初中數(shù)學一輪復習 方程與函數(shù)篇 第八節(jié) 反比例函數(shù)導學練案導學練-人教版初中全冊數(shù)學學案

1、反比例函數(shù)學習目標：1.在具體問題中探索數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程，抽象出反比例函數(shù)的概念，并結(jié)合具體情境領(lǐng)會反比例函數(shù)作為一種數(shù)學模型的意義.2.能畫出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和解析表達式探索并理解反比例函數(shù)的主要性質(zhì).3.逐步提高觀察和歸納分析能力，體驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.4.能依據(jù)已經(jīng)條件確定反比例函數(shù)，領(lǐng)悟用函數(shù)觀點解決某些實際問題的基本思路.復習反饋：1.一般地，形如 的函數(shù)叫反比例函數(shù)，其中，且為 數(shù)，自變量的取值范圍是 .2.反比例函數(shù)的圖像是一條 ，當時，圖像在第 象限，在每個象限內(nèi)，隨的增大而 ，當，圖像在第 象限，在每個象限內(nèi)，隨的增大而 .3.反比例函數(shù)中的的幾何意義

2、是：如圖，若點p（）是雙曲線上任意一點，過p做pb軸，做pa軸，則 ，= .4.已知的圖像上一點p，過p作軸及軸的垂線，垂足分別為a.b，則矩形aopb的面積為 .合作探究：考點1 反比例函數(shù)的概念例題1：（2015，廣西柳州，5，3分）下列圖象中是反比例函數(shù)y=圖象的是（）考點：反比例函數(shù)的圖象分析：利用反比例函數(shù)圖象是雙曲線進而判斷得出即可解答：解：反比例函數(shù)y=圖象的是c故選：c點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，正確掌握反比例函數(shù)圖象的形狀是解題關(guān)鍵考點2 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的探究例題2：（2015福建第10題 4分）如圖，已知點a是雙曲線y=在第一象限的分支上的一個動點，連接a

3、o并延長交另一分支于點b，過點a作y軸的垂線，過點b作x軸的垂線，兩垂線交于點c，隨著點a的運動，點c的位置也隨之變化設(shè)點c的坐標為（m，n），則m，n滿足的關(guān)系式為（）an=2mbn=cn=4mdn=考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.分析：首先根據(jù)點c的坐標為（m，n），分別求出點a的坐標、點b的坐標；然后根據(jù)ao、bo所在的直線的斜率相同，求出m，n滿足的關(guān)系式即可解答：解：點c的坐標為（m，n），點a的縱坐標是n，橫坐標是：，點a的坐標為（，n），點c的坐標為（m，n），點b的橫坐標是m，縱坐標是：，點b的坐標為（m，），又，mn=m2n2=4，又m0，n0，mn=2，n=故選：b點評

4、：此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象上點的坐標的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k；雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；在xk圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|例題3：（2015河北,第10題3分）一臺印刷機每年可印刷的書本數(shù)量y（萬冊）與它的使用時間x（年）成反比例關(guān)系，當x=2時，y=20則y與x的函數(shù)圖象大致是（）a b c d 考點： 反比例函數(shù)的應用；反比例函數(shù)的圖象分析： 設(shè)y=（k0），根據(jù)當x=2時，y=20，求出k，即可得出y與x的函數(shù)圖象解答：

5、解：設(shè)y=（k0），當x=2時，y=20，k=40，y=，則y與x的函數(shù)圖象大致是c，故選：c點評： 此題考查了反比例函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式得出函數(shù)的圖象考點3反比例函數(shù)解析式中的的幾何意義.例題4：（2015寧德 第61題 4分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=（x0）的圖象交矩形oabc的邊ab于點d，交邊bc于點e，且be=2ec若四邊形odbe的面積為6，則k=3考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義分析：連接ob，由矩形的性質(zhì)和已知條件得出obd的面積=obe的面積=四邊形odbe的面積=3，在求出oce的面積，即可得出k的值解答：解：連接ob，如圖

6、所示：四邊形oabc是矩形，oad=oce=dbe=90°，oab的面積=obc的面積，d、e在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，oad的面積=ocb的面積，obd的面積=obe的面積=四邊形odbe的面積=3，be=2ec，oce的面積=obe的面積=，k=3；故答案為：3點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象與解析式的求法；熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵考點4反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合訓練.例題5：（2015丹東，第8題3分）一次函數(shù)y=x+a3（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y=的圖象交于a、b兩點，當a、b兩點關(guān)于原點對稱時a的值是（

7、）a 0 b 3 c 3 d 4考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；關(guān)于原點對稱的點的坐標專題： 計算題分析： 設(shè)a（t，），根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征得b（t，），然后把a（t，），b（t，）分別代入y=x+a3得=t+a3，=t+a3，兩式相加消去t得2a6=0，再解關(guān)于a的一次方程即可解答： 解：設(shè)a（t，），a、b兩點關(guān)于原點對稱，b（t，），把a（t，），b（t，）分別代入y=x+a3得=t+a3，=t+a3，兩式相加得2a6=0，a=3故選c點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩

8、者有交點，方程組無解，則兩者無交點考點5反比例函數(shù)綜合應用例題6：（2015吉林，第23題8分）如圖，點a（3，5）關(guān)于原點o的對稱點為點c，分別過點a，c作y軸的平行線，與反比例函數(shù)y=（0k15）的圖象交于點b，d，連接ad，bc，ad與x軸交于點e（2，0）（1）求k的值；（2）直接寫出陰影部分面積之和考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題分析： （1）根據(jù)點a和點e的坐標求得直線ae的解析式，然后設(shè)出點d的縱坐標，代入直線ae的解析式即可求得點d的坐標，從而求得k值；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得到陰影部分的面積等于平行四邊形cdgf的面積即可解答： 解：（1）a（3，5）、e（2，0），

9、設(shè)直線ae的解析式為y=kx+b，則，解得：，直線ae的解析式為y=x+2，點a（3，5）關(guān)于原點o的對稱點為點c，點c的坐標為（3，5），cdy軸，設(shè)點d的坐標為（3，a），a=3+2=1，點d的坐標為（3，1），反比例函數(shù)y=（0k15）的圖象經(jīng)過點d，k=3×（1）=3；（2）如圖：點a和點c關(guān)于原點對稱，陰影部分的面積等于平行四邊形cdgf的面積，s陰影=4×3=12點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是能夠確定點d的坐標，難度不大例題7：（2015廣東東莞23，9分）如圖，反比例函數(shù)y=（k0，x0）的圖象與直線y=3x相交于點c，過直線上

10、點a（1，3）作abx軸于點b，交反比例函數(shù)圖象于點d，且ab=3bd（1）求k的值；（2）求點c的坐標；（3）在y軸上確定一點m，使點m到c、d兩點距離之和d=mc+md最小，求點m的坐標考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；軸對稱-最短路線問題分析： （1）根據(jù)a坐標，以及ab=3bd求出d坐標，代入反比例解析式求出k的值；（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點c坐標；（3）作c關(guān)于y軸的對稱點c，連接cd交y軸于m，則d=mc+md最小，得到c（，），求得直線cd的解析式為y=x+1+，直線與y軸的交點即為所求解答： 解：（1）a（1，3），ab=3，ob=1，ab=3b

11、d，bd=2，d（1，1）將d坐標代入反比例解析式得：k=1；（2）由（1）知，k=1，反比例函數(shù)的解析式為；y=，解：，解得：或，x0，c（，）；（3）如圖，作c關(guān)于y軸的對稱點c，連接cd交y軸于m，則d=mc+md最小，c（，），設(shè)直線cd的解析式為：y=kx+b，y=（32）x+22，當x=0時，y=22，m（0，22）點評： 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵形成提升：1. （2015，廣西欽州，9，3分）對于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）a這個函數(shù)的圖象位于第一、

12、第三象限b這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形c當x0時，y隨x的增大而增大d當x0時，y隨x的增大而減小2. （2015青海，第19題3分）已知一次函數(shù)y=2x3與反比例函數(shù)y=，那么它們在同一坐標系中的圖象可能是（）abcd3. （2015黑龍江哈爾濱，第4題3分）（2015哈爾濱）點a（1，y1），b（2，y2）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）a y1y2 b y1=y2 c y1y2 d 不能確定4. （2015天津,第9題3分）（2015天津）己知反比例函數(shù)y=，當1x3時，y的取值范圍是（）a0ylb1y2c2y6dy65. （2015福建龍巖9，4分

13、）已知點p（a，b）是反比例函數(shù)y=圖象上異于點（1，1）的一個動點，則+=（）a2b1cd6. （2015重慶a12，4分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形abcd在第一象限內(nèi)，邊bc與軸平行，a,b兩點的縱坐標分別為3,1，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過a,b兩點，則菱形對abcd的面積為（ ）a. 2 b. 4 c. d. 7. （2015黑龍江省大慶,第10題3分）已知點a（2，0），b為直線x=1上一個動點，p為直線ab與雙曲線y=的交點，且ap=2ab，則滿足條件的點p的個數(shù)是（）a 0個 b 1個 c 2個 d 3個8、（2015遼寧省朝陽,第10題3分）如圖，在直角坐標系中，直線y1=2x

14、2與坐標軸交于a、b兩點，與雙曲線y2=（x0）交于點c，過點c作cdx軸，垂足為d，且oa=ad，則以下結(jié)論：sadb=sadc；當0x3時，y1y2；如圖，當x=3時，ef=；當x0時，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）a1b2c3d49。（2015甘南州第25題 4分）如圖，點a在雙曲線上，點b在雙曲線y=上，且abx軸，c、d在x軸上，若四邊形abcd為矩形，則它的面積為210. （2015湖北十堰，第22題8分）如圖，點a（1，1+）在雙曲線y=（x0）上（1）求k的值；（2）在y軸上取點b（0，1），為雙曲線上是否存在點d，使得以ab，ad為鄰邊的平

15、行四邊形abcd的頂點c在x軸的負半軸上？若存在，求出點d的坐標；若不存在，請說明理由【歸納總結(jié)】【形成提升參考答案】1. （2015，廣西欽州，9，3分）對于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）a這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限b這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形c當x0時，y隨x的增大而增大d當x0時，y隨x的增大而減小考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：對于反比例函數(shù)y=，當k0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。划攌0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大解答即可解答：解：函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限，a正確；圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖

16、形，b正確；當x0時，y隨x的增大而減小，c錯誤；當x0時，y隨x的增大而減小，d正確，故選：c點評：本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握對于反比例函數(shù)y=，當k0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當k0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大是解題的關(guān)鍵2. （2015青海，第19題3分）已知一次函數(shù)y=2x3與反比例函數(shù)y=，那么它們在同一坐標系中的圖象可能是（）abcd考點：反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象專題：數(shù)形結(jié)合分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進行判斷解答：解：一次函數(shù)y=2x3經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=的圖象分布在第二、四象限

17、故選d點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象：反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線，當k0時，圖象分布在第一、三象限，當k0，圖象分布在第二、四象限也考查了一次函數(shù)圖象3. （2015黑龍江哈爾濱，第4題3分）（2015哈爾濱）點a（1，y1），b（2，y2）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）a y1y2 b y1=y2 c y1y2 d 不能確定考點： 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征分析： 先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限及其增減性，再根據(jù)a、b兩點的橫坐標判斷出兩點所在的象限，進而可得出結(jié)論解答： 解：反比例函數(shù)y=中，k=20，此函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三

18、象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，10，20，點a（1，y1）、b（2，y2）均位于第三象限，12，y1y2故選c點評： 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵4. （2015天津,第9題3分）（2015天津）己知反比例函數(shù)y=，當1x3時，y的取值范圍是（）a0ylb1y2c2y6dy6考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)分析：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，由x的取值范圍并結(jié)合反比例函數(shù)的圖象解答即可解答：解：k=60，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，又當x=1時，y=6，當x=3時，y=2，當1x3時，2y6故選c點評：本題主要考查反

19、比例函數(shù)的性質(zhì)，當k0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划攌0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大5. （2015福建龍巖9，4分）已知點p（a，b）是反比例函數(shù)y=圖象上異于點（1，1）的一個動點，則+=（）a2b1cd考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；分式的化簡求值分析：利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出ab=1，再利用分式的混合運算法則求出即可解答：解：點p（a，b）是反比例函數(shù)y=圖象上異于點（1，1）的一個動點，ab=1，+=+=1故選：b點評：此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)以及分式的混合運算，正確化簡分式是解題關(guān)鍵6. （2015重慶a12，4分）如圖，在平面

20、直角坐標系中，菱形abcd在第一象限內(nèi)，邊bc與軸平行，a,b兩點的縱坐標分別為3,1，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過a,b兩點，則菱形對abcd的面積為（ ）a. 2 b. 4 c. d. 考點：菱形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征 分析：過點a 作x 軸的垂線，與cb 的延長線交于點e，根據(jù)a，b 兩 點的縱坐標分別為3，1，可得出橫坐標，即可求得ae，be ，再 根據(jù)勾股定理得出ab，根據(jù)菱形的面積公 式：底乘高即可得出答 案 解答：解：過點a 作x 軸的垂線，與cb 的延長線交于點e， a，b 兩點在反比例函數(shù)y= 的圖象上且縱坐標分別為3，1， a，b 橫坐標分別為 1，3， ae=2 ，

21、be=2 ， ab=2， s 菱形abcd=底×高=2×2=4， 故選d 點評：本題考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟記菱形的面積公式是 解題的關(guān)鍵 7. （2015黑龍江省大慶,第10題3分）已知點a（2，0），b為直線x=1上一個動點，p為直線ab與雙曲線y=的交點，且ap=2ab，則滿足條件的點p的個數(shù)是（）a 0個 b 1個 c 2個 d 3個考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題分析： 如圖，設(shè)p（m，），b（1，n），直線x=1與x軸交于c，有a（2，0），得到oa=2，oc=1，ac=1，bcy軸，推出，于是得到這樣的點p不存在，點p4在ab

22、之間，不滿足ap=2ab，過p2作p2qx軸于q，求得滿足條件的點p（4，），于是得到滿足條件的點p的個數(shù)是1，解答： 解：如圖，設(shè)p（m，），b（1，n），直線x=1與x軸交于c，a（2，0），oa=2，oc=1，ac=1，bcy軸，p1，p3在y軸上，這樣的點p不存在，點p4在ab之間，不滿足ap=2ab，過p2作p2qx軸于q，p2qb1c，=，=，m=4，p（4，），滿足條件的點p的個數(shù)是1，故選b點評： 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的焦點問題，平行線分線段成比例，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用8、（2015遼寧省朝陽,第10題3分）如圖，在直角坐標系中，直線y1=2x2與坐標軸交于a、b兩

23、點，與雙曲線y2=（x0）交于點c，過點c作cdx軸，垂足為d，且oa=ad，則以下結(jié)論：sadb=sadc；當0x3時，y1y2；如圖，當x=3時，ef=；當x0時，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）a1b2c3d4考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題專題：計算題分析：對于直線解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出a與b坐標，利用aas得到三角形oba與三角形cda全等，利用全等三角形對應邊相等得到cd=ob，確定出c坐標，代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，由圖象判斷y1y2時x的范圍，以及y1與y2的增減性，把x=3分別代入直線與反比例

24、解析式，相減求出ef的長，即可做出判斷解答：解：對于直線y1=2x2，令x=0，得到y(tǒng)=2；令y=0，得到x=1，a（1，0），b（0，2），即oa=1，ob=2，在oba和cda中，obacda（aas），cd=ob=2，oa=ad=1，sadb=sadc（同底等高三角形面積相等），選項正確；c（2，2），把c坐標代入反比例解析式得：k=4，即y2= ，由函數(shù)圖象得：當0x2時，y1y2，選項錯誤；當x=3時，y1=4，y2=，即ef=4= ，選項正確；當x0時，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小，選項正確，故選c點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標系的交點，待定系數(shù)法確