測量平差教案Liugd

1、重慶交通大學(xué)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)教案 劉國棟版 誤差理論與測量平差基礎(chǔ)教案目 錄第1章 緒論11.1 觀測誤差11.2 測量平差學(xué)科的研究對象11.3 測量平差的簡史和發(fā)展11.4 測量平差的任務(wù)和內(nèi)容2第2章 誤差分布與精度指標(biāo)32.1 正態(tài)分布32.2 偶然誤差的規(guī)律性32.3 衡量精度的指標(biāo)32.4 精度、準(zhǔn)確度與精確度32.5 測量不確定度3第3章 協(xié)方差傳播律及權(quán)53.1 數(shù)學(xué)期望的傳播律53.2 協(xié)方差傳播律53.3 協(xié)方差傳播律的應(yīng)用63.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法73.5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律93.6 由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用113.7 系統(tǒng)誤差的傳播12第4章 平差數(shù)學(xué)模

2、型與最小二乘原理134.1 測量平差概述134.2 函數(shù)模型144.3 函數(shù)模型的線性化154.4 測量平差的數(shù)學(xué)模型154.5 參數(shù)估計與最小二乘原理16第5章 條件平差185.1 條件平差原理185.2 條件方程205.3 精度評定21第6章 附有參數(shù)的條件平差24第7章 間接平差277.1 間接平差原理277.2 誤差方程287.3 精度評定31第8章 附有限制條件的間接平差35第9章 誤差橢圓399.1概述399.2點位誤差399.3誤差曲線439.4誤差橢圓439.5相對誤差橢圓4347第1章 緒論1.1 觀測誤差一、觀測值中為什么存在觀測誤差？觀測條件對觀測成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)

3、生觀測誤差。有觀測就有誤差的結(jié)論。二、觀測誤差的計算給出觀測誤差計算的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式。三、觀測誤差的分類及其處理1、分類給出誤差分類的表達(dá)式，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的定義。結(jié)合測角、測距和水準(zhǔn)測量的全過程，讓學(xué)生分析哪些因素引起的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統(tǒng)誤差，那些哪些因素引起的誤差屬于偶然誤差。2、處理總結(jié)粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的處理方法，讓學(xué)生舉例說明測量上哪些操作是為了消除系統(tǒng)誤差影響的，那些計算改正為了消除系統(tǒng)誤差影響的。四、測量平差的任務(wù)根據(jù)一系列含有觀測誤差的觀測值求待定量的最佳估值。1.2 測量平差學(xué)科的研究對象研究對象為含有觀測誤差的各類觀測值。舉

4、例說明。1.3 測量平差的簡史和發(fā)展一、測量平差理論的發(fā)展、經(jīng)典平差理論的發(fā)展主要介紹高斯創(chuàng)立最小二乘原理和馬爾可夫創(chuàng)立高斯-馬爾可夫平差模型的歷史背景和過程。、近代平差理論的發(fā)展主要介紹二十世紀(jì)四十年代以后出現(xiàn)的近代平差理論，結(jié)合導(dǎo)線網(wǎng)平差和我國南極考察、建站，重點介紹方差分量估計和秩虧網(wǎng)平差的理論、方法及其用途。二、平差計算方法的發(fā)展、手算階段、半自動平差階段、全自動平差階段1.4 測量平差的任務(wù)和內(nèi)容一、任務(wù) 講授測量平差的基本理論和基本方法，為進一步學(xué)習(xí)和研究測量平差打下深入的基礎(chǔ)。二、內(nèi)容 課本各章的內(nèi)容。小結(jié)：本節(jié)介紹了觀測條件的定義，觀測條件與觀測誤差的關(guān)系，觀測誤差的定義、處理

5、，以及測量平差的發(fā)展概況。第2章 誤差分布與精度指標(biāo)2.1 正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布繪一維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強調(diào)兩個分布參數(shù)的含義。二、n維正態(tài)分布講解繪n維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強調(diào)兩個分布參數(shù)的含義。2.2 偶然誤差的規(guī)律性一、偶然誤差分布1、描述誤差分布的三種方法（1）列表法（通過實例列表講解）（2）繪圖法（通過實例繪圖講解）（3）密度函數(shù)法（通過實例繪圖講解）二、偶然誤差的分布特性 (1) 在一定的觀測條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限值。（界限性） (2) 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。（小誤差占優(yōu)性）(3) 絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概

6、率相等。（對稱性）三、兩個重要概念(1) 由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測條件來確定誤差限值(2) 由偶然誤差的對稱性知觀測量的期望值就是其真值。小結(jié)：偶然誤差有其統(tǒng)計規(guī)律，研究偶然誤差的分布規(guī)律是為了更好的研究偶然誤差的處理問題。2.3 衡量精度的指標(biāo)2.4 精度、準(zhǔn)確度與精確度2.5 測量不確定度一、精密度指標(biāo)（一）觀測量的精密度指標(biāo)1、觀測條件與精密度配合誤差分布曲線講解精密度的定義和觀測條件與精密度的關(guān)系。2、幾種常用的精密度指標(biāo)（1）方差與標(biāo)準(zhǔn)差推導(dǎo)相應(yīng)公式，給出其估值公式，講解應(yīng)用實例(2) 極限誤差分析誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小，給出極限誤差定義公式(3) 相對誤差給出相對

7、精度的定義，用實例講解其應(yīng)用范圍。(4) 平均誤差與或然誤差給出平均誤差和或然誤差的定義，講解其在國際上應(yīng)用的范圍和地區(qū)，以及其與中誤差的關(guān)系。（二）觀測向量的精度指標(biāo)1、n維隨機向量的方差陣導(dǎo)出n維隨機向量的方差陣表達(dá)形式，指出該陣是對稱矩陣，并講解矩陣中各元素的含義，同時給出當(dāng)n維隨機向量中各隨機變量不相關(guān)時的矩陣形式。2、兩隨機向量的互協(xié)方差陣導(dǎo)出兩個隨機向量互協(xié)方差陣表達(dá)形式，并講解矩陣中各元素的含義，同時給出當(dāng)維隨機向量不相關(guān)時的矩陣形式。二、準(zhǔn)確度和精確度指標(biāo)分別給出準(zhǔn)確度和精確度的定義，及其數(shù)值指標(biāo)，繪圖講解其幾何意義。三、測量不確定度給出測量數(shù)據(jù)的不確定性、不確定度的概念，可測

8、不確定度的計算方法，不可測不確定度的估計方法。小結(jié)：精度指標(biāo)分為精密度指標(biāo)、準(zhǔn)確度指標(biāo)和精確度指標(biāo)三種，觀測成果的質(zhì)量應(yīng)用精確度指標(biāo)衡量，精密度指標(biāo)中的方差、極限誤差、相對誤差幾個指標(biāo)應(yīng)重點掌握。第3章 協(xié)方差傳播律及權(quán) 3.1 數(shù)學(xué)期望的傳播律當(dāng)Xi相互獨立時（i=1,2, ,n）,3.2 協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律是觀測值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律。一 誤差的傳遞1、線性函數(shù)誤差的傳遞推導(dǎo)上述公式，講解式中符號的含義2、非線性函數(shù)誤差的傳遞推導(dǎo)上述公式，講解式中符號的含義3、函數(shù)向量誤差的傳遞Y=FX+F0Y=F(X)Y=FX講解式中符號的含義，強調(diào)矩陣表達(dá)式與純量表達(dá)式之間

9、的相互表式二、協(xié)方差的傳遞1、基本公式函數(shù)向量Y=F(X)Z=K(X)其誤差向量為Y=FXZ=KX則隨機向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為證明第一、第三式，并說明同理可證二、四式。2獨立觀測量函數(shù)的方差傳遞講解式中符號的含義，說明公式應(yīng)用的條件，強調(diào)公式的重要性。3、分塊向量函數(shù)向量的方差傳遞證明上式，對陣中元素加以說明，給出兩向量不相關(guān)時該矩陣的形式。通過五個典型例題的講解說明方差-協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用方法和計算中需注意的問題。小結(jié)：協(xié)方差傳播律是觀測值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律，用其解決觀測值函數(shù)（向量）的精度評定問題。本節(jié)重點是利用協(xié)方差傳播律解題的方法和步驟，以及只有一

10、個觀測值函數(shù)，且觀測值之間不相關(guān)時的協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用。3.3 協(xié)方差傳播律的應(yīng)用 1、水準(zhǔn)測量的精度繪制具有N個測站的水準(zhǔn)高差示意圖，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出高差中誤差計算公式：進一步導(dǎo)出S公里觀測高差的中誤差計算公式：舉例說明公式的應(yīng)用。2、同精度獨立觀測值的算數(shù)平均值的精度由算術(shù)平均值公式，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出其中誤差計算公式 舉例說明公式的應(yīng)用。3、若干獨立誤差的聯(lián)合影響即觀測結(jié)果的方差，等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之和。4、平面控制點的點位精度繪支導(dǎo)線略圖，求未知點點位中誤差，用兩種方法求解。解法一：（1）、列函數(shù)式（2）線性化（3）應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計算坐標(biāo)方差（4）計算點位方差解

11、法二：利用縱向方差和橫向方差進行計算。小結(jié)：本節(jié)的重點內(nèi)容為水準(zhǔn)測量高差和同精度獨立觀測算數(shù)平均值的精度計算問題，應(yīng)熟記計算公式，能熟練應(yīng)用公式進行相關(guān)計算。3.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法 一、權(quán)的定義權(quán)是衡量各觀測值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值。Pi為觀測值Li的權(quán)，是可以任意選定的比例常數(shù)。觀測值的權(quán)與觀測值的方差成反比。二、單位權(quán)方差權(quán)的作用是衡量觀測值的相對精度，稱其為相對精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時，只能用同一個0， 令i=0，則得:上式說明是單位權(quán)(權(quán)為1)觀測值的方差，簡稱為單位權(quán)方差。凡是方差等于的觀測值，其權(quán)必等于1。權(quán)為1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。無論取何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變

12、。舉例（例1、例2）講解。三、測量中常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán)（1）、用測站數(shù)定權(quán)（山地、起伏較大的丘陵）利用用測站數(shù)計算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用測站數(shù)定權(quán)的公式。 解釋式中符號的含義。（2）、用路線長度定權(quán)（平地）利用用路線長度計算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用路線長度定權(quán)的公式。 解釋式中符號的含義。舉例（例3、例4、例5）講解。 2、距離量測的權(quán)距離長度可通過鋼尺丈量或測距儀測距得到。下面分別討論兩種情況下的定權(quán)方法。1) 鋼尺量距的權(quán)解釋式中符號的含義。2) 測距儀測距的權(quán)解釋式中符號的含義。3、等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)利用等精度獨立觀測值算術(shù)平均值的方差計算公式

13、和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用觀測次數(shù)定權(quán)的公式說明公式中符號的含義。小結(jié)：權(quán)是用來衡量觀測成果的相對精度的，單位權(quán)方差可以根據(jù)計算方便任意選定，但觀測值之間的比例關(guān)系不變。水準(zhǔn)測量的權(quán)與測站數(shù)或路線長度成反比；鋼尺量測的權(quán)與距離長度成反比，光電測距的權(quán)用定義式計算，其中測距方差由固定誤差和比例誤差兩項組成；等精度算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。應(yīng)熟記定權(quán)公式，明確公式中各符號的含義，掌握利用公式解題的方法。3.5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)定義協(xié)因數(shù)權(quán)可表示為方差和標(biāo)準(zhǔn)差可表式為二、協(xié)因數(shù)陣1、n維隨機向量X的協(xié)因數(shù)陣定義互協(xié)因數(shù)：利用方差協(xié)方差與協(xié)因數(shù)弧協(xié)因數(shù)的關(guān)系導(dǎo)出協(xié)因數(shù)陣上式矩陣中，。當(dāng)Q

14、ij=0(ij)時，則Xi和Xj互不相關(guān)。2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣式中，QX、QY分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而QXY、QYX分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY與QYX互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)QXY等于零時，表示X、Y互不相關(guān)。三、權(quán)陣觀測值的權(quán)一般要通過對權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對角陣時，。舉例（例1、例2）講解、分析四 協(xié)因數(shù)傳播律將協(xié)方差傳播公式乘以，并顧及，即可得到觀測向量X與其函數(shù)向量Y、Z之間的協(xié)因數(shù)傳播公式。列出相應(yīng)公式，以及只有一個函數(shù)，且觀測值之間不相關(guān)時的協(xié)因數(shù)傳播公式。舉例（例3、例4）講解、分析小結(jié)：權(quán)與協(xié)因數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)

15、陣互為逆陣關(guān)系，一般情況下給了觀測值的權(quán)陣求觀測值的權(quán)要先求權(quán)陣的逆陣得到其協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)；協(xié)因數(shù)傳播律與協(xié)方差傳播律公式相仿，只記住其中一套公式，再記住協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣的關(guān)系即可。3.6 由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用 一、利用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式二、由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用1、由三角形閉合差計算測角中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出由三角形閉合差計算測角中誤差的公式說明公式的不嚴(yán)密性。2、利用雙觀測列之差求中誤差（1）求單位權(quán)中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用雙觀測列之差求單位權(quán)中誤差的

16、公式不等精度觀測等精度觀測說明公式中符號的含義。（2）求雙觀測列單次觀測的中誤差（3）求雙觀測列平均值的中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出相應(yīng)公式不等精度觀測等精度觀測水準(zhǔn)測量雙觀測平差應(yīng)用例題小結(jié)：本節(jié)重點是利用雙觀測之差計算中誤差的公式及其應(yīng)用，該公式在測量中應(yīng)用廣泛，應(yīng)重點掌握。3.7 系統(tǒng)誤差的傳播一、觀測值的系統(tǒng)誤差與綜合誤差的方差1、觀測值的系統(tǒng)誤差偏差導(dǎo)出偏差表達(dá)公式2、觀測值的綜合誤差方差可靠性如果系統(tǒng)誤差部分是偶然中誤差部分的三分之一或更小時，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計。二、系統(tǒng)誤差的傳播導(dǎo)出傳播公式三、系統(tǒng)誤差與偶然誤差的聯(lián)合傳播導(dǎo)出傳播公式小結(jié)：了解系統(tǒng)誤差的傳播規(guī)律。第4章

17、平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 4.1 測量平差概述 一、測量控制網(wǎng)簡介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng)) 包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)。繪出三組不同網(wǎng)形的水準(zhǔn)網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知高程點，未知高程點和觀測高差。2. 平面控制網(wǎng)（1）三角網(wǎng)根據(jù)觀測量的不同,三角網(wǎng)分為測角三角網(wǎng)、測邊三角網(wǎng)和邊角同測三角網(wǎng)。1)測角三角網(wǎng)包括獨立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點和觀測角度。2)測邊三角網(wǎng)包括獨立測邊網(wǎng)和符合測邊網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的測邊網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點和觀測邊長。3) 邊角三角網(wǎng)包括獨立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知

18、點，觀測角度和邊長。（2）導(dǎo)線網(wǎng)包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長。還有三維網(wǎng)、GPS控制網(wǎng)、航測控制網(wǎng)、工程專用網(wǎng)等將在后續(xù)相應(yīng)課程中介紹。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：一個已知點高程測站平差：一個已知方位測角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標(biāo)。測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。各種控制網(wǎng)中少于等于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為獨立網(wǎng)，多于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為非獨立網(wǎng)或附合網(wǎng)。三、必要觀測及其數(shù)目的確定確定幾何、物理模型的形狀、大

19、小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其符號用符號t表示。高程網(wǎng)： t=p-q-1測站平差： t=p-q-1 必要起算數(shù)據(jù)測角網(wǎng)： t=2p-q-4測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：t=2p-q-3P:總點數(shù)或總方向數(shù)（測站平差）；q：多余起算數(shù)據(jù)數(shù) 必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)四、多余觀測及其數(shù)目的確定必要觀測之外的觀測稱為多余觀測，其數(shù)目用符號r表示多余觀測數(shù)觀測總數(shù)必要觀測數(shù)（r=n-t）五、必要觀測和多余觀測數(shù)目計算練習(xí)計算圖3-1至圖3-7的必要觀測數(shù)和多余觀測數(shù)。小結(jié)：本節(jié)介紹了測量控制網(wǎng)的類型，和各類控制網(wǎng)中應(yīng)具備的必要起算元素，必要觀測元素，應(yīng)重點掌握必要觀測元素數(shù)和多余觀測元素數(shù)的計算。4.2 函數(shù)模

20、型1、條件平差法2、間接（參數(shù)）平差法3、附有參數(shù)的條件平差法4、附有限制條件的間接（參數(shù)）平差法用簡單控制網(wǎng)圖形舉例說明。4.3 函數(shù)模型的線性化設(shè)用泰勒公式導(dǎo)出F的線性形式為根據(jù)上述函數(shù)模型線性化過程，可將各種平差方法的函數(shù)模型線性化1、 條件平差法式中 ，2、間接平差法式中 ，3、附有參數(shù)的條件平差法式中 ，4、附有限制條件的間接平差法式中，4.4 測量平差的數(shù)學(xué)模型1、各種平差方法的隨機模型2、各種平差方法的數(shù)學(xué)模型各種平差方法函數(shù)模型的線性形式分別與平差的隨機模型聯(lián)立，即為相應(yīng)平差方法的數(shù)學(xué)模型。小結(jié)：本次課所講的各種平差方法的函數(shù)模型均能建立各觀測值之間的函數(shù)關(guān)系式，正確建立這種關(guān)

21、系式，是正確求得觀測值最可靠結(jié)果的前提。4.5 參數(shù)估計與最小二乘原理 一、引例已知平面三角形三內(nèi)角應(yīng)滿足或式中上方程中有三個未知數(shù)，是相容方程，只能在某一準(zhǔn)則下求得式中未知數(shù)的估值。二、最小二乘準(zhǔn)則:顧及方差陣與權(quán)陣的關(guān)系，并用的估值V代替又可得觀測量真值向量的估值公式為：式中稱為觀測向量的“最或然值”向量或“觀測值的平差值”向量；V稱為改正數(shù)向量。三、最小二乘估計根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則進行的估計稱為最小二乘估計，按此準(zhǔn)則求得一組估值的過程，稱為最小二乘平差，由此而得到的一組估值是滿足方程的唯一解。如果方差陣D和權(quán)陣P是非對角陣，則表示觀測值是相關(guān)的，按此準(zhǔn)則進行的平差即稱為相關(guān)觀測平差。如果是對

22、角陣，則表示觀測值是彼此不相關(guān)的，此時稱為獨立觀測平差。當(dāng)觀測值不相關(guān)，即P為對角陣時，則有當(dāng)觀測值不相關(guān), 并為等精度,即P=I時, 則有:小結(jié)：最小二乘原理是測量平差的基本原理，按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測量及其函數(shù)的結(jié)果是最可靠的結(jié)果，后續(xù)所講所有平差方法均按此準(zhǔn)則求解。第5章 條件平差 5.1 條件平差原理 一、條件方程和改正數(shù)條件方程列出用觀測值真值和真誤差表示的條件平差函數(shù)模型導(dǎo)出用按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測值平差值和觀測值改正數(shù)表示的條件平差的函數(shù)模型條件方程改正數(shù)條件方程改正數(shù)條件方程常數(shù)項（閉合差）計算式舉例（單三角形函數(shù)模型的建立）二、條件方程的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式r個條件方程

23、的純量表達(dá)式：線性化后得改正數(shù)條件方程其中令, , 則改正數(shù)條件方程及其閉合差計算的矩陣表達(dá)式分別為三、基礎(chǔ)方程按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，對其求導(dǎo)整理得改正數(shù)的計算公式改正數(shù)方程當(dāng)P為對角陣時，改正數(shù)方程的純量形式為改正數(shù)條件方程與改正數(shù)方程聯(lián)立，稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。此時，方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同，方程有唯一解。四、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，得，令，得 聯(lián)系數(shù)法方程秩,即是個r階的滿秩方陣，由此解出當(dāng)P為對角陣時，法方程的純量形式為解出K，將其代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V，在按可求得平差值。五、條件平差步驟及示例用具有兩個條件

24、的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記條件方程，改正數(shù)條件方程，改正數(shù)條件方程閉合差計算式，法方程，改正數(shù)方程的表達(dá)形式，掌握用條件平差法平差的方法、步驟。5.2 條件方程 一、水準(zhǔn)網(wǎng)（同§5.1中所述,略）二、測角網(wǎng)1.單三角形（同§5.1中所述，略）2.中心多邊形以中心三邊形為例，畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的一般表達(dá)式。重點講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例（中心三邊形實例）列條件方程和改正數(shù)條件方程。3、大地四邊形畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的表達(dá)式。重點講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例上圖中，若以對角線交點為極列極條件，其極條件閉合差超限

25、，說明角度觀測存在問題，如何返工？先讓讓學(xué)生回答，然后教師講解。三、測邊網(wǎng)1.中心多邊形畫出測邊中心三邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程2.大地四邊形畫出測邊大地四邊形示意圖。（1）列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程（2）建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系（3）導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程四、邊角網(wǎng)如圖，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6應(yīng)列出6個條件方程條件分析：內(nèi)角和條件 2個正弦條件 2個固定角條件 1個規(guī)定邊條件 1個邊角網(wǎng)條件方程列立例題講解分析。小結(jié)

26、：條件方程列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)列的條件數(shù)目，保證方程之間不相關(guān)，其次應(yīng)能分析條件類型，最后應(yīng)掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出條件方程。5.3 精度評定一、單位權(quán)方差估值計算的計算：1、2、3、二、協(xié)因數(shù)陣設(shè)列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中表中與V、W、K的互協(xié)因數(shù)陣為零，說明與V、W、K統(tǒng)計不相關(guān)證明：表中、的計算表達(dá)式。三、觀測值平差值的精度評定四、平差值函數(shù)的精度評定1平差值函數(shù)表達(dá)式及其協(xié)因數(shù)計算列出平差值函數(shù)表達(dá)式按泰勒公式展開，并按協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)的計算公式fi（i=1,2,n）為偏導(dǎo)數(shù)

27、值。2權(quán)函數(shù)式權(quán)函數(shù)式3平差值函數(shù)的方差小結(jié):本節(jié)主要介紹了利用改正數(shù)計算單位權(quán)中誤差的公式，各種平差量協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計算，平差值函數(shù)式和權(quán)函數(shù)式的列立方法，平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計算方法，應(yīng)重點掌握。第6章 附有參數(shù)的條件平差 一、概述設(shè)，又可列出1個極條件和一個固定邊條件極條件為（以A點為極）：固定邊條件為（由AC邊推算到AB邊）：或由于選了一個參數(shù)，增加了一個條件，一般情況下，若選了u個參數(shù)，則條件方程的數(shù)目為c=r+u.從以上5 個方程出發(fā)進行平差，就是附有參數(shù)的條件平差方法。二、基礎(chǔ)方程觀測量和的最佳估值，用奇表示的附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型為條件方

28、程或改正數(shù)條件方程 改正數(shù)條件方程常數(shù)項（閉合差）計算式按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，將對和分別求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，導(dǎo)出改正數(shù)的計算公式改正數(shù)方程附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程為： 方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，并令，則得法方程 法方程秩，即是個c階的滿秩方陣，顧及，由法方程可解出，四、精度評定（一）、單位權(quán)方差估值計算的計算：1、2、3、（二）、協(xié)因數(shù)陣設(shè)列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中證明：表中、的計算表達(dá)式。（

29、三）、觀測值平差值的精度評定（四）、平差值函數(shù)的精度評定設(shè)對其全微分，得權(quán)函數(shù)式：式中按協(xié)因數(shù)傳播律得的協(xié)因數(shù)為：的中誤差為：小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第7章 間接平差 7.1 間接平差原理一、平差值方程與誤差方程觀測量和的最佳故值，用平差值和改正數(shù)表示間接平差的函數(shù)模型為平差值方程（觀測方程）誤差方程 誤差方程常數(shù)項（閉合差）計算式以測角單三角形為例，列出平差值方程和誤差方程。二、方程的純量表達(dá)式與矩陣表達(dá)式設(shè)有n個條件方程：線性化后得誤差方程為其中令, , 則誤差方程的矩陣表達(dá)式為誤差方程常數(shù)項（閉合差）計算式的矩陣表達(dá)式為三、基礎(chǔ)方程誤差方程中未知數(shù)個數(shù)（n+t）

30、大于方程個數(shù)n，方程有無窮多組解。根據(jù)最小二程原理可求得滿足方程的唯一一組解。求VTPV的自由極值得基礎(chǔ)方程四、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程第一式代入第二式，令，得法方程解上方程得：當(dāng)P為對角陣時，法方程的純量形式為五、按間接平差法求平差值的計算步驟及示例用水準(zhǔn)網(wǎng)例題講解平差的方法步驟。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記觀測方程，誤差方程，誤差方程常數(shù)項計算式，法方程的表達(dá)形式，掌握用間接平差法平差的方法、步驟。7.2 誤差方程 一、參數(shù)個數(shù)的確定與選取參數(shù)個數(shù)：等于必要觀測數(shù) t；參數(shù)選?。核疁?zhǔn)網(wǎng)一般選擇未知點高程為參數(shù)，也可選擇觀測高差為參數(shù)；平面控制網(wǎng)一般選擇未知點坐標(biāo)為參數(shù)，也可選擇觀測角度等為參數(shù)。參數(shù)選擇

31、要求：足數(shù)；參數(shù)間線性無關(guān)。二、平差值方程及誤差方程的列立1、觀測高差平差值方程及誤差方程的列立例1，以具有兩個未知點的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解2、觀測方向平差值方程及其誤差方程的列立設(shè) 計算參數(shù)近似值 平差值方程：其中則觀測方向的誤差方程為：或ajk、bjk稱j、k方向的方向系數(shù)，對于任一方向jm有：坐標(biāo)近似值的計算：可用支導(dǎo)線法、前方交會法等方法計算。定向角近似值的計算：誤差方程列立規(guī)律：符號；系數(shù)；特殊情況；單位：坐標(biāo)改正數(shù)為厘米時系數(shù)除100，.。3、觀測角度平差值方程及其誤差方程的列立平差值方程：誤差方程：例2，以固定角內(nèi)插一點得測角網(wǎng)為例講解方程列立及求平差值的方法、步驟。4、觀測邊長平

32、差值方程及其誤差方程的列立設(shè)：平差值方程：其中誤差方程：常數(shù)項：例3，以中心三邊形內(nèi)差一點的測邊網(wǎng)為例講解求未知點坐標(biāo)的方法、步驟。小結(jié)：觀測方程和誤差方程的列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)選參數(shù)數(shù)目，保證所選參數(shù)之間線形無關(guān)，其次應(yīng)能掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出相應(yīng)觀測方程和誤差方程。7.3 精度評定 一、單位權(quán)方差估值計算的計算：3、在線性方程組解算表中計算二、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣設(shè)：按協(xié)因數(shù)傳播導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣表中與V和與V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說明與V、與V統(tǒng)計不相關(guān)證明表中，的計算表達(dá)式。三、參數(shù)的精度評定設(shè)所求量（如未知

33、點高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi，i=1，2，t，則四、參數(shù)函數(shù)的精度計算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：線性化得權(quán)函數(shù)式為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：五、各種平差量權(quán)函數(shù)式的列立1、高差平差值如圖設(shè)未知點高程為參數(shù)，所求高差平差值的函數(shù)式為其權(quán)函數(shù)式為若j、k為已知點，其前的系數(shù)為零。2、方位平差值如圖設(shè)未知點坐標(biāo)為參數(shù)，所求方位平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中的單位為（"），、的單位為分米，若j、k為已知點，其、前的系數(shù)為零。3、角度平差值如圖設(shè)未知點坐標(biāo)為參數(shù)，所求角度平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中的單位為（"），、的單位為分米，若j、k為已知點，其、前的系數(shù)為零。4、邊長平

34、差值如圖設(shè)未知點坐標(biāo)為參數(shù)，所求邊長平差值的函數(shù)式為求全微分得其權(quán)函數(shù)式為式中、的單位為分米，若j、k為已知點，其、前的系數(shù)為零。第8章 附有限制條件的間接平差 一、概述如上圖，選取i、k兩點的坐標(biāo)為未知數(shù), 可列出4個平差值方程。由于選定的未知數(shù)個數(shù)（u）多于必要觀測數(shù)（t）, 所以在所選定的未知數(shù)之間存在s=u-t個限制條件。 即 把上列兩式線性化得二、基礎(chǔ)方程已知附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型其線性形式為其中由于n+s<n+u,不能求得和的唯一解，只能按最小二乘原理求和的最佳故值v和，從而求得觀測量和的最佳故值和，即為此，可用觀測值平差值和參數(shù)平差值表示附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型

35、，即平差值方程（觀測方程） 限制條件方程或用觀測值改正數(shù)和參數(shù)改正數(shù)表示附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型，即誤差方程限制條件方程誤差方程常數(shù)項（閉合差）計算式限制條件方程常數(shù)項（閉合差）計算式按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)，將對求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得，轉(zhuǎn)置得，上式與誤差方程和限制條件方程聯(lián)立得附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程：方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程的第二式代入第一式與第三式聯(lián)立，得， 附有限制條件的間接平差法的法方程將法方程第一式左乘與第二式相減，得令則有式中的秩R（）R（）R（C）S，且，故為s階滿秩對稱方

36、陣。將上式代入法方程第一式，可解得，代入誤差方程可解出改正數(shù)V，從而可解出：四、精度評定（一）、單位權(quán)方差估值計算的計算：3、在線性方程組解算表中計算（二）、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣令： 列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中，講解。（三）、參數(shù)的精度評定設(shè)所求量（如未知點高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi,i=1,2,t,則（四）、參數(shù)函數(shù)的精度計算設(shè)參數(shù)函數(shù)為：線性化得權(quán)函數(shù)式為：由協(xié)因數(shù)傳播律得：小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第9章 誤差橢圓 9.1概述9.2點位誤差一、點位誤差的概念及計算1、點位真誤差如圖

37、可得：，無法求得（為什么?）2、點位方差及其計算由方差的定義式可得：故有同理有：記，則有：點位方差計算式上式說明點位方差的大小與坐標(biāo)軸的方向無關(guān),即與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。用點位方差衡量P點精度的缺陷：不能完善說明P點在任一各方向上的精度情況，不能確定P點在哪一個方向上的精度最好（最差）。二、P點在任意方向上的位差由圖可得下列關(guān)系式:由協(xié)方差傳播律得:或上式即為求任意方位角方向上點位方差的計算公式。三、位差的極值方向、極大值和極小值的確定由位差計算式可以看出,隨著值的變化而改變，其具有最大值和最小值。函數(shù)有極值，其一階導(dǎo)數(shù)等于零，設(shè)位差的極值方向為,求導(dǎo)得出將代入位差計算式得:極值方向的判別方法:

38、 0，極大值在第、象限 ，極小值方向在第、象限；0，極大值在第、象限，極小值方向在第、象限位差極大值、極小值的計算：用表示極大值方向、表示極小值方向；用E、F分別表示位差的極大值和極小值。則有把代入位差計算式整理得其中與、有下面關(guān)系:四、用E、F表示的任意方向上的位差由圖可知,任意方向在兩個坐標(biāo)系中的方位角有如下關(guān)系:把代入位差計算式整理得:例1 如圖,在固定三角形內(nèi)插入一點P,經(jīng)過平差后求得P點坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為:單位權(quán)方差估值為。試求(1) 位差的極值方向和, (2) 位差的極大值E與極小值F, (3) 已算出PM的方位角,PM方向上的點位誤差為多少, (4) P點的點位方差。例2 如圖, 已知。為確定P點的位置,作如下觀測:試確定P點位差的極大值及其方向。例3 在例2 中,平差后算得PA的方位角和邊長=1827.46m,試求PA邊的方位誤差及邊長相對中誤差。按解算公式和相應(yīng)方法解算，講解。小結(jié)：點位方差的大小與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，