分層抽樣與概率的結合

1、 高考數學母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數學叢書,給您一個智慧的人生！高考數學母題 母題(二-06):分層抽樣與概率的結合(763) 0143 分層抽樣與概率的結合 母題(二-06):(2009年天津高考試題)為了了解某市開展群眾體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調查.己知A,B,C區(qū)中分別有18,27,18個工廠.()求從A,B,C區(qū)中應分別抽取的工廠個數;()若從抽得的7個工廠中隨機抽取2個進行調查結果對比,用列舉法計算這2個工廠至少有1個來自A區(qū)的概率.解析:()由抽取比例=從A,B,C區(qū)中應分別抽取的工廠個數為1

2、8=2,27=3,18=2;()設從A,B,C區(qū)中應分別抽取的工廠分別為:a1,a2,b1,b2,b3,c1.c2,則抽取2個的可能:a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,c1,a1,c2,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,c1,a2,c2,b1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,c2,共21種,其中,至少有1個來自A區(qū)的計11種概率P=.點評:統計學與概率理論是兩個緊密相關的學科;針對文科生學習掌握統計學與概率理論的知識范圍和結構,高考命題選擇統計與概率結合之路是有充分的,其中,分層抽樣與概率的

3、結合就是高考命題路徑之一. 子題(1):(2014年山東高考試題)海關對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區(qū)進口此種商品的數量(單位:件)如右表所示,工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.()求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)樣品的數量;()若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解析:()由抽取比例=各地區(qū)抽取商品數為A:50=1,B:150=3,C:100=2;()設各地區(qū)商品分別為a,b1,b2,b3,c1,c2,則隨機抽取2件可能的情況有:a,b1,a,b2,a,b3,a,c1,a,c2,b

4、1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,c2,共15種,其中,這2件商品來自相同地區(qū)的有:b1,b2,b1,b3,b2,b3,c1,c2,計4種概率P=. 注:給出設定的實際背景,先求分層抽樣的結果,然后,進一步研究分層抽樣的結果:從中抽取若干,求滿足某條件的概率;這是分層抽樣與概率結合的基本的母題模型. 子題(2):(2008年廣東高考試題)某初級中學共有學生2000名,各年級男、女生人數如下表:己知在全校學生中隨機抽取1名,抽到初二年級女生的概率是0.19.()求x的值;()現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生,問應

5、在初三年級抽取多少名？()己知y245,z245,求初三年級中女生比男生多的概率.解析:()由=0.19x=380;()由初三年級人數y+z=2000-(373+377+380+370)=500應在初三年級抽取48×=12名;()設初三年級女生比男生多的事件為A,由y+z=500,y245,z245(y,z)的可能情況:(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共11個;事件A包含的基本事件有(251,249

6、),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),計5個P(A)=. 0144 母題(二-06):分層抽樣與概率的結合(763) 注:給出設定的實際背景:層中分類,先求分層抽樣的結果,然后,研究進一步某一層,求滿足某條件的概率;這是分層抽樣與概率結合的又一母題模型. 子題(3):(2009年山東高考試題)汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位:輛):按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.()求z的值;()用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體

7、,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;()用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.解析:()設該廠本月生產轎車為n輛,由=n=2000z=2000-100-300-150-450-600=400;()由抽取比例=抽取的容量為5的樣本中,有400=2輛舒適型轎車,600=3輛標準型轎車;用a,b表示2輛舒適型轎車,用x,y,z表示3輛標準型轎車,則任取2輛可能的情況有:a,b,a,x,a,y,a,z,b

8、,x,b,y,b,z,x,y,x,z,y,z,共10個,其中,至少有1輛舒適型轎車的計7個概率P=0.7;()由樣本平均數=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9數x與樣本平均數之差的絕對值如表,由表知,數x與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的有6個概率P=. 注:給出設定的實際背景,先求分層抽樣的結果及基本的母題模型構成的概率,然后,對抽取的結果進行賦值,由此構造數字特征與與概率的結合,這是高考命題的又一方法. 子題系列:1.(2012年天津高考試題)某地區(qū)有小學21所,中學14所,大學7所,現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查.(

9、)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目;()若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數據分析;(i)列出所有可能的抽取結果;(ii)求抽取的2所學校均為小學的概率.2.(2010年湖南高考試題)為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關人員中,抽取若干人組成研究小組、有關數據見下表(單位:人):()求x,y ;()若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校C的概率.3.(2013年廣東高考試題)從一批蘋果中,隨機抽取50個,其重量(單位:克)的頻數分布表如下:()根據頻數分布表計算蘋果的重量在90,95)的頻率;()用分層抽樣的方法從重量在80,

10、85)和95,100)的蘋果中共抽取4個,其中重量在80,85)的有幾個？()在()中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在80,85)和95,100)中各有1個的概率.4.(2013年陜西高考試題)有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽,由500名大眾評委現場投票決定歌手名次.根據年齡將大眾評委分為五組,各組的人數如下:()為了調查評委對7位歌手的支持情況,現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,其中從B組抽取了6人,請將其余各組抽取的人數填入下表;()在()中,若A,B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手,現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號歌手的概率.5.(2007年全

11、國高考試題)某車間甲組有10名工人,其中有4名女工人; 母題(二-06):分層抽樣與概率的結合(763) 0145 乙組有10名工人,其中有6名女工人.現采用分層抽樣(層內采用不放回簡單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核.()求從甲、乙兩組各抽取的人數;()求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;()求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.6.(2008年寧夏、海南高考試題)為了了解中華人民共和國道路交通安全法在學生中的普及情況,調查部門對某校6名學生進行問卷調查,6人得分情況如下:5,6,7,8,9,10.把這6名學生的得分看成一個總體.()求該總體的平均數;()用簡單隨機

12、抽樣方法從這6名學生中抽取2名,他們的得分組成一個樣本,求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率. 子題詳解:1.解:()由抽樣比=應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目分別為21×=3、14×=2、7×=1;()設3所小學分別為1、2、3,兩所中學分別記為a、b,大學記為x;(i)所有可能的抽取結果:1,2,1,3,1,a,1,b,1,x,2,3,2,a,2,b,2,A,3,a,3,b,3,x,a,b,a,x,b,x,共15種;(ii)均為小學的有:1,2,1,3,2,3,計3種P=.2.解:()由x:2:y=18:36:54x=1,y=3;(

13、)設從高校B抽取的2人為a,b,從高校C抽取的3人為x,y,z,則選2人的所有可能情況有:a,b,a,x,a,y,a,z,b,x,b,y,b,z,x,y,x,z,y,z,共10種,其中,都來自高校C的有:x,y,x,z,y,z,計3種P=0.3.3.解:()蘋果的重量在90,95)的頻率=0.4;()重量在80,85)的有4=1個;()記從重量在80,85)中抽出的1個蘋果為x,從重量在95,100)中抽出的3個蘋果分別為a,b,c,則從中任取兩個可能的情況有:x,a,x,b,x,c,a,b,a,c,b,c,共6種,其中,重量在80,85)和95,100)中各有1個的有:x,a,x,b,x,c

14、,計3種概率P=.4.解:()由題設知,分層抽樣的抽取比例為6%所以各組抽取的人數如下表:()記從A組抽到的3個評委為a,b,x,其中a,b支持1號歌手;從B組抽到的6個評委為c,d,y,z,s,t,其中c,d支持1號歌手;從a,b,x和c,d,y,z,s,t中各抽取1人的所有結果為:a,c,a,d,a,y,a,z,a,s,a,t,b,c,b,d,b,y,b,z,b,s,b,t,x,c,x,d,x,y,x,z,x,s,x,t,共18種,其中2人都支持1號歌手的有:a,c,a,d,b,c,b,d,計4種概率P=.5.解:()由分層抽樣的抽取比例=從每組各抽取10=2名工人;()設甲組6名男工人分

15、別為a1,a2,a3,a4,a5,a6,4名女工人分別為b1,b2,b3,b4,乙組4名男工人分別為x1,x2,x3,x4,6名女工人分別為y1,y2,y3,y4,y5,y6,則從甲組抽取2名工人的所有可能情況有:a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,a6,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4,b3,b4,共45種,其中,恰有1名女工人的計有24種概率P=;()從甲組抽取2名工人有45種,其中,恰有0名男工人的有6種,恰有1名男工人的有24種,恰有2名男工人的有15種;同理

16、可得從乙組抽取2名工人有45種,其中,恰有0名男工人的有15種,恰有1名男工人的有24種,恰有2名男工人的有6種抽取的4名工人共有45×45種,其中,恰有2名男工人的計有6×6+24×24+15×15=837P=.6.解:()總體的平均數=(5+6+7+8+9+10)/6=7.5; 0146 母題(二-06):分層抽樣與概率的結合(763) ()從總體中隨機抽取個的可能情況及其樣本平均數是:5,6,5.5;5,7,6;5,8,6.5;5,9,7;5,10,7.5;6,7,6.5;6,8,7;6,9,7.5;6,10,8;7,8,7.5;7,9,8;7,1

17、0,8.5;8,9,8.5;8,10,9;9,10,9.5.計15種;其中樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5有:5,9,7;5,10,7.5;6,8,7;6,9,7.5;6,10,8;7,8,7.5;7,9,8;計7種,所以,所求概率P=7/15.4.(2010年廣東高考試題)某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調查中,隨機抽取了100名電視觀眾,相關的數據如下表所示: (I)由表中數據直觀分析,收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關?(II)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名,大于40歲的觀眾應該抽取幾名?(III)在上述抽取的5名觀眾中任取2名,求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.所用時間102020303