本知識歸納

1、有限元知識點歸納1.、有限元解的特點、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以節(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的變形進(jìn)行了約束和限制，使單元的剛度較實際連續(xù)體加強(qiáng)了，因此，連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的剛度較實際的剛度K為大，因此求得的位移近似解總體上將小于精確解。2、形函數(shù)收斂準(zhǔn)則（寫出某種單元的形函數(shù)，并討論收斂性）P49在節(jié)點i處Ni=1,其它節(jié)點 N i=0;（2）在單元之間，必須使由其定義的未知量連續(xù)；（3）應(yīng)包含完全一次多項式；（4）應(yīng)滿足匯Ni=1以上條件是使單元滿足收斂

2、條件所必須得?？梢酝谱C，由滿足以上條件的形函數(shù)所建單元是完備協(xié)調(diào)的單元，所以一定是收斂的。4、等參元的概念、特點、用時注意什么？（王勖成P131 ）答：等參元一為了將局部坐標(biāo)中幾何形狀規(guī)則的單元轉(zhuǎn)換成總體（笛卡爾）坐標(biāo)中的幾何形狀扭曲的單元，以滿足對一般形狀求解域進(jìn)行離散化的需要，必須建立一個坐標(biāo)變換。即：為建立上述的變換，最方便的方法是將上式表示成插值函數(shù)的形式，即：其中m是用以進(jìn)行坐標(biāo)變換的單元節(jié)點數(shù)，xi,yi,zi是這些結(jié)點在總體（笛卡爾）坐標(biāo)內(nèi)的坐標(biāo)值，Ni '稱為形狀函數(shù)，實際上它也是局部坐標(biāo)表示的插值函數(shù)。稱前者為母單元，后者為子單元。還可以看到坐標(biāo)變換關(guān)系式和函數(shù)插值表

3、示式：在形式上是相同的。如果坐標(biāo)變換和函數(shù)插值采用相同的結(jié)點，并且采用相同的插值函數(shù)，即 m=n , Ni' =Ni,則稱這種變換為等參變換。5、單元離散？ P42答：離散化既是將連續(xù)體用假想的線或面分割成有限個部分，各部分之間用有限個點相連。每個部分稱為一個單元，連接點稱為結(jié)點。對于平面問題，最簡單、最常用的離散方式是將其分解成有限個三角形單元，單元之間在三角形頂點上相連。這種單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?。常用的單元離散有三節(jié)點三角形單元、六節(jié)點三角形單元、四節(jié)點四邊形單元、八節(jié)點四邊形單元以及等參元。6、數(shù)值積分，階次選擇的基本要求？答：通常是選用高斯積分積分階次的選擇一采用數(shù)值積分代

4、替精確積分時，積分階數(shù)的選取應(yīng)適當(dāng)，因為它直接影響計算精度,計算工作量。選擇時主要從兩方面考慮。一是要保證積分的精度，不損失收斂性；二是要避免引起結(jié)構(gòu)總 剛度矩陣的奇異性，導(dǎo)致計算的失敗。1有限元法的基本原理是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解。分析指導(dǎo)思想：化整為零，裁彎取直，以簡馭繁，變難為易單元位移函數(shù)應(yīng)滿足什么條件a、位移模式必須能反映單元的剛體位移b、位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變c、位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性，相鄰單元間要協(xié)調(diào)剛度矩陣具有什么

5、特點A、剛度矩陣是對稱矩陣B、每個元素有明確的物理意義C、剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的D、剛度矩陣是一個稀疏矩陣E、剛度矩陣是一個奇異陣1 .單元分析(平面桁架單元、平面梁單元、平面3節(jié)點三角形單元、平面 4節(jié)點四邊形單元、平面 8節(jié)點四邊形單元)整體平衡方程中約束條件的處理A、劃行劃列法：零位移約束條件、非零位移約束條件B、乘大數(shù)法13 .有限元分析的基本步驟(1)將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元劃分、結(jié)點編號、單元編號、結(jié)點坐標(biāo)計算、位移約束條件確定(2)等效結(jié)點力的計算(3)剛度矩陣的計算(先逐個計算單元剛度，再組裝成整體剛度矩陣)(4)建立整體平衡方程，引入約束條件，求解結(jié)點位移(5)

6、應(yīng)力計算14 .形函數(shù)的性質(zhì)a、形函數(shù)Ni在結(jié)點i上的值等于1 ,在其他結(jié)點上的值等于 0b、在單元中的任一點，三個形函數(shù)之和等于1xx.xxc、在三角形單兀邊界 ij上一點(x,y),有形函數(shù)公式 Ni(x,y) 1 Nj(x,y) 1 X xixj xiNm(x,y) 0 A1 二d、形函數(shù)Ni在單兀上的面積積分和邊界ij上的線積分公式為Nidxdy Nidl - ija3ij 2 .ij為ij邊的長度15.平面問題中的應(yīng)力分量應(yīng)滿足哪些條件A、平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件、多連體中的位移單值條件B、代入相容方程，不滿足相容方程，不是可能的解答C、代入相容方程，不滿足相容方程，由此

7、求得的位移分量不存在6、位移函數(shù)的收斂性條件（協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元）及單元協(xié)調(diào)性的判斷影響有限元解的誤差：1）離散誤差2）位移函數(shù)誤差收斂準(zhǔn)則:1)位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項）u xvy3節(jié)點三角形單元為例證明xy2)位移函數(shù)必須包括單元的剛體位移（即單元應(yīng)變2, 6, 35為0時的位移）（即常量項）0 y 一， 一，（平動和轉(zhuǎn)動），ox4)3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）,因為線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù),（相鄰單元在公共邊界上位移值相同）。設(shè)公共邊界直線方程為 y=Ax+B，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為U 12x 3V 45x 6（A

8、x B）u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。（Ax B）綜上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元注：上述四個條件稱為有限元解收斂于真實解的充分條件；前三個條件稱為必要條件。滿足四個條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)無£遜足前三個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元前兩個條件的單元稱為完 備元。5、位移函數(shù)的構(gòu)造方法及基本條件定義：有限單元法的基本原理是分塊近似1 每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)1 .）廣義坐標(biāo)法一一構(gòu)造一維單元位移函數(shù):u（x） 01X1X2

9、. nXn簡記為 u（x）u12x3y3下點二角形單兀的位移函數(shù)1X X2. XnV45X6y 012 . ni為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo)2.）廣!匡遨法二一即將位移函數(shù)表示為各個節(jié)點位移與已知插值基函數(shù)積的和。u(x) N1(X)u1 N2(x)u2 .一維：n二維Ni(x)u1u(x, y)1nv(x, y)1NiUNi可為形函數(shù)NiVi選擇位移函數(shù)的一般原則（基本條件）1）位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應(yīng)等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的） 2）所詵位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。注：為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項式可得到與真實 解接近的近似解1、平面應(yīng)

10、力/平面應(yīng)變問題；空間問題/軸對稱問題；板殼問題；桿梁問題；溫度場；線性問題/非線性問題（材料非線性/幾何非線性）等1.）平面應(yīng)力問題：如等厚度薄板。彈性體在一個坐標(biāo)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個方向的幾何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度變化的外力（表面力或體積力）。在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量，即yx* *（z 0, zx xz 0, zy yz 0 ）。一般 z 0, z并不一定等于零，但可由 x及y求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮 X、寸xy三個應(yīng)變分量即可。2 .）平面應(yīng)變問題：如長厚壁圓筒（受均勻內(nèi)壓或外壓）重力剪一縱向（即Z向）很長，且沿

11、橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，所有一切應(yīng)力分量、 應(yīng)變分量和位移分量都不沿 Z方向變化,它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱（任一橫截面都可以看作對稱面 ），所有各點都只會有 x和y方向的位移而不會有 Z方向的位移， 即w = 0這種問題稱為平面位移問題，習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。z yz zx 0只剩下三個應(yīng)變分量x、 y、 xy。也只需要考慮 x、 y、 xy三個應(yīng)力分量即可。兩種平面問題，幾何方程，虛功方程，物理方程相同。彈性矩陣不同。3 .）空間軸對稱問題一即彈性體內(nèi)任一點的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)r、z有關(guān)，與 無關(guān)幾何形狀關(guān)于軸線對

12、稱;作用于其上的載荷關(guān)于軸線對稱。約束條件關(guān)于軸線對稱。軸對稱單元的特點（與平面三角形單元的區(qū)別）軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；應(yīng)變分量中出現(xiàn)了 u/ ,即應(yīng)變不是常量；且應(yīng)變矩陣在r-» 0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標(biāo)替代節(jié)點坐標(biāo)。4 .）力學(xué)概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板1 1t 1 1N 溥板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的（指一個單80 100 b 5 8則稱為平面應(yīng)力問題；如作用于元），則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向

13、載荷,板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節(jié)點當(dāng)作剛性節(jié)點，即節(jié)點處 同時有節(jié)點力和節(jié)點力矩作用。每個節(jié)點有三個自由度,即一個擾度和分別繞x, y軸的轉(zhuǎn)角薄板矩形/三角形單元是非協(xié)調(diào)單元（相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)）。但實踐表明，當(dāng)單元細(xì)分，其解完全能收斂真實解。3、有限元法的基本思想（二次近似）與有限元分析的基本步驟（5步）有限元法的基本思想：先將求解域離散為有限個單元,單元與單元只在節(jié)點相互連接；-即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替（第一次近似）對每個單元選擇一

14、個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律,該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)（第二近似）基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程）借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。有限元分析的基本步驟：所研究問題的數(shù)學(xué)建模物體離散（第一次近似）網(wǎng)格劃分-即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元邊界處理-即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形-單元的幾何特性 2） 一個單元內(nèi)的物理特性必須相同-單元的物理特性單元分析（

15、第二近似）整體分析與求解，整體分析的四個步驟:1、)建立整體剛度矩陣；2、)根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、)解方程組，求節(jié)點位移(消元法和迭代法)；4、)根據(jù)節(jié)點位移求出應(yīng)力。結(jié)果分析及后處理10、形函數(shù)特點即插值基函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，由節(jié)點位移求單元內(nèi)任意一點的位移1)形函數(shù)Ni為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。Ni(x,yi) 1N(Xj,yj) 0Ni(xm,ym) 02)形函數(shù)Ni在i節(jié)點處的值等于1,類似Nj(x,yi)0 Nj(Xj,yj)1Nj(xm,ym)0Nm(Xi,yi) 0 Nm(Xj,yj) 0 Nm(Xm,ym) 1而在其他節(jié)點上的值為 0。3)

16、單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。Ni(X,y) N j(X, y) Nm(X, y) 14)形函數(shù)的值在01間變化。11、單元剛度矩陣的性質(zhì)及元素的物理意義1 .)對常應(yīng)變?nèi)切螁卧簡卧獎偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸?Ke BbBdXdydz 則Vee eF K 6它建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。2 .) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題中的單元剛度矩陣單元剛陣K的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。其元素k

17、ij的意義為：當(dāng)?shù)?j個自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為0時，在第i個自由度上所施加的力。若按節(jié)點來說明,則剛陣中每個 子塊kij表示：當(dāng)節(jié)點j處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點固定時， 在節(jié)點i上所施加的力。K的腳碼，標(biāo)有“-的表示水平方向，沒有標(biāo)“”的表不垂直方向。Kj表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所需要施加的水平節(jié)點力的大小單元剛度矩陣的性質(zhì)：1）對稱陣2）主對角線元素恒為正值3）奇異陣，即|K|=0 ,4）所有奇數(shù)行的對應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應(yīng)元素之和也為零。由此可見,單元剛陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。12、常用單元的特性（如單元內(nèi)部

18、邊界位移/應(yīng)變/應(yīng)力分布，相鄰單元邊界的協(xié)調(diào)性分析）（常應(yīng)變單元三角形/四面體；矩形單元；等參四邊形單元；矩形板單元）1 .）三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng) 變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?yīng)變矩陣B反映了單元內(nèi)任一點的應(yīng)變與節(jié)點位移間的關(guān)系應(yīng)力矩陣S反映了單元內(nèi)任一點的應(yīng)力與節(jié)點位移間的關(guān)系顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣B為常量矩陣，說明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。, _u i2X 3y4xy2 .）矩形單元：4節(jié)點8自由度矩形單元。位移函數(shù)v 56X 7

19、y 8xy該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元；且為等參單元應(yīng)變矩陣B的元素是x, y的函數(shù)，應(yīng)力也是隨x或y線性變化的。較常應(yīng)變單元有更高的計算精度矩形板單元：13、等參單元定義、存在條件及特性定義：矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應(yīng)性。實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應(yīng)性好的單元。等參單元具有此特點。即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進(jìn)行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域

20、方便地進(jìn)行有限元離散。?等參變換：采用相同的節(jié)點數(shù)和形函數(shù)，將局部坐標(biāo)下的規(guī)則形狀單元轉(zhuǎn)換為總體坐標(biāo)下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求存在條件及特性：?等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。?等參單元存在的充要條件是：J 0J稱為Jacobi矩陣，由坐標(biāo)變換式確定，當(dāng) J的逆存在時，則形函數(shù)對x, y的導(dǎo)數(shù)可求，即應(yīng)變陣可求。?為了保證能進(jìn)行等參變換（即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對應(yīng)），通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。?等參單元的優(yōu)點是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。?上述等參單元的理論公式可適應(yīng)三次以上的

21、曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應(yīng)增加，計算更復(fù)雜，積分更困難，實際中，很少超過 3次曲線型。?上述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同。如取坐標(biāo)變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超單元，反之,為亞單元。這兩類單元的收斂性也可得到滿足。15、總體剛度矩陣組裝原則及總剛陣特點1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在某一節(jié)點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移，I ： I" ： i2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)點力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷 Ri,FieRe1 .）對稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。2 .）稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占