量子比特的含義、特性

1、關(guān)于量子比特的含義、特性、實(shí)現(xiàn)及各種操作一緒論2二 量子比特的基本概念22.1 經(jīng)典比特22.2 量子比特定義與表示32.2.1 基本量子比特32.2.2 復(fù)合量子比特42.2.3 多進(jìn)制量子比特52.3 量子比特的實(shí)現(xiàn)5三量子比特特性63.1.量子比特的數(shù)學(xué)特性63.2.量子比特的物理特性73.2.1 疊加性和相干性73.2.2 量子測(cè)不準(zhǔn)性93.2.3 不可克隆性103.2.4 非正交態(tài)的不可區(qū)分性123.2.5 量子糾纏性133.2.6 量子互補(bǔ)性15四量子比特的變換164.1量子邏輯門.164.1.1 單量子比特邏輯門164.1.2 多量子比特邏輯運(yùn)算194.2量子線路22五 量子比特

2、信息的測(cè)度235. 1 經(jīng)典香農(nóng)熵235.2 量子馮諾依曼熵245.3 量子保真度265.4 可獲得的最大信息27六量子寄存器276.1量子寄存器的存儲(chǔ)286.2 量子寄存器量子態(tài)的測(cè)量30七量子比特的存儲(chǔ)31八量子比特的制備328.1光場(chǎng)量子比特的制備328.2 多原子最大糾纏比特的制備338.3、囚禁離子質(zhì)心運(yùn)動(dòng)量子比特的制備34參考文獻(xiàn)35一緒論1983年，Stephen wiesner在他量子貨幣的提案中第一次引入了量子比特的概念。而“量子比特”這個(gè)術(shù)語的問世應(yīng)歸功于Benjamin schumacher，在他論文的致謝辭中，schumacher表示術(shù)語“量子比特”是他在同Willia

3、m wootters的一次談話時(shí)提出的，只是因?yàn)樗糯囊环N長(zhǎng)度測(cè)量單位腕尺（cubit）的發(fā)音相似。在量子計(jì)算中，作為量子信息單位的是量子比特，量子比特與經(jīng)典比特相似，只是增加了物理原子的量子特性。量子計(jì)算機(jī)的物理結(jié)構(gòu)是糾纏態(tài)原子自身的有序排列，量子比特在系統(tǒng)中表示狀態(tài)記憶和糾纏態(tài)。量子計(jì)算是通過對(duì)具有量子算法的量子比特系統(tǒng)進(jìn)行初始化而實(shí)現(xiàn)的，這里的初始化指的是把系統(tǒng)制備成糾纏態(tài)的一些先進(jìn)的物理過程。在兩態(tài)的量子力學(xué)系統(tǒng)中量子比特用量子態(tài)來描述，這個(gè)系統(tǒng)在形式上與復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的二維矢量空間相同。兩態(tài)量子力學(xué)系統(tǒng)的例子是單光子的偏振，這里的兩個(gè)狀態(tài)分別是垂直偏振光和水平偏振光。在經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)中

4、，一個(gè)比特的狀態(tài)是唯一的，而量子力學(xué)允許量子比特是同一時(shí)刻兩個(gè)狀態(tài)的疊加，這是量子計(jì)算的基本性質(zhì)。本文將會(huì)首先闡述量子比特的基本概念，提出量子比特的幾種實(shí)現(xiàn)方法，著重介紹量子比特的特性尤其是其物理特性，之后我們會(huì)研究對(duì)量子比特實(shí)施的幾個(gè)重要的操作，最后提出了幾種量子比特的制備方法。二 量子比特的基本概念信息、物質(zhì)和能量被認(rèn)為是構(gòu)成一切系統(tǒng)的三大要素王育民 2005。信息是一種抽象的、承載于具體消息之中的東西。信息是無形的，但大多可以定量描述，它與具體信宿的接收消息空間有關(guān)。信息的產(chǎn)生、傳送、接收、處理和存貯等都離不開物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，但它不是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)本身，而是借助于物質(zhì)運(yùn)動(dòng)傳遞系統(tǒng)狀態(tài)和變化的不確定

5、性王育民 2005。在經(jīng)典領(lǐng)域，信息的衡量和研究主要是基于Shannon提出的信息量定義，其單位為比特（bit），所以我們用經(jīng)典比特表示經(jīng)典通信系統(tǒng)和研究方法中對(duì)信息的表示，而用量子比特表示包含量子特性的量子通信和研究方法中對(duì)信息的表示。2.1 經(jīng)典比特由前述可知，信息的一個(gè)基本特征是不確定性，即接收方不知道發(fā)送方發(fā)給自己消息的內(nèi)容。因此，對(duì)信息的描述和衡量需要概率論和隨機(jī)過程理論。Shannon首先將概率統(tǒng)計(jì)中的觀點(diǎn)和方法引入到通信理論中，給出了信息量的定義，若消息的概率分布為，該消息攜帶的信息量為 （3-1）其單位為比特（bit）。也可定義為奈特（nat），將（3.1.1）中對(duì)數(shù)的底數(shù)換為

6、e即可。二者的關(guān)系為：1 nat=1.44 bit,1 bit=0.693 nat。例如當(dāng)符號(hào)“0”和“1”出現(xiàn)的概率均為1/2時(shí)，則每一個(gè)符號(hào)攜帶的信息量為，可見，符號(hào)“0”和“1”等概時(shí)，其攜帶的信息量均為1比特。若符號(hào)“0”出現(xiàn)的概率為1/4，符號(hào)1 出現(xiàn)的概率為3/4 時(shí)，符號(hào)0和1所攜帶的信息量分別為，。在物理上，符號(hào)“0”和“1”可以用不同的物理信號(hào)來表示，如電壓的高低、信號(hào)的有無、脈沖的強(qiáng)弱等，不同的物理信號(hào)有不同的特性，因而在不同的通信系統(tǒng)中這兩個(gè)狀態(tài)有不同的物理描述。但是一個(gè)經(jīng)典的二進(jìn)制比特在某個(gè)時(shí)刻只能處在一種可能的狀態(tài)，即要么處在0 態(tài)上，要么處在1 態(tài)上，這是由經(jīng)典物理

7、的決定論所決定的。2.2 量子比特定義與表示參照Shannon信息論中比特描述信號(hào)可能狀態(tài)的特征，量子信息中引入了“量子比特”的概念。量子比特的英文名字為quantum bit，簡(jiǎn)寫為qubit或qbit。從物理上來說量子比特就是量子態(tài)，因此，量子比特具有量子態(tài)的屬性。由于量子態(tài)的獨(dú)特量子屬性，量子比特具有許多不同于經(jīng)典比特的特征，這是量子信息科學(xué)的基本特征之一。目前，量子比特還沒有一個(gè)明確的定義，不同的研究者采用不同的表達(dá)方式，例如，從物理學(xué)的角度，人們習(xí)慣于根據(jù)量子態(tài)的特性稱為量子比特（qubit或qbit）、糾纏比特（ebit）、三重比特（tribit）、多重比特（multibit）和經(jīng)

8、典比特（cbit）等等。這種方式讓人眼花繚亂，并且對(duì)量子比特的描述要根據(jù)具體的物理特性來描述。為了避免這些問題的困擾，這里從信息論的角度對(duì)量子比特做出統(tǒng)一的描述。 2.2.1 基本量子比特這里給出量子比特的表示方法：若二維Hilbert空間的基矢為和，則量子比特可表示為 （3-2）式（3-2）中和為復(fù)數(shù)，且?？梢?，從第二章介紹的理論可知，量子比特既可能處于態(tài)，也可能處于 態(tài)，還可能處于這兩個(gè)態(tài)的疊加態(tài)，其中以概率處于狀態(tài) ，以概率處于狀態(tài)。要想獲得準(zhǔn)確結(jié)果必須測(cè)量該量子比特。對(duì)于確定的量子比特，和的值是確定的，例如當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的量子比特，此時(shí)量子系統(tǒng)處于狀態(tài)和的概率均為50%。由線性代數(shù)可知，H

9、ilbert 空間的基矢不唯一，一個(gè)量子比特也可以用不同的基矢表示，并且這種基矢有無窮多組。在不同的基中同一個(gè)量子比特的表示形式可以有所不同，如定義基矢和分別為， 。容易驗(yàn)證（為狄拉克符號(hào)，），即和是正交歸一的，因此它們可以作為Hilbert 空間的一組基矢，以這組基矢也可表示量子比特： （3-3）2.2.2 復(fù)合量子比特上述定義的量子比特，也可稱為簡(jiǎn)單量子比特（single qubit）。也可定義高階量子比特，對(duì)應(yīng)于多重量子態(tài)。高階量子比特也可稱為復(fù)合量子比特Zeng 。其一般表示形式為 （3-6）n 量子位復(fù)合量子比特可表示為項(xiàng)之和。復(fù)合量子比特可對(duì)應(yīng)于直積態(tài)或糾纏態(tài)，若兩個(gè)粒子的狀態(tài)可分

10、，則這種狀態(tài)為直積態(tài)，如（3-7）若兩個(gè)粒子的狀態(tài)不可分，則這種狀態(tài)稱為糾纏態(tài)，如（3-8）糾纏系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)合基量子比特中，最簡(jiǎn)單的是雙基量子比特，其中，四個(gè)Bell態(tài)是典型而常用的雙基量子比特，它們?cè)诹孔油ㄐ藕土孔佑?jì)算中起著重要的作用。四個(gè)Bell 態(tài)是：Bell 態(tài)是Clauser 等人提出的Bell 算符的本征態(tài)，其中 為單重態(tài)，其它為三重態(tài)。容易驗(yàn)證，它們構(gòu)成一組正交歸一基。此外，三基量子比特Green-Horne-Zeilinger(GHZ)三重態(tài)也常用于量子通信的協(xié)議和實(shí)驗(yàn)中，它有3 2 種可能的狀態(tài)，其中常用的狀態(tài)為 （3-9）2.2.3 多進(jìn)制量子比特除了簡(jiǎn)單量子比特和復(fù)合量子

11、比特外，量子通信中還常用的一種稱為多進(jìn)制量子比特，這與經(jīng)典通信中的多進(jìn)制編碼的字符相對(duì)應(yīng)，如q進(jìn)制單基量子比特可表示為 （3-10）其中. 一個(gè)3進(jìn)制量子比特可表示為 （3-11）也可定義q進(jìn)制復(fù)合基量子比特，如三進(jìn)制雙基量子比特可以表示為 （3-12）式中，上標(biāo)“3”表示3進(jìn)制，下標(biāo)“2”表示雙基。2.3 量子比特的實(shí)現(xiàn)目前，量子信息和量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)研究中，用到的量子比特實(shí)現(xiàn)方法各種各樣。歸納起來，承載量子比特的物理實(shí)體有光子、光學(xué)相干態(tài)、電子、原子核、光學(xué)柵格、約瑟夫結(jié)、單個(gè)充電的量子點(diǎn)對(duì)和量子點(diǎn)。其中對(duì)光子而言，可用偏振態(tài)、光脈沖中的光子數(shù)和光子出現(xiàn)的時(shí)間來表示量子比特和；對(duì)于光學(xué)相干態(tài)，

12、可用其不同分量表示不同量子比特；對(duì)于電子，可用其自旋方向或電子的有無來表征量子比特；對(duì)于原子核，可采用不同的核自旋方向表示不同的量子態(tài)；對(duì)于光學(xué)柵格，可采用原子的自旋方向表示量子比特；對(duì)于約瑟森夫結(jié)，可采用超導(dǎo)量子島（island）是否帶電、超導(dǎo)流（flux）的電流方向或超導(dǎo)相位（基態(tài)/激發(fā)態(tài)）來表示量子比特；對(duì)于單個(gè)充電的量子點(diǎn)，可用電子的位置表示量子比特；對(duì)于量子點(diǎn)，可用量子點(diǎn)的自旋方向表示量子比特。匯總起來，如表3.1所示。表 3.1 量子比特的物理實(shí)現(xiàn)物理實(shí)體屬性光子光子的偏振水平偏振垂直偏振光脈沖的光子數(shù)無光子（真空態(tài)）單個(gè)光子光子的出現(xiàn)時(shí)間無延時(shí)（相對(duì)于時(shí)鐘）有延時(shí)（相對(duì)于時(shí)鐘）光

13、學(xué)相干態(tài)壓縮光場(chǎng)的光學(xué)分量幅度壓縮態(tài)相位壓縮態(tài)電子電子自旋自旋向上自旋向下電子數(shù)目無電子單個(gè)電子原子核核自旋自旋向上自旋向下光學(xué)柵格原子自旋自旋向上自旋向下約瑟夫森結(jié)超導(dǎo)帶電量子比特Uncharged superconducting island (Q=0)Charged superconducting island (Q=2e, one extra Cooper pair)超導(dǎo) 恒流量子比特順時(shí)針方向電流反時(shí)針方向電流超導(dǎo)相位量子比特基態(tài)第一激發(fā)態(tài)單個(gè)充電的量子點(diǎn)對(duì)電子的位置電子在左邊點(diǎn)上電子在右邊點(diǎn)上量子點(diǎn)量子點(diǎn)自旋自旋向上自旋向下離子阱微波共振腔三量子比特特性3.1.量子比特的數(shù)學(xué)特性量

14、子比特也可以用圖形來表示，式（3-2）可改寫為 （3-4）式中， 均為實(shí)數(shù), 是相因子，不具任何可觀測(cè)效應(yīng)，因此上式可簡(jiǎn)寫為 （3-5）可以驗(yàn)證，上式中的參數(shù)定義了三維單位球面上的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)三維單位球面稱為Bloch球，如圖3.1所示?？芍蛎嫔系拿恳粋€(gè)點(diǎn)代表二維Hilbert 空間中的一個(gè)矢量，即一個(gè)基本量子比特。如圖3.1所示。圖 3.1 量子比特的Bloch球表示Bloch 球?yàn)榱孔颖忍氐臄?shù)學(xué)意義提供了一個(gè)可視化的解釋：量子比特的基矢是球的兩極，而任意量子比特是Bloch 球上的一個(gè)幾何點(diǎn)，該幾何點(diǎn)與Z 軸間的夾角為 ，而該幾何點(diǎn)在XY 平面上的投影與X 軸間的夾角為 。圖中畫出了幾

15、個(gè)特殊的量子比特對(duì)應(yīng)的幾何點(diǎn)，容易算出這些幾何點(diǎn)（量子比特）所對(duì)應(yīng)的參數(shù)和 的值。如，時(shí)，位于球面頂部。時(shí)，位于球面底部。Bloch 球在量子計(jì)算中起著重要的作用，常常作為測(cè)試量子通信和量子計(jì)算新思想的一個(gè)有效工具。Bloch 球只能描述基本量子比特，對(duì)復(fù)合量子比特和多進(jìn)制量子比特的描述顯得無能為力，原因是復(fù)合基量子比特和多進(jìn)制量子比特?zé)o法用三維空間表示。不過，數(shù)學(xué)上任意量子比特可表示為 （3.3.3）式中為單位矩陣， 為Paui 矩陣，為參數(shù)。3.2.量子比特的物理特性除了上一節(jié)提到的數(shù)學(xué)性質(zhì)外，量子比特還具有豐富的物理性質(zhì)，這些物理性質(zhì)構(gòu)成了量子密碼和量子保密通信的基礎(chǔ)。下面介紹量子比特的

16、幾個(gè)主要物理性質(zhì)，包括疊加性、測(cè)不準(zhǔn)性、不可克隆性、不可區(qū)分性、糾纏性、互不性、相干性等。3.2.1 疊加性和相干性由于每一個(gè)量子比特對(duì)應(yīng)于一個(gè)量子態(tài)，量子比特也滿足疊加原理，具有相干性。量子比特的疊加性表現(xiàn)在對(duì)量子比特尤其是對(duì)復(fù)合量子比特的存貯和運(yùn)算大大提高了信息存貯和處理的效率，這一點(diǎn)我們可回顧一下第二章對(duì)量子力學(xué)基本假設(shè)的介紹。對(duì)于（3-2）式所表示的量子比特，量子疊加性就是說量子比特既可能處在態(tài)，也可能處在態(tài)，或者其疊加態(tài)，觀測(cè)到的結(jié)果由測(cè)量算子決定，以概率處于狀態(tài)，以概率處于狀態(tài)。例如，設(shè)用水平偏振的光子代表，垂直方向偏振的光子代表，對(duì)于式（3-2）表示的量子態(tài)，若用沿水平方向的偏振

17、片測(cè)量該光子的狀態(tài)，測(cè)量的結(jié)果可能是，即光子通過偏振片，也可能是，即光子不通過偏振片，兩者概率均為50%。但是，經(jīng)測(cè)量后只可能有一個(gè)測(cè)量結(jié)果，即光子要么通過，要么不通過。同樣，糾纏比特也具有量子疊加性，要獲得最終結(jié)果，同樣需要測(cè)量。如果測(cè)量算符為Q，其本征態(tài)為，本征值為，則有 (3-32)任意量子比特可按Q 的本征態(tài)展開 （3-33）由以上兩式可得其中c為某一常數(shù)。可見，不是算子Q的本征態(tài)。如果令是測(cè)量算符的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)的本征值為，即 （3-34）因?yàn)槭且唤M正交規(guī)一基，具有線性獨(dú)立性，張成一個(gè)線性空間。但是，與不能正交歸一，因此，它們不能同時(shí)是和的本征態(tài)，所以和 不對(duì)易，即 （3-35）于是，

18、和不可同時(shí)測(cè)量。這樣，以為測(cè)量算符對(duì)應(yīng)的測(cè)量基測(cè)量和以為測(cè)量算符對(duì)應(yīng)的測(cè)量基測(cè)量得出的結(jié)果不同，即測(cè)不準(zhǔn)性。量子比特的不可精確測(cè)量性是由海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理所決定的，這種性質(zhì)在量子通信中起著重要的基礎(chǔ)作用。量子比特的相干性是指量子比特保持其原始疊加態(tài)的能力尹浩 2006。量子比特在傳遞過程中，由于信道的噪聲（參見第四章）導(dǎo)致相干性減弱，或完全退相干。而量子通信是建立在相干性基礎(chǔ)上的，如相位調(diào)制的光纖QKD系統(tǒng)靠干涉進(jìn)行測(cè)量。因此保持或恢復(fù)量子比特的相干性是量子信道的一個(gè)重要命題。3.2.2 量子測(cè)不準(zhǔn)性由于量子比特的疊加性，要獲得關(guān)于量子比特的最終結(jié)果必須測(cè)量該量子比特。測(cè)量中能否精確地獲得該量子

19、比特的有關(guān)信息依賴于該量子比特是否是測(cè)量所對(duì)應(yīng)的算符的本征態(tài)。選定測(cè)量算符 ，設(shè)該算符的本征態(tài)為，則任意量子比特 可按的本征態(tài)展開， （3.4.3）令是測(cè)量算符 的本征態(tài)，即 （3.4.4）因?yàn)?是一組正交規(guī)一基，具有線性獨(dú)立性，張成一個(gè)線性空間。但是，由(3.4.3)式可知與不能正交歸一，因此，它們不能同時(shí)是和 的本征態(tài)，所以 和 不對(duì)易，即（3.4.5）于是， 和不可同時(shí)測(cè)量。這樣，以 為測(cè)量算符對(duì)應(yīng)的測(cè)量基測(cè)量 和以 為測(cè)量算符對(duì)應(yīng)的測(cè)量基測(cè)量 得出的結(jié)果不同，即測(cè)不準(zhǔn)性?？紤]一個(gè)例子，在基本量子比特的一般表達(dá)式(3.2.1)中，量子比特可能處于0 態(tài)，也可能處于1 態(tài)，對(duì)應(yīng)的概率分別為

20、和 ，另外，根據(jù)疊加原理該量子比特還可以處于這兩個(gè)態(tài)的線性態(tài) ，但無法知道該量子比特具體處于哪一個(gè)狀態(tài)，要獲得確定的結(jié)果必須測(cè)量該量子比特。而量子測(cè)量與測(cè)量基（即測(cè)量坐標(biāo)系）的選取有關(guān)，若測(cè)量基選得不合適，測(cè)量不能給出精確結(jié)果。在圖3.2中，二維Hilbert空間中的一個(gè)任意量子比特 可表示為以基矢 和為坐標(biāo)系的Hilbert空間中的一個(gè)矢量。于是，以基矢和構(gòu)成的測(cè)量基和對(duì) 測(cè)量，得到的結(jié)果要么為 要么為 ，但不能完全確定 ，因?yàn)榱孔颖忍?的振幅能完全確定，但相位完全不確定（振幅與相位是一對(duì)測(cè)不準(zhǔn)量），因而不能完全確定該量子比特。但是，如果以為測(cè)量基測(cè)量量子比特 （見圖3.2），圖3.2 量子

21、比特的測(cè)不準(zhǔn)性則該量子比特是完全確定的，因?yàn)檫@種情況下量子比特可表示為 。之所以量子比特 在中能完全測(cè)定而在中不能確定，是因?yàn)樵摿孔颖忍氐南辔缓驼穹谥惺谴_定的而在中是不確定的，根據(jù)量子力學(xué)的測(cè)不準(zhǔn)原理，在中量子比特 的相位和振幅不能同時(shí)精確測(cè)定，因而無法精確測(cè)定該量子比特。量子比特的不可精確測(cè)量性是由測(cè)不準(zhǔn)原理所決定的。值得指出的是，量子比特的這種特性使得量子比特和經(jīng)典比特的性質(zhì)完全不同。對(duì)于經(jīng)典比特，任何條件下的經(jīng)典比特都能被精確測(cè)定，而對(duì)于量子比特，若測(cè)量基矢不合適（當(dāng)量子比特不是測(cè)量算符的本征態(tài)時(shí)），不可能對(duì)該量子比特獲取精確的信息。這種性質(zhì)在量子計(jì)算中造成一定的困難，但在量子保密通信

22、中起著基礎(chǔ)而重要的作用。3.2.3 不可克隆性克?。╟lone）是遺傳學(xué)上的術(shù)語，是指來自同一個(gè)祖先、經(jīng)過無性繁殖所產(chǎn)生相同的分子(DNA、RNA)、細(xì)胞的群體或遺傳學(xué)上相同生物個(gè)體。能否克隆出一個(gè)與未知量子比特完全相同的新量子比特，而且同時(shí)不破壞原來的量子比特？1982年Wootters和Zurek在Nature上發(fā)表了一篇題為“單量子態(tài)不可克隆”的論文，提出了著名的量子不可克隆定理Wootters 1982。定理3.1：在量子力學(xué)中，一般情況下未知量子態(tài)不可能被克隆。下面我們看這個(gè)定理的簡(jiǎn)單證明Desurvire 2009。證明：給定系統(tǒng)A，處于任意態(tài)，另外一個(gè)系統(tǒng)B，任意一個(gè)純態(tài)，如果通

23、過酉算子U將復(fù)制到，即 （3-36）如果存在這樣一個(gè)克隆算子U，那個(gè)對(duì)系統(tǒng)A中的另一個(gè)態(tài)（有）也可以復(fù)制到系統(tǒng)B中，即 （3-37）由于上述變換是線性的，則對(duì)系統(tǒng)A中的任意態(tài)（是復(fù)數(shù)）也有： （3-38）將上式中的用的線性組合表示，則式（3-38）左邊可寫為有 （3-39）式（3-38）右邊可寫為 （3-40）將（3-39）和（3-40）代入（3-38）有 （3-41）由于是純態(tài)，要使（3-41）成立，需使，所以或。也就是說，如果存在一個(gè)算子U可以克隆，但是該算子不能克隆其線性組合。也就是說，一般情況下未知量子態(tài)不能被克隆。 如果兩個(gè)量子態(tài)正交的話，則它可以用同一酉演化過程克?。环催^來就是說非

24、正交量子態(tài)不可克隆。定理3.2：如果克隆過程可表示成一幺正演化，只有兩個(gè)態(tài)相互正交時(shí)，它們才可以被相同的物理過程克隆，亦即非正交量子態(tài)不可克隆。證明：設(shè)有任意兩個(gè)量子態(tài)和可以通過U算子克隆，即 （3-42） （3-43）取上面兩個(gè)方程的內(nèi)積，并考慮幺正算符U 的特性，對(duì)純態(tài)，有，有 （3-44） （3-45）上式有兩個(gè)可能的解：或，即或者。即這兩個(gè)特殊的量子態(tài)要么相等，要么正交。3.2.4 非正交態(tài)的不可區(qū)分性如果兩個(gè)量子比特和（歸一化向量）的內(nèi)積則稱這兩個(gè)比特正交，如果，則稱這兩個(gè)量子比特非正交。定義量子比特和的不可區(qū)分度D為zeng 2010 （3-46）其中是兩個(gè)量子比特的夾角，。如果兩

25、個(gè)量子比特是正交的，則它們是可區(qū)分的；如果量子比特非正交，則稱它們是不可區(qū)分的。區(qū)分任意兩個(gè)非正交量子比特是量子信息中的重要命題。目前已出現(xiàn)多種近似區(qū)分任意兩個(gè)非正交量子比特的方法，大多是基于POVM測(cè)量，這里給出兩種方法：Bennett方法和Ekert方法Zeng 2010。（1）Bennett方法Bennett方法選取兩個(gè)投影算子 (3-47) (3-48)對(duì)量子比特進(jìn)行測(cè)量，獲得正確結(jié)果的概率為 (3-49)則獲得錯(cuò)誤結(jié)果的概率為 (3-50)可見，對(duì)非正交量子態(tài)，測(cè)量結(jié)果錯(cuò)誤概率大于。（2）Ekert方法Ekert方法構(gòu)造的算子為 (3-51) (3-52) (3-53)式中表示非確定

26、性算符。利用這些測(cè)量算子對(duì)量子比特進(jìn)行操作，獲得非確定性結(jié)果的概率 (3-54)即表明非正交量子比特是不可區(qū)分的。3.2.5 量子糾纏性本章第2節(jié)介紹了復(fù)合基量子比特，它可以表示成(3.2.5)式的形式。復(fù)合基量子比特中有一類特殊的量子比特糾纏比特。從物理意義上來說，糾纏比特中的n個(gè)單基對(duì)應(yīng)n個(gè)“系統(tǒng)”（這里n個(gè)“系統(tǒng)”指n個(gè)粒子或同一個(gè)粒子的n個(gè)狀態(tài)），因此，在糾纏比特的情況下（3.2.5）式的物理意義是：n個(gè)系統(tǒng)通過（3.2.5）式的方式糾集在一起而構(gòu)成一個(gè)總體。量子信息和量子力學(xué)中稱量子比特的這種性質(zhì)為糾纏性，具有糾纏性的量子比特稱為糾纏比特或糾纏態(tài)。 糾 纏比特是量子計(jì)算的基礎(chǔ)，但不是

27、量子通信的基礎(chǔ)，卻發(fā)揮重要作用。糾纏量子比特具有一個(gè)重要性質(zhì)關(guān)聯(lián)性，下面以量子信息中常用的2粒子系統(tǒng)和3粒子系統(tǒng)中的EPR糾纏比特和GHZ糾纏比特為例說明這種獨(dú)特的性質(zhì)。兩個(gè)粒子組成的糾纏量子比特中最為典型的是EPR糾纏對(duì)，EPR糾纏對(duì)可用下面的形式表示，（3.4.22）其中腳標(biāo)“1”和“2”對(duì)應(yīng)于兩個(gè)粒子。這個(gè)系統(tǒng)的特征是：當(dāng)粒子“1”處于狀態(tài) 時(shí)，粒子“2”也必定處于狀態(tài) ，而當(dāng)粒子“1”處于狀態(tài) 時(shí)，粒子“2”也必定處于狀態(tài) ，其概率均為50%。因此在對(duì)粒子“1”和“2”的測(cè)量過程中，若測(cè)得粒子“1”得結(jié)果是（或）態(tài)，即使沒有測(cè)量粒子“2”也可以斷定該粒子狀態(tài)必定為 （或 ）態(tài)，而不管兩

28、個(gè)粒子相距多遠(yuǎn)。但是，一旦這個(gè)系統(tǒng)被測(cè)量，兩粒子間的糾纏特性不復(fù)存在。 上面介紹的是兩個(gè)粒子處于相同狀態(tài)的情況，這種情況下兩個(gè)粒子稱為是相干的。另外也存在反相干的糾纏量子比特。例如下面糾纏比特的糾纏性，（3.4.23）實(shí)驗(yàn)上已能制備糾纏量子比特。在光學(xué)參量下轉(zhuǎn)換過程中，一個(gè)入射到適當(dāng)非線性光學(xué)材料的泵浦光子會(huì)同時(shí)產(chǎn)生出一對(duì)光子(稱為孿生光子對(duì))，在型參量過程中，這兩個(gè)光子具有相同的頻率但其偏振態(tài)彼此正交。因此，使用型參量下轉(zhuǎn)換非線性光學(xué)過程，其中所產(chǎn)生的自發(fā)輻射孿生光子對(duì)即為EPR粒子對(duì)，它可表示為(3.4.23)的形式。這種情況下 和 表示光子的兩個(gè)相互正交的光子偏振態(tài)。例如,假設(shè)光子的極化

29、是線偏振型的, 對(duì)其進(jìn)行測(cè)量時(shí), 若一個(gè)是水平方向, 則另一個(gè)是垂直方向, 因此記錄的時(shí)侯,一方(如Alice)記錄為水平方向,另一方(Bob)記錄必為垂直方向, 反之亦然。如前所述，GHZ 三重態(tài)是一個(gè)典型的三粒子糾纏系統(tǒng)，這種糾纏比特具有如下的特征和性質(zhì)：定理3.3 以共軛子空間表示的GHZ 三重態(tài)中，已知其中兩個(gè)粒子的態(tài)，在該GHZ 三重態(tài)未與其它任何粒子相互作用時(shí)，一定能知道第三個(gè)粒子的狀態(tài)。證明：GHZ三重態(tài)可表示為如下形式（3.4.24）式中腳標(biāo)1,2,3分別代表三個(gè)粒子。定義兩個(gè)本征態(tài) , ，用基矢 , 表示為如下形式，注意到 ， GHZ三重糾纏態(tài)可表示為 (3.4.25)上式說

30、明可根據(jù)對(duì)粒子1和2的測(cè)量基來判定粒子3的測(cè)量結(jié)果，例如，若沿+x方向測(cè)量粒子1和2，則粒子3的量子態(tài)為；若分別沿+x和-x方向測(cè)量粒子1和2，則粒子3的量子態(tài)為。類似(3.4.25)式的推導(dǎo)，可以得出其它情況下的關(guān)聯(lián)性，如下表所列，表3.1 GHZ三重態(tài)中三粒子的相干性 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由表3.1可見,聯(lián)合粒子1和2的測(cè)量結(jié)果可以確定粒子3的量子態(tài)。定理3.4 以共軛子空間表示的GHZ 三重態(tài)中，已知其中一個(gè)粒子的態(tài)，在沒有輔助量子比特的情況下，不能判定另外兩個(gè)粒子的狀態(tài)，但可以知道兩個(gè)粒子的量子態(tài)是否相同。證明：不失一般性，設(shè)GHZ三重態(tài)中第

31、三個(gè)粒子被測(cè)量而被人知道其狀態(tài)。因?yàn)閷?duì)GHZ三重態(tài)中的任意一個(gè)粒子測(cè)量或后，三粒子糾纏被解除，但未被操作的另外兩個(gè)粒子構(gòu)成兩粒子糾纏系統(tǒng)，其可能的取值有四個(gè)： (3.4.26) (3.4.27) (3.4.28) (3.4.29)式(3.4.26-29)表明，GHZ糾纏比特坍塌后的兩粒子糾纏系統(tǒng)的狀態(tài)是不確定的，其狀態(tài)取上述四個(gè)態(tài)中任意一個(gè)態(tài)的概率相同。即使兩粒子系統(tǒng)的糾纏狀態(tài)確定（假設(shè)取 態(tài)），兩粒子系統(tǒng)中每一個(gè)粒子的狀態(tài)仍然是不確定的，因?yàn)榱Ｗ?可以處在 態(tài)，也可以處在 ，其概率各占1/2。因此，在GHZ三重態(tài)中，已知其中一個(gè)粒子的態(tài)，在沒有輔助量子比特的情況下，不能判定另外兩個(gè)粒子的狀態(tài)

32、。但可以知道兩個(gè)粒子的量子態(tài)是否相同，從表1中可知這一結(jié)論。3.2.6 量子互補(bǔ)性共軛性是量子比特的另一個(gè)基本屬性。下面以光子的偏振來說明量子比特的共軛性。每個(gè)光子都有一個(gè)偏振方向, 其偏振方向即是電場(chǎng)的振蕩方向。在量子密碼學(xué)中用到光子的線偏振和圓偏振兩種光子偏振, 其中線偏振可取兩個(gè)方向: 水平方向和垂直方向; 圓偏振包括左旋和右旋兩種情況。在量子力學(xué)中, 光子的線偏振和圓偏振是一對(duì)共軛量,也就是說,光子的線偏振態(tài)與圓偏振態(tài)是不可同時(shí)測(cè)量的。值得說明的是, 在同一種偏振態(tài)下的兩個(gè)不同的方向是可完全區(qū)分的, 例如, 在線偏振態(tài)中的水平方向和垂直方向是可完全區(qū)分的，在圓偏振中取兩個(gè)垂直方向如和也

33、是完全可區(qū)分的。實(shí)際上任意的正交量子態(tài)都是可區(qū)分的，因而可同時(shí)測(cè)量，但任何兩個(gè)非正交態(tài)是不可區(qū)分的。在對(duì)光子的偏振態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí), 可用晶片來測(cè)量光子的偏振方向。如果用于測(cè)量用的晶片(體)的軸與光子的偏振方向平行,光子能夠完全通過,否則完全不能通過;如果光子的偏振方向與晶軸成一定的夾角 , 則在與晶軸平行的方向有光子的偏振態(tài)以一定的幾率出現(xiàn),即光子的偏振態(tài)發(fā)生改變。用量子力學(xué)中Dirac算符來表示光子，兩個(gè)線偏振光子態(tài)0 、 , 其中前者表示水平方向，后者表示垂直方向，在圓偏振光子態(tài)中取兩個(gè)方向、，這兩個(gè)態(tài)可用光子線偏振態(tài)表示 (3.4.30) (3.4.31)如果晶軸的方向與光子線偏振態(tài)的方向

34、相同，則當(dāng)所測(cè)量的光子是0 、 中任意一個(gè)時(shí)，晶片能精確測(cè)出光子態(tài)，光子能完全通過。當(dāng)所測(cè)量的光子是 / 4 、中任意一個(gè)時(shí)，晶片不能精確測(cè)量光子態(tài)，因?yàn)楣庾颖粶y(cè)成0 態(tài)和 態(tài)的幾率各為一半，這實(shí)際上是由測(cè)不準(zhǔn)原理所決定。光子的一對(duì)共軛偏振態(tài)是互補(bǔ)的,正是這一本質(zhì)特征為BB84協(xié)議提供了實(shí)現(xiàn)的物理基礎(chǔ)。四量子比特的變換在一個(gè)量子系統(tǒng)中，經(jīng)常會(huì)涉及到對(duì)量子比特的變換，包括對(duì)單個(gè)量子比特的變換和對(duì)多個(gè)量子比特的變換。在量子力學(xué)中，一種變換對(duì)應(yīng)一個(gè)量子力學(xué)算符，而在量子信息領(lǐng)域中，一種變換就是一個(gè)量子邏輯門。下面介紹幾種典型的量子邏輯門和它們組成的簡(jiǎn)單量子線路的原理。4.1量子邏輯門.量子比特邏輯門

35、是構(gòu)成量子器件及量子邏輯運(yùn)算單元的基本單位，廣泛應(yīng)用于量子計(jì)算、量子編碼、量子通信和量子信息處理中。本節(jié)介紹單量子比特邏輯門和多量子比特邏輯門。4.1.1 單量子比特邏輯門單量子比特邏輯門包括Pauli-X門、Pauli-Y門、Pauli-Z門、量子Hadamard門、相位門和門。下面分別講述。1.Pauli-X門Pauli-X門又稱為量子非門，簡(jiǎn)稱X門，其將量子比特中的狀態(tài)和交換，即把狀態(tài) 變?yōu)椤Ｈ粲镁仃嚤硎具@一變換，對(duì)應(yīng)于Pauli-X矩陣，這里用X表示該變換矩陣 (3-13 )若把量子態(tài)寫成向量形式，則量子非門的輸出為 （3-14）2.Pauli-Y門Pauli-Y門（簡(jiǎn)稱Y門）即對(duì)量子

36、比特施行Pauli-Y矩陣（算子）運(yùn)算，用Y表示該算子，即 (3-15)若把量子態(tài)寫成向量形式，則Pauli-Y門的輸出為 （3-16）3.Pauli-Z門Pauli-Z門（簡(jiǎn)稱Z門）即對(duì)量子比特施行Pauli-Z矩陣（算子）運(yùn)算，用Z表示該算子，即 （3-17） 若把量子態(tài)寫成向量形式，則Pauli-Z門的輸出為 （3-18）在二維坐標(biāo)平面看的話，Z門的結(jié)果是將量子比特進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。4.量子Hadamard門量子Hadamard門，簡(jiǎn)稱H門。其變換矩陣H為 (3-19)若把量子態(tài)寫成向量形式，則H門的輸出為 (3-20)可見，H門是將以和為基矢的Hilbert空間轉(zhuǎn)化為以和為基矢的Hilbert

37、空間。由于，可見對(duì)量子比特連續(xù)進(jìn)行兩次H門變換相當(dāng)于沒有進(jìn)行任何邏輯運(yùn)算。5.相位門我們先定義相移門（phase shift gate），對(duì)應(yīng)的矩陣為 （3-21）若把量子態(tài)寫成向量形式，則門的輸出為 （3-22）可見，門不改變基矢，將基矢映射為，等效于在Bloch球面上水平旋轉(zhuǎn)度。當(dāng)時(shí)，相移門稱作相位門，變換矩陣S為 （3-23）S門等效于在Bloch球面上將量子比特水平旋轉(zhuǎn)90度。6. 門相位門中，當(dāng)時(shí)，稱作門，其變換矩陣T可寫為 （3-24）量子比特經(jīng)過T門后，輸出為 （3-25）在Bloch球面上相當(dāng)于繞水平面上旋轉(zhuǎn)45度。上述但量子比特邏輯門對(duì)應(yīng)的矩陣均為酉矩陣。雖然存在無窮多個(gè)2&

38、#215;2酉矩陣,但是任一單量子比特酉門都可以分解成一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)算和繞軸旋轉(zhuǎn)的門再加上一個(gè)全局相移的乘積,即Neilsen 2000 （3-26）其中, ,和是實(shí)數(shù)。其中，第二個(gè)矩陣是普通的旋轉(zhuǎn)，第一和最后一個(gè)矩陣為在不同平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)。通過該分解可精確描述任意單量子比特邏輯門的操作。4.1.2 多量子比特邏輯運(yùn)算多量子比特量子邏輯門有很多種，如受控非(controlled-NOT，簡(jiǎn)寫為CNOT)門、交換門（swap gate）、受控U門、Toffoli門和Fredkin門Neilsen 2000。1.受控非(CNOT)門CNOT門為兩量子比特門，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)量子比特（稱為控制量子比特）為時(shí)，對(duì)第

39、二個(gè)比特（稱為目標(biāo)量子比特）執(zhí)行非操作，否則維持不變。其對(duì)應(yīng)的變換矩陣為 （3-27）CNOT門的線路示意圖如圖3.2所示。圖3.2 CNOT門受控非門可以表示為如下映射：，其中是模2加法，2.交換門交換門實(shí)現(xiàn)兩個(gè)輸入量子比特的互換，其線路符號(hào)如圖3.3(a)所示。交換門的變換矩陣可寫為： （3-28） (a) SWAP門的線路符號(hào) (b)用CNOT門構(gòu)建SWAP門 圖3.3 SWAP門 交換門可由CNOT門構(gòu)成，如圖3.3(b)所示。設(shè)輸入態(tài)為，可用映射關(guān)系來分析： 可見，該線路能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)量子比特的交換。3.受控U門受控U門的輸入有兩個(gè)量子比特，如圖3.4所示。圖3.4 受控U門第一個(gè)量子比

40、特是控制比特，其對(duì)輸入的映射關(guān)系為受控U門對(duì)應(yīng)的矩陣為 （3-29）例如U門可以三個(gè)Pauli算子X、Y、Z，則可稱為受控X門、受控Y門和受控Z門。4.Toffoli門Toffoli門也叫CCNOT(controlled-controlled-not)門，如圖3.5所示，與CNOT門相比，它有兩個(gè)量子比特的控制端。圖3.5 Toffoli門的線路示意圖Toffoli門是一個(gè)3量子比特門。如果前兩個(gè)量子比特均為時(shí)，對(duì)第三個(gè)量子比特執(zhí)行Pauli-X門操作。其真值表如表3.2所示。 INPUTOUTPUT0 0 0 0 0 0 00100

41、1010010011011100100101101110111111110Toffoli門也可表示為如下映射： (3-30)5.Fredkin門Fredkin門也稱為受控置換（Controlled SWAP, CSWAP)門，是一個(gè)3量子比特門，如圖3.6所示。圖3.6 Fredkin門的線路圖其真值表如表3. 所示。表 Fredkin門的真值表INPUTOUTPUTCI1I2CO1O20 0 0 0 0 0 001001010010011011100100101110110101111111Fredkin門也可以表示為如下的映射：&

42、#224; (3-31)4.2量子線路量子線路是指由用量子線（簡(jiǎn)稱“線”）將各種量子門連結(jié)起來而組成的系統(tǒng)。顯然，在量子線路中，量子線與量子門是兩種基本的組成部分。與電子線路相比較，這里的“線”具有不同的含義。量子線不一定是一根實(shí)物線，它代表的是量子比特的時(shí)間或空間演化過程。例如，一個(gè)光子從光纖的A點(diǎn)傳輸?shù)紹點(diǎn)，或者從時(shí)刻t1到t2的過程都對(duì)應(yīng)著一根量子線。因此，任意量子比特從一個(gè)時(shí)刻到另一個(gè)時(shí)刻所經(jīng)歷的過程，或者，量子比特從空間中的一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)所經(jīng)歷的過程都可視為一根“量子線”。由于運(yùn)動(dòng)和時(shí)間的方向性，量子線也是有方向的，這是區(qū)別于電子線路中“實(shí)物線”的關(guān)鍵所在。根據(jù)量子線的上述定義，量

43、子線路具有如下特點(diǎn)：1）量子線路中不能有回路(loop)，即量子線路是非循環(huán)的。這意味著在量子線路中反饋是不存在的，因?yàn)榉答佉馕吨鴷r(shí)間的倒流。2）量子線路中無多端輸入和輸出。具體來說，量子線路中不能有多根輸入線并入一根輸出線，也不能有一個(gè)輸入線分開成多根輸出線的情況。這個(gè)特點(diǎn)是由量子操作的幺正性決定的。顯然，量子線路的上述特點(diǎn)與電子線路是完全不一致的。這正是量子線路區(qū)別于電子線路之處，這些特點(diǎn)導(dǎo)致了量子線路具有不同于電子線路的特點(diǎn)、屬性和功能。由量子線路可以構(gòu)造出一些新的量子門，這種量子邏輯門稱為復(fù)合量子門。下面介紹的量子交換門即為復(fù)合量子門中的一個(gè)典型例子。交換門即SWAP門，如圖5.7為量

44、子交換門和它的量子線路圖。從圖5.7（a）容易知道，這種量子門由三個(gè) 門組成，但中間的量子控制非門與前后兩個(gè)的方向恰好相反。三個(gè)量子控制非門的這種組合構(gòu)成一個(gè)SWAP門，如圖5.7(b)所示。SWAP門的作用是將兩個(gè)量子比特的狀態(tài)互相交換，如圖5.7所示。在上面的量子線中輸入的量子比特為，下面的量子線的輸入為，圖5.7 SWAP門但是它們的輸出則恰好相反，即上面的量子線輸出 而下面的量子線輸出為 ，這個(gè)過程可以從下面的計(jì)算中更清楚地了解到。 （5.3.25）式中a,b0,1，對(duì)于一般形式的輸入量子比特，容易驗(yàn)證上面的結(jié)果也是成立的。另一個(gè)典型的例子是Toffoli門。Toffoli門的作用是用

45、兩個(gè)控制量子比特來控制一個(gè)靶量子比特，它是一個(gè)多量子比特門。Toffoli門的內(nèi)部結(jié)構(gòu)即對(duì)應(yīng)的量子線路圖比較復(fù)雜，如圖5.8所示，但是，容易發(fā)現(xiàn)Toffoli門主要由 門、門、門和門構(gòu)成，這些都是基本的量子門?？梢宰C明，任何復(fù)雜的量子門都可分解為這些基本量子門的組合。 圖 5.8 Toffoli門 五 量子比特信息的測(cè)度本節(jié)介紹經(jīng)典香農(nóng)熵、量子諾依曼熵、量子保真度和可訪問的最大信息。5. 1 經(jīng)典香農(nóng)熵如3.1.1節(jié)所述，Shannon定義了信息量的概念，即Shannon熵，這里我們介紹離散型隨機(jī)變量時(shí)情形，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量可以類推。對(duì)離散隨機(jī)變量，且，則X的平均自信息量（即熵）H(X)為 （3-55）這里定義：。若離散隨機(jī)變量X有兩個(gè)事件和，且，則X的平均自信息量（熵）為 （3-56）稱 為二元熵。其函數(shù)曲線如圖3.2所示。圖3.2 二元熵 的曲線由圖3.2可見，當(dāng)p=0或p=1時(shí)，H(X)=0。當(dāng)0<p<1時(shí)，H(X)>0。當(dāng)p=1/2時(shí)，H(X)達(dá)到最大值。給定一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量,其概率分布為，則X相對(duì)于Y的條件熵為 （3-57）X與Y的聯(lián)合