三角函數(shù)知識點歸納

1、三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉方向不同分為正角、負角、零角 按終邊位置不同分為象限角和軸線角角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為(2)終邊與角相同的角可寫成k·360°(kZ)終邊與角相同的角的集合為(3)弧度制1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角弧度與角度的換算：360°2弧度；180°弧度半徑為的

2、圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則， 2任意角的三角函數(shù)定義設是一個任意角，角的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin ，cos ，tan （三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3特殊角的三角函數(shù)值角度函數(shù)030456090120135150180270360角a的弧度0/6/4/3/22/33/45/63/22sina01/22/23/213/22/21/20-10cosa13/22/21/20-1/2-2/2-3/2-101tana03/313-3-

3、1-3/300二、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式A.基礎梳理1同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2cos21；（在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號）(2)商數(shù)關系：tan . （3）倒數(shù)關系：2誘導公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_， 其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin ，cos()cos_， 公式四：sin()sin_，cos()cos_，.公式五：sincos_，cossin . 公式六：sincos_，cossin_.誘導公式可概括為k·±的

4、各三角函數(shù)值的化簡公式口訣：奇變偶不變，符號看象限其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把看成銳角時，根據(jù)k·±在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最后作為結果符號B.方法與要點一個口訣1、誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限2、四種方法在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和積轉換法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關系進行變形、轉化（、三個式子知一可求二）(3)

5、巧用“1”的變換：1sin2cos2= sintan（4）齊次式化切法：已知，則三、三角函數(shù)的圖像與性質學習目標：1會求三角函數(shù)的定義域、值域2會求三角函數(shù)的周期 ：定義法，公式法，圖像法（如與的周期是）。 3會判斷三角函數(shù)奇偶性4會求三角函數(shù)單調區(qū)間5知道三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸6 知道，的簡單性質（一） 知識要點梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象。2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時

6、，取最小值1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值1。（3）周期性：，的最小正周期都是2；（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。（5）單調性：上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增,在上單調遞減。特別提醒，別忘了！3、正切函數(shù)的圖象和性質：（1）定義域：。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，

7、這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（4）單調性：正切函數(shù)在開區(qū)間內都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調性。4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質函數(shù)性質 圖象定義域值域最值當時，；當 時，當時， ；當時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸5、研究函數(shù)性質的方法：類比于研究的性質，只需將中的看成中的。函數(shù)yAsin（wxj）（A0，w0）的性質。（1）定義域：R （2）值域：-A, A （3）周期性：和的最小正周期都是。的最小正周期都是。（4）單調性：函數(shù)y

8、Asin（wxj）（A0，0）的單調增區(qū)間可由2kwxj2k，kz解得；單調減區(qū)間可由2kwxj2k，kz解得。在求的單調區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導公式先將化正。如函數(shù)的遞減區(qū)間是_（答：解析：y=，所以求y的遞減區(qū)間即是求的遞增區(qū)間，由得 ，所以y的遞減區(qū)間是四、函數(shù)的圖像和三角函數(shù)模型的簡單應用一、 知識要點1、 幾個物理量： 振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：2、 函數(shù)表達式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定.函數(shù)，當時，取得最小值為 ；當時，取得最大值為，則，3、函數(shù)圖象的畫法：“五點法”設，令0，求出相應的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；圖

9、象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù)ysinx的圖象經變換可得到的圖象y=sinxy=sinxXXXxxx 橫坐標伸（縮）倍左（右）平移縱坐標伸（縮）A倍y=sinx左（右）平移 縱坐標伸（縮）A倍 橫坐標伸（縮）倍左（右）平移 橫坐標伸（縮）倍 橫坐標伸（縮）倍 縱坐標伸（縮）A倍橫坐標伸(縮)倍 縱坐標伸（縮）A倍左（右）平移左（右） 平移 縱坐標伸（縮）A倍5、函數(shù)的圖象與圖象間的關系：函數(shù)的圖象向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫胶瘮?shù)的圖象；函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；函數(shù)圖象向上（

10、）或向下（）平移個單位，得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，如要得到函數(shù)ysin(2x)的圖象，只需將函數(shù)ysin2x的圖象( )(A)向左平移 個單位 (B)向右平移個單位(C)向左平移個單位 (D)向右平移個單位6、函數(shù)yAcos（wxj）和y=Atan（wxj）的性質和圖象的變換與yAsin（wxj）類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：； （）； （）如 ； （答案： ）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：如cos2cos2coscos的值等于 ； （答案： ）升冪公式降冪公式， 3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)：，其

11、中4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的方法常用的方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，尋找條件與結論中角的關系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ；問： ； ；等等.如1 . （答案： ）2若cos()，cos()，且，2，則cos2_，cos2_.（答案：，1） 3已知 則 ； （答案： ）（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎，通常化切為弦，變異名為同名（二弦歸一）。如 ； （3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有： （4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用