線性方程組迭代法2

1、線性方程組的迭代法上機(jī)試驗(yàn)1 問題描述2 問題分析迭代法部分上機(jī)題有三個(gè)要求：1、SOR迭代法求解。2、共軛梯度法求解。3、迭代法和直接方法結(jié)果比較。3 求解及結(jié)果3.1 SOR迭代法求解及結(jié)果為了方便后面跟直接解法比較，針對(duì)n=2、5、8、10、15等5種情況進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，取1.25結(jié)果如下：n=2時(shí)，迭代次數(shù)k=30；nx分量SOR法求解絕對(duì)誤差(1.0e-15 *)211.0000 0.444121.0000 -0.6661n=5時(shí)，迭代次數(shù)k= 55464;nx分量SOR法求解絕對(duì)誤差511.0000 021.0002 0.000230.9993 -0.000741.0011 0.00

2、1150.9995 -0.0005n=8時(shí)，迭代次數(shù)k= 113389；nx分量SOR法求解絕對(duì)誤差811.0000 0.0000 20.9998 -0.0002 31.0006 0.0006 41.0011 0.0011 50.9954 -0.0046 61.0021 0.0021 71.0039 0.0039 80.9971 -0.0029 n=10時(shí)，迭代次數(shù)k= 58951；nx分量SOR法求解絕對(duì)誤差1011.0000 0.000021.0006 0.0000 30.9955 0.0006 41.0118 -0.0045 50.9915 0.0118 60.9950 -0.0085

3、71.0013 -0.0050 81.0059 0.0013 91.0039 0.0059 100.9945 0.0039 n=15時(shí)，迭代次數(shù)k= 132512；nx分量SOR法求解絕對(duì)誤差1511.0000 0.0000 20.9999 -0.0001 31.0017 0.0017 40.9929 -0.0071 51.0078 0.0078 61.0025 0.0025 70.9980 -0.0020 80.9957 -0.0043 90.9966 -0.0034 100.9994 -0.0006 111.0022 0.0022 121.0039 0.0039 131.0036 0.00

4、36 141.0006 0.0006 150.9950 -0.0050 3.2 CG迭代法求解及結(jié)果為了方便后面跟直接解法比較，針對(duì)n=2、5、8、10、15等5種情況進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，允許誤差esp取值1.0e-6，結(jié)果如下：n=2時(shí)，迭代次數(shù)k=2：nx分量CG法求解絕對(duì)誤差（1.0e-14 *）211.0000 0.288721.0000 0.1554n=5時(shí)，迭代次數(shù)k=4：nx分量CG法求解絕對(duì)誤差511.0000 021.0005 0.000530.9976 -0.002441.0036 0.003650.9983 -0.0017n=8時(shí)，迭代次數(shù)k=6：nx分量CG法求解絕對(duì)誤差 8

5、11.0000 020.9997 -0.000331.0014 0.001440.9982 -0.001850.9994 -0.000661.0014 0.001471.0015 0.001580.9985 -0.0015n=10時(shí)，迭代次數(shù)k=6：nx分量CG法求解絕對(duì)誤差10110.0000 20.99920.0006 31.0031-0.0045 40.99780.0118 50.9973-0.0085 60.9998-0.0050 71.00220.0013 81.00290.0059 91.0010.0039 100.9966-0.0055n=15時(shí)，迭代次數(shù)k=5：nx分量CG法求

6、解絕對(duì)誤差1511.00020.000220.9967-0.003331.00830.008341050.9945-0.005560.9942-0.005870.9969-0.003181.00060.000691.00370.0037101.00550.0055111.00580.0058121.00430.0043131.00130.0013140.9968-0.0032150.9909-0.00913.2 迭代法與直接法比較1、n=8時(shí)幾種方法的比較：n=8時(shí)，直接解法的誤差控制在1e-7之內(nèi)；而迭代法的誤差達(dá)到1e-3，誤差更大。且SOR法計(jì)算時(shí)間較直接解法長，其迭代次數(shù)為K=1133

7、89。2、n=15時(shí)幾種方法的比較：n=15時(shí)，直接解法出現(xiàn)了較大的誤差，超過了300%，其結(jié)算結(jié)果幾乎不可用了，而SOR法和CG法都能得到比較好的結(jié)果。誤差控制在1e-3之內(nèi)，而SOR法和CG法求解的精度相差無幾，但是CG法收斂的更快，只需要小于10次迭代就可以收斂，而SOR法則需要計(jì)算10萬次以上才能計(jì)算出滿足要求的解。如圖1所示：3、直接法，在當(dāng)n>=15以后，即方程高度病態(tài)以后，就求解不出精確解，會(huì)出現(xiàn)很大的偏差。但是用迭代法依然能求解出精確度比較好的解，這是迭代法的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)高度病態(tài)方程可以考慮使用迭代法求解。圖 1 n=15時(shí)，三種算法的絕對(duì)誤差分析4 程序附錄% *SORdi

8、edai.m *function SORdiedai()clc;clear;n=input('ÇëÊäÈëϵÊý¾ØÕóµÄάÊýn='); %ÊäÈënw=input('ÇëÊäÈëËɳÚÒò×&#

9、211;w=');H=hilb(n); x1=ones(n,1); b=H*x1; x0=zeros(n,1) ;x,k=SOR(H,b,x0,w)wc=x-x1 a=input('ÊÇ·ñ¼ÌÐø,¼ÌÐøÇë°´1,½áÊøÇë°´0:');if a=1 SORdiedai();else end%*SOR.m*function x

10、,k=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin=4 %nargin±íʾÊäÈë²ÎÊýµÄ¸öÊý eps= 1.0e-7; M = 50000; elseif nargin<4 errorreturn ;elseif nargin =5 M = 50000; end if(w<=0 | w>=2) error return; end D=diag(diag(A); L=-tr

11、il(A,-1); U=-triu(A,1); B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b; x=B*x0+f; k=1;while norm(x-x0,2)>=eps x0=x x =B*x0+f; k=k+1;end x; kreturn; end %*CG迭代法*function CGdiedai()clc;clear;n=input('ÇëÊäÈëϵÊý¾ØÕóµÄ

12、06;¬Êýn='); %ÊäÈëneps=input('ÇëÊäÈëÔÊÐíÎó²îeps=');H=hilb(n); x1=ones(n,1); b=H*x1; x0=zeros(n,1) ;x,k=CG(H,b,x0,eps)wc=x-x1 a=input('ÊÇ·ñ¼ÌÐø,¼ÌÐøÇë°´1,½áÊøÇë°´0:');if a=1 CGdiedai();else end%*CG.m*function x,k=CG(A,b,x0,eps) r0=b-A*x0;N=length(b);p0=r0;for k=0:N-1 fprintf('µÚ%d´Îµü´ú£