測(cè)量平差教案Liugd

1、重慶交通大學(xué)誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)教案 劉國(guó)棟版 誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)教案目 錄第1章 緒論11.1 觀測(cè)誤差11.2 測(cè)量平差學(xué)科的研究對(duì)象11.3 測(cè)量平差的簡(jiǎn)史和發(fā)展11.4 測(cè)量平差的任務(wù)和內(nèi)容2第2章 誤差分布與精度指標(biāo)32.1 正態(tài)分布32.2 偶然誤差的規(guī)律性32.3 衡量精度的指標(biāo)32.4 精度、準(zhǔn)確度與精確度32.5 測(cè)量不確定度3第3章 協(xié)方差傳播律及權(quán)53.1 數(shù)學(xué)期望的傳播律53.2 協(xié)方差傳播律53.3 協(xié)方差傳播律的應(yīng)用63.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法73.5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律93.6 由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用113.7 系統(tǒng)誤差的傳播12第4章 平差數(shù)學(xué)模

2、型與最小二乘原理134.1 測(cè)量平差概述134.2 函數(shù)模型144.3 函數(shù)模型的線性化154.4 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型154.5 參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理16第5章 條件平差185.1 條件平差原理185.2 條件方程205.3 精度評(píng)定21第6章 附有參數(shù)的條件平差24第7章 間接平差277.1 間接平差原理277.2 誤差方程287.3 精度評(píng)定31第8章 附有限制條件的間接平差35第9章 誤差橢圓399.1概述399.2點(diǎn)位誤差399.3誤差曲線439.4誤差橢圓439.5相對(duì)誤差橢圓4347第1章 緒論1.1 觀測(cè)誤差一、觀測(cè)值中為什么存在觀測(cè)誤差？觀測(cè)條件對(duì)觀測(cè)成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)

3、生觀測(cè)誤差。有觀測(cè)就有誤差的結(jié)論。二、觀測(cè)誤差的計(jì)算給出觀測(cè)誤差計(jì)算的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式。三、觀測(cè)誤差的分類及其處理1、分類給出誤差分類的表達(dá)式，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的定義。結(jié)合測(cè)角、測(cè)距和水準(zhǔn)測(cè)量的全過(guò)程，讓學(xué)生分析哪些因素引起的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統(tǒng)誤差，那些哪些因素引起的誤差屬于偶然誤差。2、處理總結(jié)粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的處理方法，讓學(xué)生舉例說(shuō)明測(cè)量上哪些操作是為了消除系統(tǒng)誤差影響的，那些計(jì)算改正為了消除系統(tǒng)誤差影響的。四、測(cè)量平差的任務(wù)根據(jù)一系列含有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值求待定量的最佳估值。1.2 測(cè)量平差學(xué)科的研究對(duì)象研究對(duì)象為含有觀測(cè)誤差的各類觀測(cè)值。舉

4、例說(shuō)明。1.3 測(cè)量平差的簡(jiǎn)史和發(fā)展一、測(cè)量平差理論的發(fā)展、經(jīng)典平差理論的發(fā)展主要介紹高斯創(chuàng)立最小二乘原理和馬爾可夫創(chuàng)立高斯-馬爾可夫平差模型的歷史背景和過(guò)程。、近代平差理論的發(fā)展主要介紹二十世紀(jì)四十年代以后出現(xiàn)的近代平差理論，結(jié)合導(dǎo)線網(wǎng)平差和我國(guó)南極考察、建站，重點(diǎn)介紹方差分量估計(jì)和秩虧網(wǎng)平差的理論、方法及其用途。二、平差計(jì)算方法的發(fā)展、手算階段、半自動(dòng)平差階段、全自動(dòng)平差階段1.4 測(cè)量平差的任務(wù)和內(nèi)容一、任務(wù) 講授測(cè)量平差的基本理論和基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究測(cè)量平差打下深入的基礎(chǔ)。二、內(nèi)容 課本各章的內(nèi)容。小結(jié)：本節(jié)介紹了觀測(cè)條件的定義，觀測(cè)條件與觀測(cè)誤差的關(guān)系，觀測(cè)誤差的定義、處理

5、，以及測(cè)量平差的發(fā)展概況。第2章 誤差分布與精度指標(biāo)2.1 正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布繪一維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。二、n維正態(tài)分布講解繪n維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。2.2 偶然誤差的規(guī)律性一、偶然誤差分布1、描述誤差分布的三種方法（1）列表法（通過(guò)實(shí)例列表講解）（2）繪圖法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）（3）密度函數(shù)法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）二、偶然誤差的分布特性 (1) 在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。（界限性） (2) 絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。（小誤差占優(yōu)性）(3) 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概

6、率相等。（對(duì)稱性）三、兩個(gè)重要概念(1) 由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測(cè)條件來(lái)確定誤差限值(2) 由偶然誤差的對(duì)稱性知觀測(cè)量的期望值就是其真值。小結(jié)：偶然誤差有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究偶然誤差的分布規(guī)律是為了更好的研究偶然誤差的處理問(wèn)題。2.3 衡量精度的指標(biāo)2.4 精度、準(zhǔn)確度與精確度2.5 測(cè)量不確定度一、精密度指標(biāo)（一）觀測(cè)量的精密度指標(biāo)1、觀測(cè)條件與精密度配合誤差分布曲線講解精密度的定義和觀測(cè)條件與精密度的關(guān)系。2、幾種常用的精密度指標(biāo)（1）方差與標(biāo)準(zhǔn)差推導(dǎo)相應(yīng)公式，給出其估值公式，講解應(yīng)用實(shí)例(2) 極限誤差分析誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小，給出極限誤差定義公式(3) 相對(duì)誤差給出相對(duì)

7、精度的定義，用實(shí)例講解其應(yīng)用范圍。(4) 平均誤差與或然誤差給出平均誤差和或然誤差的定義，講解其在國(guó)際上應(yīng)用的范圍和地區(qū)，以及其與中誤差的關(guān)系。（二）觀測(cè)向量的精度指標(biāo)1、n維隨機(jī)向量的方差陣導(dǎo)出n維隨機(jī)向量的方差陣表達(dá)形式，指出該陣是對(duì)稱矩陣，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng)n維隨機(jī)向量中各隨機(jī)變量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。2、兩隨機(jī)向量的互協(xié)方差陣導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)向量互協(xié)方差陣表達(dá)形式，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng)維隨機(jī)向量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。二、準(zhǔn)確度和精確度指標(biāo)分別給出準(zhǔn)確度和精確度的定義，及其數(shù)值指標(biāo)，繪圖講解其幾何意義。三、測(cè)量不確定度給出測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性、不確定度的概念，可測(cè)

8、不確定度的計(jì)算方法，不可測(cè)不確定度的估計(jì)方法。小結(jié)：精度指標(biāo)分為精密度指標(biāo)、準(zhǔn)確度指標(biāo)和精確度指標(biāo)三種，觀測(cè)成果的質(zhì)量應(yīng)用精確度指標(biāo)衡量，精密度指標(biāo)中的方差、極限誤差、相對(duì)誤差幾個(gè)指標(biāo)應(yīng)重點(diǎn)掌握。第3章 協(xié)方差傳播律及權(quán) 3.1 數(shù)學(xué)期望的傳播律當(dāng)Xi相互獨(dú)立時(shí)（i=1,2, ,n）,3.2 協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律。一 誤差的傳遞1、線性函數(shù)誤差的傳遞推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義2、非線性函數(shù)誤差的傳遞推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義3、函數(shù)向量誤差的傳遞Y=FX+F0Y=F(X)Y=FX講解式中符號(hào)的含義，強(qiáng)調(diào)矩陣表達(dá)式與純量表達(dá)式之間

9、的相互表式二、協(xié)方差的傳遞1、基本公式函數(shù)向量Y=F(X)Z=K(X)其誤差向量為Y=FXZ=KX則隨機(jī)向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為證明第一、第三式，并說(shuō)明同理可證二、四式。2獨(dú)立觀測(cè)量函數(shù)的方差傳遞講解式中符號(hào)的含義，說(shuō)明公式應(yīng)用的條件，強(qiáng)調(diào)公式的重要性。3、分塊向量函數(shù)向量的方差傳遞證明上式，對(duì)陣中元素加以說(shuō)明，給出兩向量不相關(guān)時(shí)該矩陣的形式。通過(guò)五個(gè)典型例題的講解說(shuō)明方差-協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用方法和計(jì)算中需注意的問(wèn)題。小結(jié)：協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律，用其解決觀測(cè)值函數(shù)（向量）的精度評(píng)定問(wèn)題。本節(jié)重點(diǎn)是利用協(xié)方差傳播律解題的方法和步驟，以及只有一

10、個(gè)觀測(cè)值函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用。3.3 協(xié)方差傳播律的應(yīng)用 1、水準(zhǔn)測(cè)量的精度繪制具有N個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)高差示意圖，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出高差中誤差計(jì)算公式：進(jìn)一步導(dǎo)出S公里觀測(cè)高差的中誤差計(jì)算公式：舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。2、同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算數(shù)平均值的精度由算術(shù)平均值公式，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出其中誤差計(jì)算公式 舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。3、若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響即觀測(cè)結(jié)果的方差，等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和。4、平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度繪支導(dǎo)線略圖，求未知點(diǎn)點(diǎn)位中誤差，用兩種方法求解。解法一：（1）、列函數(shù)式（2）線性化（3）應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計(jì)算坐標(biāo)方差（4）計(jì)算點(diǎn)位方差解

11、法二：利用縱向方差和橫向方差進(jìn)行計(jì)算。小結(jié)：本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容為水準(zhǔn)測(cè)量高差和同精度獨(dú)立觀測(cè)算數(shù)平均值的精度計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)熟記計(jì)算公式，能熟練應(yīng)用公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。3.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法 一、權(quán)的定義權(quán)是衡量各觀測(cè)值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值。Pi為觀測(cè)值Li的權(quán)，是可以任意選定的比例常數(shù)。觀測(cè)值的權(quán)與觀測(cè)值的方差成反比。二、單位權(quán)方差權(quán)的作用是衡量觀測(cè)值的相對(duì)精度，稱其為相對(duì)精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時(shí)，只能用同一個(gè)0， 令i=0，則得:上式說(shuō)明是單位權(quán)(權(quán)為1)觀測(cè)值的方差，簡(jiǎn)稱為單位權(quán)方差。凡是方差等于的觀測(cè)值，其權(quán)必等于1。權(quán)為1的觀測(cè)值，稱為單位權(quán)觀測(cè)值。無(wú)論取何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變

12、。舉例（例1、例2）講解。三、測(cè)量中常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)（1）、用測(cè)站數(shù)定權(quán)（山地、起伏較大的丘陵）利用用測(cè)站數(shù)計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用測(cè)站數(shù)定權(quán)的公式。 解釋式中符號(hào)的含義。（2）、用路線長(zhǎng)度定權(quán)（平地）利用用路線長(zhǎng)度計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用路線長(zhǎng)度定權(quán)的公式。 解釋式中符號(hào)的含義。舉例（例3、例4、例5）講解。 2、距離量測(cè)的權(quán)距離長(zhǎng)度可通過(guò)鋼尺丈量或測(cè)距儀測(cè)距得到。下面分別討論兩種情況下的定權(quán)方法。1) 鋼尺量距的權(quán)解釋式中符號(hào)的含義。2) 測(cè)距儀測(cè)距的權(quán)解釋式中符號(hào)的含義。3、等精度觀測(cè)算術(shù)平均值的權(quán)利用等精度獨(dú)立觀測(cè)值算術(shù)平均值的方差計(jì)算公式

13、和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用觀測(cè)次數(shù)定權(quán)的公式說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。小結(jié)：權(quán)是用來(lái)衡量觀測(cè)成果的相對(duì)精度的，單位權(quán)方差可以根據(jù)計(jì)算方便任意選定，但觀測(cè)值之間的比例關(guān)系不變。水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)與測(cè)站數(shù)或路線長(zhǎng)度成反比；鋼尺量測(cè)的權(quán)與距離長(zhǎng)度成反比，光電測(cè)距的權(quán)用定義式計(jì)算，其中測(cè)距方差由固定誤差和比例誤差兩項(xiàng)組成；等精度算術(shù)平均值的權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。應(yīng)熟記定權(quán)公式，明確公式中各符號(hào)的含義，掌握利用公式解題的方法。3.5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)定義協(xié)因數(shù)權(quán)可表示為方差和標(biāo)準(zhǔn)差可表式為二、協(xié)因數(shù)陣1、n維隨機(jī)向量X的協(xié)因數(shù)陣定義互協(xié)因數(shù)：利用方差協(xié)方差與協(xié)因數(shù)弧協(xié)因數(shù)的關(guān)系導(dǎo)出協(xié)因數(shù)陣上式矩陣中，。當(dāng)Q

14、ij=0(ij)時(shí)，則Xi和Xj互不相關(guān)。2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣式中，QX、QY分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而QXY、QYX分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY與QYX互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)QXY等于零時(shí)，表示X、Y互不相關(guān)。三、權(quán)陣觀測(cè)值的權(quán)一般要通過(guò)對(duì)權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)，。舉例（例1、例2）講解、分析四 協(xié)因數(shù)傳播律將協(xié)方差傳播公式乘以，并顧及，即可得到觀測(cè)向量X與其函數(shù)向量Y、Z之間的協(xié)因數(shù)傳播公式。列出相應(yīng)公式，以及只有一個(gè)函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)因數(shù)傳播公式。舉例（例3、例4）講解、分析小結(jié)：權(quán)與協(xié)因數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)

15、陣互為逆陣關(guān)系，一般情況下給了觀測(cè)值的權(quán)陣求觀測(cè)值的權(quán)要先求權(quán)陣的逆陣得到其協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)；協(xié)因數(shù)傳播律與協(xié)方差傳播律公式相仿，只記住其中一套公式，再記住協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣的關(guān)系即可。3.6 由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用 一、利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式二、由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用1、由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差的公式說(shuō)明公式的不嚴(yán)密性。2、利用雙觀測(cè)列之差求中誤差（1）求單位權(quán)中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用雙觀測(cè)列之差求單位權(quán)中誤差的

16、公式不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。（2）求雙觀測(cè)列單次觀測(cè)的中誤差（3）求雙觀測(cè)列平均值的中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出相應(yīng)公式不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)水準(zhǔn)測(cè)量雙觀測(cè)平差應(yīng)用例題小結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)是利用雙觀測(cè)之差計(jì)算中誤差的公式及其應(yīng)用，該公式在測(cè)量中應(yīng)用廣泛，應(yīng)重點(diǎn)掌握。3.7 系統(tǒng)誤差的傳播一、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差與綜合誤差的方差1、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差偏差導(dǎo)出偏差表達(dá)公式2、觀測(cè)值的綜合誤差方差可靠性如果系統(tǒng)誤差部分是偶然中誤差部分的三分之一或更小時(shí)，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計(jì)。二、系統(tǒng)誤差的傳播導(dǎo)出傳播公式三、系統(tǒng)誤差與偶然誤差的聯(lián)合傳播導(dǎo)出傳播公式小結(jié)：了解系統(tǒng)誤差的傳播規(guī)律。第4章

17、平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 4.1 測(cè)量平差概述 一、測(cè)量控制網(wǎng)簡(jiǎn)介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng)) 包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)。繪出三組不同網(wǎng)形的水準(zhǔn)網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知高程點(diǎn)，未知高程點(diǎn)和觀測(cè)高差。2. 平面控制網(wǎng)（1）三角網(wǎng)根據(jù)觀測(cè)量的不同,三角網(wǎng)分為測(cè)角三角網(wǎng)、測(cè)邊三角網(wǎng)和邊角同測(cè)三角網(wǎng)。1)測(cè)角三角網(wǎng)包括獨(dú)立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)角度。2)測(cè)邊三角網(wǎng)包括獨(dú)立測(cè)邊網(wǎng)和符合測(cè)邊網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的測(cè)邊網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)邊長(zhǎng)。3) 邊角三角網(wǎng)包括獨(dú)立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知

18、點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。（2）導(dǎo)線網(wǎng)包括獨(dú)立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。還有三維網(wǎng)、GPS控制網(wǎng)、航測(cè)控制網(wǎng)、工程專用網(wǎng)等將在后續(xù)相應(yīng)課程中介紹。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：一個(gè)已知點(diǎn)高程測(cè)站平差：一個(gè)已知方位測(cè)角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)或兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)。測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位。各種控制網(wǎng)中少于等于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為獨(dú)立網(wǎng)，多于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為非獨(dú)立網(wǎng)或附合網(wǎng)。三、必要觀測(cè)及其數(shù)目的確定確定幾何、物理模型的形狀、大

19、小所必須進(jìn)行的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)，其符號(hào)用符號(hào)t表示。高程網(wǎng)： t=p-q-1測(cè)站平差： t=p-q-1 必要起算數(shù)據(jù)測(cè)角網(wǎng)： t=2p-q-4測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：t=2p-q-3P:總點(diǎn)數(shù)或總方向數(shù)（測(cè)站平差）；q：多余起算數(shù)據(jù)數(shù) 必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)四、多余觀測(cè)及其數(shù)目的確定必要觀測(cè)之外的觀測(cè)稱為多余觀測(cè)，其數(shù)目用符號(hào)r表示多余觀測(cè)數(shù)觀測(cè)總數(shù)必要觀測(cè)數(shù)（r=n-t）五、必要觀測(cè)和多余觀測(cè)數(shù)目計(jì)算練習(xí)計(jì)算圖3-1至圖3-7的必要觀測(cè)數(shù)和多余觀測(cè)數(shù)。小結(jié)：本節(jié)介紹了測(cè)量控制網(wǎng)的類型，和各類控制網(wǎng)中應(yīng)具備的必要起算元素，必要觀測(cè)元素，應(yīng)重點(diǎn)掌握必要觀測(cè)元素?cái)?shù)和多余觀測(cè)元素?cái)?shù)的計(jì)算。4.2 函數(shù)模

20、型1、條件平差法2、間接（參數(shù)）平差法3、附有參數(shù)的條件平差法4、附有限制條件的間接（參數(shù)）平差法用簡(jiǎn)單控制網(wǎng)圖形舉例說(shuō)明。4.3 函數(shù)模型的線性化設(shè)用泰勒公式導(dǎo)出F的線性形式為根據(jù)上述函數(shù)模型線性化過(guò)程，可將各種平差方法的函數(shù)模型線性化1、 條件平差法式中 ，2、間接平差法式中 ，3、附有參數(shù)的條件平差法式中 ，4、附有限制條件的間接平差法式中，4.4 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型1、各種平差方法的隨機(jī)模型2、各種平差方法的數(shù)學(xué)模型各種平差方法函數(shù)模型的線性形式分別與平差的隨機(jī)模型聯(lián)立，即為相應(yīng)平差方法的數(shù)學(xué)模型。小結(jié)：本次課所講的各種平差方法的函數(shù)模型均能建立各觀測(cè)值之間的函數(shù)關(guān)系式，正確建立這種關(guān)

21、系式，是正確求得觀測(cè)值最可靠結(jié)果的前提。4.5 參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理 一、引例已知平面三角形三內(nèi)角應(yīng)滿足或式中上方程中有三個(gè)未知數(shù)，是相容方程，只能在某一準(zhǔn)則下求得式中未知數(shù)的估值。二、最小二乘準(zhǔn)則:顧及方差陣與權(quán)陣的關(guān)系，并用的估值V代替又可得觀測(cè)量真值向量的估值公式為：式中稱為觀測(cè)向量的“最或然值”向量或“觀測(cè)值的平差值”向量；V稱為改正數(shù)向量。三、最小二乘估計(jì)根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行的估計(jì)稱為最小二乘估計(jì)，按此準(zhǔn)則求得一組估值的過(guò)程，稱為最小二乘平差，由此而得到的一組估值是滿足方程的唯一解。如果方差陣D和權(quán)陣P是非對(duì)角陣，則表示觀測(cè)值是相關(guān)的，按此準(zhǔn)則進(jìn)行的平差即稱為相關(guān)觀測(cè)平差。如果是對(duì)

22、角陣，則表示觀測(cè)值是彼此不相關(guān)的，此時(shí)稱為獨(dú)立觀測(cè)平差。當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān)，即P為對(duì)角陣時(shí)，則有當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān), 并為等精度,即P=I時(shí), 則有:小結(jié)：最小二乘原理是測(cè)量平差的基本原理，按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)量及其函數(shù)的結(jié)果是最可靠的結(jié)果，后續(xù)所講所有平差方法均按此準(zhǔn)則求解。第5章 條件平差 5.1 條件平差原理 一、條件方程和改正數(shù)條件方程列出用觀測(cè)值真值和真誤差表示的條件平差函數(shù)模型導(dǎo)出用按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)值平差值和觀測(cè)值改正數(shù)表示的條件平差的函數(shù)模型條件方程改正數(shù)條件方程改正數(shù)條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式舉例（單三角形函數(shù)模型的建立）二、條件方程的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式r個(gè)條件方程

23、的純量表達(dá)式：線性化后得改正數(shù)條件方程其中令, , 則改正數(shù)條件方程及其閉合差計(jì)算的矩陣表達(dá)式分別為三、基礎(chǔ)方程按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)整理得改正數(shù)的計(jì)算公式改正數(shù)方程當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，改正數(shù)方程的純量形式為改正數(shù)條件方程與改正數(shù)方程聯(lián)立，稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。此時(shí)，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。四、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，得，令，得 聯(lián)系數(shù)法方程秩,即是個(gè)r階的滿秩方陣，由此解出當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純量形式為解出K，將其代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V，在按可求得平差值。五、條件平差步驟及示例用具有兩個(gè)條件

24、的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記條件方程，改正數(shù)條件方程，改正數(shù)條件方程閉合差計(jì)算式，法方程，改正數(shù)方程的表達(dá)形式，掌握用條件平差法平差的方法、步驟。5.2 條件方程 一、水準(zhǔn)網(wǎng)（同§5.1中所述,略）二、測(cè)角網(wǎng)1.單三角形（同§5.1中所述，略）2.中心多邊形以中心三邊形為例，畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的一般表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例（中心三邊形實(shí)例）列條件方程和改正數(shù)條件方程。3、大地四邊形畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例上圖中，若以對(duì)角線交點(diǎn)為極列極條件，其極條件閉合差超限

25、，說(shuō)明角度觀測(cè)存在問(wèn)題，如何返工？先讓讓學(xué)生回答，然后教師講解。三、測(cè)邊網(wǎng)1.中心多邊形畫出測(cè)邊中心三邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程2.大地四邊形畫出測(cè)邊大地四邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程四、邊角網(wǎng)如圖，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6應(yīng)列出6個(gè)條件方程條件分析：內(nèi)角和條件 2個(gè)正弦條件 2個(gè)固定角條件 1個(gè)規(guī)定邊條件 1個(gè)邊角網(wǎng)條件方程列立例題講解分析。小結(jié)

26、：條件方程列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)列的條件數(shù)目，保證方程之間不相關(guān)，其次應(yīng)能分析條件類型，最后應(yīng)掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出條件方程。5.3 精度評(píng)定一、單位權(quán)方差估值計(jì)算的計(jì)算：1、2、3、二、協(xié)因數(shù)陣設(shè)列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中表中與V、W、K的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明與V、W、K統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明：表中、的計(jì)算表達(dá)式。三、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定四、平差值函數(shù)的精度評(píng)定1平差值函數(shù)表達(dá)式及其協(xié)因數(shù)計(jì)算列出平差值函數(shù)表達(dá)式按泰勒公式展開，并按協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)的計(jì)算公式fi（i=1,2,n）為偏導(dǎo)數(shù)

27、值。2權(quán)函數(shù)式權(quán)函數(shù)式3平差值函數(shù)的方差小結(jié):本節(jié)主要介紹了利用改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式，各種平差量協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算，平差值函數(shù)式和權(quán)函數(shù)式的列立方法，平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。第6章 附有參數(shù)的條件平差 一、概述設(shè)，又可列出1個(gè)極條件和一個(gè)固定邊條件極條件為（以A點(diǎn)為極）：固定邊條件為（由AC邊推算到AB邊）：或由于選了一個(gè)參數(shù)，增加了一個(gè)條件，一般情況下，若選了u個(gè)參數(shù)，則條件方程的數(shù)目為c=r+u.從以上5 個(gè)方程出發(fā)進(jìn)行平差，就是附有參數(shù)的條件平差方法。二、基礎(chǔ)方程觀測(cè)量和的最佳估值，用奇表示的附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型為條件方

28、程或改正數(shù)條件方程 改正數(shù)條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，將對(duì)和分別求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，導(dǎo)出改正數(shù)的計(jì)算公式改正數(shù)方程附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程為： 方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，并令，則得法方程 法方程秩，即是個(gè)c階的滿秩方陣，顧及，由法方程可解出，四、精度評(píng)定（一）、單位權(quán)方差估值計(jì)算的計(jì)算：1、2、3、（二）、協(xié)因數(shù)陣設(shè)列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中證明：表中、的計(jì)算表達(dá)式。（

29、三）、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定（四）、平差值函數(shù)的精度評(píng)定設(shè)對(duì)其全微分，得權(quán)函數(shù)式：式中按協(xié)因數(shù)傳播律得的協(xié)因數(shù)為：的中誤差為：小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第7章 間接平差 7.1 間接平差原理一、平差值方程與誤差方程觀測(cè)量和的最佳故值，用平差值和改正數(shù)表示間接平差的函數(shù)模型為平差值方程（觀測(cè)方程）誤差方程 誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式以測(cè)角單三角形為例，列出平差值方程和誤差方程。二、方程的純量表達(dá)式與矩陣表達(dá)式設(shè)有n個(gè)條件方程：線性化后得誤差方程為其中令, , 則誤差方程的矩陣表達(dá)式為誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式的矩陣表達(dá)式為三、基礎(chǔ)方程誤差方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)（n+t）

30、大于方程個(gè)數(shù)n，方程有無(wú)窮多組解。根據(jù)最小二程原理可求得滿足方程的唯一一組解。求VTPV的自由極值得基礎(chǔ)方程四、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程第一式代入第二式，令，得法方程解上方程得：當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純量形式為五、按間接平差法求平差值的計(jì)算步驟及示例用水準(zhǔn)網(wǎng)例題講解平差的方法步驟。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記觀測(cè)方程，誤差方程，誤差方程常數(shù)項(xiàng)計(jì)算式，法方程的表達(dá)形式，掌握用間接平差法平差的方法、步驟。7.2 誤差方程 一、參數(shù)個(gè)數(shù)的確定與選取參數(shù)個(gè)數(shù)：等于必要觀測(cè)數(shù) t；參數(shù)選?。核疁?zhǔn)網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)高程為參數(shù)，也可選擇觀測(cè)高差為參數(shù)；平面控制網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，也可選擇觀測(cè)角度等為參數(shù)。參數(shù)選擇

31、要求：足數(shù)；參數(shù)間線性無(wú)關(guān)。二、平差值方程及誤差方程的列立1、觀測(cè)高差平差值方程及誤差方程的列立例1，以具有兩個(gè)未知點(diǎn)的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解2、觀測(cè)方向平差值方程及其誤差方程的列立設(shè) 計(jì)算參數(shù)近似值 平差值方程：其中則觀測(cè)方向的誤差方程為：或ajk、bjk稱j、k方向的方向系數(shù)，對(duì)于任一方向jm有：坐標(biāo)近似值的計(jì)算：可用支導(dǎo)線法、前方交會(huì)法等方法計(jì)算。定向角近似值的計(jì)算：誤差方程列立規(guī)律：符號(hào)；系數(shù)；特殊情況；單位：坐標(biāo)改正數(shù)為厘米時(shí)系數(shù)除100，.。3、觀測(cè)角度平差值方程及其誤差方程的列立平差值方程：誤差方程：例2，以固定角內(nèi)插一點(diǎn)得測(cè)角網(wǎng)為例講解方程列立及求平差值的方法、步驟。4、觀測(cè)邊長(zhǎng)平

32、差值方程及其誤差方程的列立設(shè)：平差值方程：其中誤差方程：常數(shù)項(xiàng)：例3，以中心三邊形內(nèi)差一點(diǎn)的測(cè)邊網(wǎng)為例講解求未知點(diǎn)坐標(biāo)的方法、步驟。小結(jié)：觀測(cè)方程和誤差方程的列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)選參數(shù)數(shù)目，保證所選參數(shù)之間線形無(wú)關(guān)，其次應(yīng)能掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出相應(yīng)觀測(cè)方程和誤差方程。7.3 精度評(píng)定 一、單位權(quán)方差估值計(jì)算的計(jì)算：3、在線性方程組解算表中計(jì)算二、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣設(shè)：按協(xié)因數(shù)傳播導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣表中與V和與V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明與V、與V統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明表中，的計(jì)算表達(dá)式。三、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知

33、點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi，i=1，2，t，則四、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：線性化得權(quán)函數(shù)式為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：五、各種平差量權(quán)函數(shù)式的列立1、高差平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)高程為參數(shù)，所求高差平差值的函數(shù)式為其權(quán)函數(shù)式為若j、k為已知點(diǎn)，其前的系數(shù)為零。2、方位平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求方位平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中的單位為（"），、的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其、前的系數(shù)為零。3、角度平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求角度平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中的單位為（"），、的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其、前的系數(shù)為零。4、邊長(zhǎng)平

34、差值如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求邊長(zhǎng)平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中、的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其、前的系數(shù)為零。第8章 附有限制條件的間接平差 一、概述如上圖，選取i、k兩點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù), 可列出4個(gè)平差值方程。由于選定的未知數(shù)個(gè)數(shù)（u）多于必要觀測(cè)數(shù)（t）, 所以在所選定的未知數(shù)之間存在s=u-t個(gè)限制條件。 即 把上列兩式線性化得二、基礎(chǔ)方程已知附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型其線性形式為其中由于n+s<n+u,不能求得和的唯一解，只能按最小二乘原理求和的最佳故值v和，從而求得觀測(cè)量和的最佳故值和，即為此，可用觀測(cè)值平差值和參數(shù)平差值表示附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型

35、，即平差值方程（觀測(cè)方程） 限制條件方程或用觀測(cè)值改正數(shù)和參數(shù)改正數(shù)表示附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型，即誤差方程限制條件方程誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式限制條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，將對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得，轉(zhuǎn)置得，上式與誤差方程和限制條件方程聯(lián)立得附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程：方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程的第二式代入第一式與第三式聯(lián)立，得， 附有限制條件的間接平差法的法方程將法方程第一式左乘與第二式相減，得令則有式中的秩R（）R（）R（C）S，且，故為s階滿秩對(duì)稱方

36、陣。將上式代入法方程第一式，可解得，代入誤差方程可解出改正數(shù)V，從而可解出：四、精度評(píng)定（一）、單位權(quán)方差估值計(jì)算的計(jì)算：3、在線性方程組解算表中計(jì)算（二）、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣令： 列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中，講解。（三）、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi,i=1,2,t,則（四）、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：線性化得權(quán)函數(shù)式為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第9章 誤差橢圓 9.1概述9.2點(diǎn)位誤差一、點(diǎn)位誤差的概念及計(jì)算1、點(diǎn)位真誤差如圖

37、可得：，無(wú)法求得（為什么?）2、點(diǎn)位方差及其計(jì)算由方差的定義式可得：故有同理有：記，則有：點(diǎn)位方差計(jì)算式上式說(shuō)明點(diǎn)位方差的大小與坐標(biāo)軸的方向無(wú)關(guān),即與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。用點(diǎn)位方差衡量P點(diǎn)精度的缺陷：不能完善說(shuō)明P點(diǎn)在任一各方向上的精度情況，不能確定P點(diǎn)在哪一個(gè)方向上的精度最好（最差）。二、P點(diǎn)在任意方向上的位差由圖可得下列關(guān)系式:由協(xié)方差傳播律得:或上式即為求任意方位角方向上點(diǎn)位方差的計(jì)算公式。三、位差的極值方向、極大值和極小值的確定由位差計(jì)算式可以看出,隨著值的變化而改變，其具有最大值和最小值。函數(shù)有極值，其一階導(dǎo)數(shù)等于零，設(shè)位差的極值方向?yàn)?求導(dǎo)得出將代入位差計(jì)算式得:極值方向的判別方法:

38、 0，極大值在第、象限 ，極小值方向在第、象限；0，極大值在第、象限，極小值方向在第、象限位差極大值、極小值的計(jì)算：用表示極大值方向、表示極小值方向；用E、F分別表示位差的極大值和極小值。則有把代入位差計(jì)算式整理得其中與、有下面關(guān)系:四、用E、F表示的任意方向上的位差由圖可知,任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有如下關(guān)系:把代入位差計(jì)算式整理得:例1 如圖,在固定三角形內(nèi)插入一點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)平差后求得P點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為:單位權(quán)方差估值為。試求(1) 位差的極值方向和, (2) 位差的極大值E與極小值F, (3) 已算出PM的方位角,PM方向上的點(diǎn)位誤差為多少, (4) P點(diǎn)的點(diǎn)位方差。例2 如圖, 已知。為確定P點(diǎn)的位置,作如下觀測(cè):試確定P點(diǎn)位差的極大值及其方向。例3 在例2 中,平差后算得PA的方位角和邊長(zhǎng)=1827.46m,試求PA邊的方位誤差及邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。按解算公式和相應(yīng)方法解算，講解。小結(jié)：點(diǎn)位方差的大小與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，