高等數(shù)學部分

1、高等數(shù)學部分一、向量（矢量）及其運算數(shù)學中所研究的向量一般是自由向量，即與起點無關的向量。這與物理中的某些向量不同，物理中所研究的很多向量不是自由向量而是約束向量，像力矢量與力作用點有關。對于自由向量，若它們的大小相等，方向相同，我們就說向量是相等的，記作：。這就是說經(jīng)過平移后能完全重合的向量是相等的。向量的大小叫做向量的模，向量、的模記作。模等于1的向量叫做單位向量，不論它的方向。模等于零的向量叫做零向量，記作：。零向量的起點和終點重合，它的方向可以看作是任意的。兩個非零向量如果它們的方向相同或者相反，就稱這兩個向量平行，向量平行，記作。由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以認為零向量與

2、任意向量都平行。1.向量的加減運算向量的加減法遵循平行四邊形定則和三角形定則。（1）向量的加法（如下圖）向量加法遵循下列運算規(guī)則：交換律：結合律：注：求兩個向量的和可用三角形法則也可用平行四邊形法則，兩種方法等效。（2）向量的減法（如下圖）特別地，當時，有由以上向量知識可知，物理學中求質(zhì)點受多個力的合力時，可將矢量三角形法則推廣到矢量多邊形法則。由以上知識還可知道當三個向量的和為0時，即則以向量為邊可以構建一個封閉的矢量三角形，同理當n個向量的和為0時，以這n個向量為邊可以構建一個封閉的矢量n邊形。如下圖所示：2.向量與數(shù)的乘積向量與實數(shù)的乘積記作，它也是一個向量。它的模：，當時與方向相同，當

3、時與方向相反。向量與數(shù)的乘積遵循結合律與分配率：下圖中各向量的關系3.向量的坐標表示法向量在三條坐標軸上的投影叫做向量的坐標。其中，看來這里的表示三條線段而不是三個點。記作：這是向量的坐標表示式對于起點為，終點為的向量特別地，點對于原點O的向量：這就是說如果向量起點在坐標原點，那么這個向量的坐標與它的終點坐標一致。設有，則有：向量的模：4.向量的數(shù)量積（也叫內(nèi)積、點乘積、標積）運算 結果為一個數(shù)量無方向可見兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積。物理學中的功就是采用數(shù)量積來定義的，即：可見物理課本中給出的公式中的已不是矢量了而是矢量的模。物理學中的磁通量

4、也是采用數(shù)量積定義的，即： 如下圖由數(shù)量積的定義可以推得：（1）這是因為夾角所以（2）（3）方向是任意的，可認為方向與任意向量都垂直，因此有（4）交換律：（5）分配率：5.兩向量的向量積（也叫叉乘積，矢積）運算 （叉乘積的結果仍是一個向量）的模的方向垂直于與所決定的平面（即）的指向按右手規(guī)則從轉向來確定。物理學中的力矩就是采用叉乘積來定義的，即：或物理學中還有如下一些物理量是采用叉乘積來定義的：角動量：圓周運動中的線速度、角速度、位徑的關系： 則 當時，即時，簡寫成：安培力： 洛倫茲力： 叉乘運算的性質(zhì)（1）這是因為夾角，所以（2）（3）（4）分配率：例：有兩個向量，現(xiàn)有一動點p，從開始沿著與

5、向量相同的方向做勻速直線運動，速度為。另一動點Q，從開始沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度為。設P、Q在時刻t=0秒時分別在處，則當時，t等于多少？解：因為 所以 又有 結合運動的分解知識可得：經(jīng)過t時間后 ，于是 由可知而 得二、導數(shù)與微分知識在高中物理中的應用導數(shù)反映函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度，微分指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化了多少。看來導數(shù)與微分有所不同，但二者有聯(lián)系。下面先來看導數(shù)概念的建立1.平均速度和瞬時速度對于某一作變速運動的質(zhì)點，設在時間內(nèi)發(fā)生的位移為，則這一過程的平均速度為，用這個速度只能大體上反映物體運動的平均快慢程度，不足以反映物體在各個瞬時的運動快

6、慢，要準確確定物體在某一時刻的瞬時速度我們可以這樣處理：比如說這段過程是從至這段過程，即?，F(xiàn)在我們確定質(zhì)點在時的瞬時速度，可讓取得很短，即很接近。這樣一來用來表示時的瞬時速度誤差就小了，也就是說在這種情況下平均速度就近似等于時的瞬時速度了，在這個基礎上如果我們讓（也就是讓）對求極限，那么這個極限值就表示時的瞬時速度了，即看來瞬時速度就是對平均速度求極限的結果。2.切線問題設有一曲線C其函數(shù)為，現(xiàn)在該曲線上任取兩點M、N，并作曲線C的割線MN，該割線的斜率，為此割線的傾斜角?，F(xiàn)讓N點沿曲線C靠近M點則割線MN就會繞M點順時針旋轉，當N點和M點重合時，也就是時，即，割線MN便轉到一個極限位置MT，

7、我們就把這個直線MT稱為曲線C在點M處的切線。由以上可以確定切線的斜率k，即。由此可見，切線MT的斜率就是割線MN的斜率在時的極限值。在此我們要注意，圓的切線定義為與曲線只有一個交點的直線，這是正確的。但對于其它曲線用與曲線只有一個交點的直線來定義切線就不合適了。根據(jù)以上問題的探討下面我們給出導數(shù)的定義從上面討論的兩個問題看出，非勻速直線運動的速度和切線的斜率都歸結為如下的極限：這里的和分別是函數(shù)的自變量增量和函數(shù)增量，即，。因，相當于，故上式可寫成：或。定義：設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)取得增量，如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可

8、導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)。記作：即，也可以記作：。函數(shù)在點處可導有時也說成在點處具有導數(shù)或導數(shù)存在，這里所說的導數(shù)是指函數(shù)在某點處的導數(shù)，是一個具體的值。導數(shù)就是函數(shù)的變化率，用以描述函數(shù)隨自變量的變化快慢。在上面是函數(shù)隨自變量的平均變化率，而導數(shù)則是函數(shù)在點處的變化率是一個瞬時變化率。上面講的是函數(shù)在某點處可導，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，這時對于任一都對應著的一個確定的導數(shù)值，這樣就構成了一個新的函數(shù)，這個新的函數(shù)叫做原函數(shù)的導函數(shù)，記作：或、導函數(shù)的定義式：，顯然，函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點處的取值，即。導函數(shù)簡稱導數(shù)，而是在處的導數(shù)或導函數(shù)在

9、處的取值。（1）常用的一些導數(shù)公式 （2）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設，則 （3）復合函數(shù)的求導法則設、且、都可導，則復合函數(shù)的導數(shù)為：或，即先對整個函數(shù)求導，再對子函數(shù)求導。例如：以上所說的是一階導數(shù)，下面再看二階導數(shù)我們知道，變速運動中速度v是位移s對時間t的導數(shù)，即或，而加速度又是速度對時間的變化率（導數(shù)），即或。這種導數(shù)的導數(shù)或叫做對的二階導數(shù)，記作：或，所以加速度是位移對時間的二階導數(shù)。一般地，函數(shù)的導數(shù)仍然是的函數(shù)，我們把的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù)，記作：或，即或在此基礎上還有高階導數(shù)。相對于導數(shù)的概念微分是這樣定義的函數(shù)在任意點的微分，稱為函數(shù)的微分，記作：或，即：例如：函數(shù)的

10、微分為：函數(shù)的微分為：而函數(shù)在點處的微分可表示為：例如：函數(shù)在和處的微分函數(shù)在處的微分為：，在處的微分為：因此微分指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化了多少。下面用導數(shù)知識分析高中物理中的幾個內(nèi)容：1.法拉第電磁感應定律高中物理課本中所給出的法拉第電磁感應定律的內(nèi)容是：電路中感應電動勢的大小，跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比。其數(shù)學表達式為：，用此式實際上求出的是某過程的平均感應電動勢，而要求某時刻的瞬時電動勢可以這樣進行：對取極限，即，若要求時刻的瞬時電動勢那就是。比如：穿過某一回路的磁通量隨時間的變化規(guī)律是，則在此回路中產(chǎn)生的感應電動勢瞬時值表達式就是，要求哪一時刻的值就把該時刻代

11、入即可。2.對于電磁振蕩（LC）回路中，圖示MN間的電壓：（這是瞬時電壓）令 ，則振蕩電流 而電感線圈的自感電動勢 又有所以 故有 因此在不計電感線圈內(nèi)阻的情況下，電感線圈兩端外電壓與其內(nèi)部自感電動勢始終是平衡的。3.牛頓第二定律的動量表述物體所受合外力等于動量對時間的變化率（即動量對時間的導數(shù)），即4.電場強度是電勢對空間的變化率即 由此可知在空間某區(qū)域范圍內(nèi)電勢恒定不變（如等勢體）則電場強度必為0，但是由某點的電勢是不足以確定該點的場強的，可由某處電勢對距離的變化率確定該處場強。5.對于直線運動有平均速度定義式： 平均速度也是矢量，既有大小又有方向，且的方向與的方向一致。瞬時速度定義式：

12、瞬時速度是矢量，瞬時速度是位移對時間的一階導數(shù)，是平均速度的極限。瞬時速率：路程s對時間t的一階導數(shù)， 也稱作瞬時速度的大小為瞬時速率，是標量無方向。平均加速度： 矢量，且的方向與的方向始終一致。瞬時加速度： 瞬時加速度是瞬時速度對時間的一階導數(shù)或位置矢量對時間的二階導數(shù)。只有直線運動才有速度時間圖像在該圖像中過每點的切線斜率表示瞬時加速度，割線斜率表示平均加速度。只有直線運動才有位移時間圖像在該圖像中過每點的切線斜率表示瞬時速度，割線斜率表示平均速度。6.對于曲線運動對于曲線運動來講無速度時間和位移時間圖像，但存在速率時間和路程時間圖像。因此在研究曲線運動時常常可以直接研究它的運動軌跡或者運

13、用運動分解的方法來研究。設有一曲線運動如圖示時刻質(zhì)點在A點，經(jīng)過時間質(zhì)點沿曲線運動到了B點，在這段過程中質(zhì)點通過的路程為的長，質(zhì)點發(fā)生的位移為有向線段，我們把位移與時間之比叫做在時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度，用表示，即，平均速度也為一矢量，它的大小等于，方向與位移的方向相同，從A指向B。而這段過程中看來平均速度大小不一定等于平均速率。依照直線運動瞬時速度的定義：我們把時平均速度的極限（包括大小和方向的極限）叫做質(zhì)點在某一時刻（或某一位置）的瞬時速度，用表示，即該式表明瞬時速度等于位移對時間的一階導數(shù)，速度是矢量，它的方向是時位移或平均速度的極限方向。在上圖中，當時B點趨近于A點，割線AB趨近于過A點的

14、切線AT，所以質(zhì)點的速度方向是沿著軌跡上質(zhì)點所在點的切線方向并指向質(zhì)點前進的一方。與直線運動一樣，瞬時速度大小也叫瞬時速率。當時，所以有此式表示瞬時速率等于質(zhì)點運動的路程對時間的一階導數(shù)。再看曲線運動的加速度設一質(zhì)點作曲線運動，時刻在A點，到了時刻到了B點，在A點時的速度為，到了B點時的速度為，這段過程中質(zhì)點的速度增量。仿照直線運動中平均加速度的定義：我們把速度增量與時間之比叫做時間內(nèi)的平均加速度，即，如果讓平均加速度的極限叫做質(zhì)點在某一時刻（或某一位置）的瞬時加速度。加速度是速度對時間的一階導數(shù)，是位移矢量對時間的二階導數(shù)。加速度為矢量，它的方向是時速度增量或平均加速度的極限方向?？磥韺τ谥?/p>

15、線運動與曲線運動中平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度的定義是一樣的，反映的物理意義也一樣。只不過直線運動中的加速度只描述速度大小變化的快慢，而在曲線運動中加速度除了描述速度大小變化快慢外還描述速度方向變化的快慢。對于曲線運動我們可以畫出其速率時間圖像，該圖像面積表示路程。7.電流、電量的關系高中物理課本中電流的定義式是：意思是通過導體橫截面的電荷量與通過這些電荷量所用時間的比值稱為電流，用表示。用這個關系只能求出通過導體的平均電流而要求瞬時電流需這樣處理： ，因此在圖像上過每個點的切線斜率表示瞬時電流，割線斜率表示平均電流。而圖像的面積則表示通過導體的電荷量。三、積分知識在高中物理中的

16、應用1.不定積分求解不定積分是求導的逆過程。原函數(shù)的概念定義：如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)的導函數(shù)為，即對任一都有：或，那么函數(shù)就被稱為或在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如：因為，所以是的原函數(shù)。不定積分的概念定義：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為或在區(qū)間I上的不定積分。記作： 其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量。由此定義可知，如果是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么就是的不定積分。即：，因而不定積分可表示的任意一個原函數(shù)，也就是說求一個函數(shù)的不定積分就是求這個函數(shù)的原函數(shù)。例： 例：設曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。解：設所求曲線的

17、方程為 由題設可知 所以： 將點帶入，有所以：所求曲線方程為例：質(zhì)點以初速度豎直上拋，不計阻力，求它的運動規(guī)律。解：取向上為正方向，加速度恒定，建立一維坐標系S由于 因此 又因為 所以 于是 而 因此 而時于是 這里的表示質(zhì)點的初位置。根據(jù)不定積分的定義，應該有如下關系：由于是的原函數(shù)，所以又由于是的原函數(shù)，所以或記作由此可見微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算以記號表示）是互逆的，當記號與d連在一起時，或者抵消或者抵消后剩下一個常數(shù)。2.定積分定義：設函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點：，把區(qū)間分成n個小區(qū)間各個小區(qū)間的長度依次為：，在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與小

18、區(qū)間長度的乘積，并作出和，記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣取法，只要當時，和總趨于確定的極限，這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即，其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。由定積分的定義給出了求曲邊梯形的面積、變速直線運動、變力做功的求法。如：曲線，軸及兩條直線、所圍成的曲邊梯形的面積A等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即 （圖中陰影區(qū)域的面積）物體以變速作直線運動，從時刻到時刻，這物體經(jīng)過的路程S等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即注意：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與積分變量的記法無關微積分基本公式：牛頓萊

19、布尼茨公式定理：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則一般可用上面公式求解定積分問題求定積分的一般思路是：先求出不定積分（原函數(shù)）再根據(jù)牛頓萊布尼茨公式代入上下限得出結果，在此關鍵是求原函數(shù)。例： 例：計算正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形的面積。解：例：汽車以每小時36km速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等加速度剎車。問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解：首先由可得：而 即 因此 當時車停下，因此從開始剎車到車停下車行距離：下面用定積分的知識來處理物理中的幾類問題1.變力沿直線做功在物理中物體在恒力F作用下移動距離S，則力F對物體所做的功。當作用在物體上的力為變力時，會遇到變力做

20、功。下面舉例說一下變力沿直線做功的求法。例：把一個帶電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處，它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力，由物理學知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方，那么電場對它的作用力大小為，當這個單位正電荷在電場中從處沿r軸移動到處時，計算電場力F對它所做的功。解：在上述移動過程中，電場對這個單位正電荷的作用力為變力，取r為積分變量，它的變化區(qū)間為。設為上的任一小區(qū)間，當單位正電荷從r移動到時，電場力對它所做的功近似于，即功元素為，于是所求的功為。在計算靜電場中某點的電勢時，要考慮將單位正電荷從該點處移動到無窮遠處時電場力所做的功W，在此電場力對單位正

21、電荷所做的功就是廣義積分（規(guī)定無窮遠處電勢為0），即。場源正電荷產(chǎn)生的電勢為正，場源負電荷產(chǎn)生的電勢為負。例：在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞（面積為S）從點a處推移到點b處，計算在移動的過程中，氣體壓力所做的功。解：取坐標系軸，活塞的位置可以用坐標來表示，由物理知識可知，一定量的氣體在等溫條件下，壓強P與體積V的乘積為常數(shù)K，即，因為，所以，于是作用在活塞上的力，又在氣體膨脹的過程中，體積V是變化的，因而也是變化的，所以作用在活塞上的力F就成了變力。取為積分變量，它的變化區(qū)間為，設為上任一小區(qū)間，當活塞從移動到時，變力F所做的功為，即

22、做功元素為，于是所求的功為：。例：一圓柱形儲水桶高為5m，底圓半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水，試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需要作多少功？解：作軸為坐標系（向下方向為正方向），取深度為積分變量，它的變化區(qū)間為。相應于上任取一小區(qū)間的一薄層水的厚度為，把這一薄層吸出桶外需做功，即做功微元，于是所求的功為：此題也可以按初等方法來求解：水壓力求解問題在物理學中，水深處水產(chǎn)生的壓強為，設有一面積為的平板水平放置在深度的地方，那么平板受水產(chǎn)生的壓力為。如果把平板豎直放置在水中，由于水深不同的點處壓強P不相等，平板一側所受水的壓力就不能用上述公式來直接求解了?？聪乱焕＠阂粋€橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水。設桶

23、的底半徑為R，水的密度為，計算桶的一個端面上所受的壓力（如圖）解：在這個圓片上取過圓心且豎直向下的直線為軸，取為積分變量，它的變化區(qū)間。設為上任一小區(qū)間，半圓片上相應于的窄條上各點處的壓強近似于，這窄條的面積為，因此窄條所受水的壓力，即壓力元素為，于是所求壓力：引力問題由物理學知道，質(zhì)量分別是相距為的兩個質(zhì)點間引力大小為：。如要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力，那么由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，且各點對該質(zhì)點引力的方向也不同，因此不能用上述公式來直接計算，看下一例。例：設有一長度為，線密度為的均勻細直棒。在其中垂線上距棒處有一質(zhì)量為的質(zhì)點，試計算該棒對質(zhì)點的引力。解：取坐標系如圖，使棒位于

24、軸上，質(zhì)點位于軸上，棒的中點為坐標原點O。取為積分變量，其變化區(qū)間，設為區(qū)間上任一小區(qū)間。把細直棒上相應于的一小段近似看成質(zhì)點，其質(zhì)量為，與質(zhì)點相距，于是可以按照兩質(zhì)點引力公式求出這段細直棒對質(zhì)點的引力，該力沿水平方向的分力，即力元素為：于是得引力在水平方向的總分力為：再由對稱性可知：引力在軸方向上的分力為。討論：當細直棒很短時，即，由上面結論可知：，此時可以把很短的一段細直棒視為質(zhì)點。 當細直棒很長時，即，由上面結論可知：，很顯然不能把細直棒看成質(zhì)點了。例：把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處，求克服萬有引力做的功。其中G為引力常數(shù)，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑。解：功元素為：，所求的功為：第

25、二宇宙速度的推導物體脫離地球的引力束縛，進入行星軌道的最小發(fā)射速度叫做第二宇宙速度。推導方法如下：用M表示地球質(zhì)量，R表示地球半徑，m表示物體質(zhì)量，G表示引力常量，把一個物體從地球表面發(fā)射出去，要使物體擺脫地球引力的束縛，對其應該做的功為：如果物體所具有的動能足以達到上述值，便可以擺脫地球引力束縛，即，由此可得：再看一個問題現(xiàn)有一個星球質(zhì)量為M，半徑為R，另一個質(zhì)量為m的物體距星球表面h處，求該物體所具有的引力勢能。（規(guī)定無窮遠處引力勢能為0）由功能關系可知，設想將物體從所處位置移到無窮遠處，在此過程中物體克服引力所做的功即為該處引力勢能的大小，由于規(guī)定無窮遠處引力勢能為0，所以引力勢能應該取

26、負值。在天體系統(tǒng)中，如地球和衛(wèi)星系統(tǒng)，如果只有萬有引力做功則系統(tǒng)機械能守恒，即動能和引力勢能總和保持不變。下面再推導正弦交流電中電壓、電流的有效值與最大值的關系由電流熱效應可知：在此化簡、整理后得：，再根據(jù)歐姆定律可得。交流電的電功率反映交流電的平均效果，因此有的資料上把該功率也稱作平均功率。這個功率是用有效值來計算的，即在純電阻電路中對于正弦交流電而言。通常交流電器上標明的功率就是平均功率。交流電有效值的定義：讓交流電和恒定電流分別通過同一個定值電阻，如果在交流電的一個周期內(nèi)二者產(chǎn)生的熱量相同（即熱效應相同），我們就把恒定電流的數(shù)值稱作交流的有效值。在定義交流電有效值時，選交流電的一個周期進行定義和計算是很科學、很準確的。在此不可任意選定時間，否則結果就不準確了。選一個周期進行計算，對于具有對稱性的交流電和不具對稱性的交流電都適用。物理中在計算某段時間通過導體截面的電荷量時，如果要計算一個周期通過的電荷量，對于對稱性的交流電而言電荷量一定為0，