勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題

1、勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、 b 的平方和等于斜邊c的平方。 （即：a2+b2=c2）2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長：a、 b、 c 有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。3. 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系4. 區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是 判定定理5. 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與 直角三角形有關(guān)。6. 如果用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角 形7. （1）首先確定最大邊（如：C,但不要認(rèn)為最大邊一定是 ）8. （2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=

2、a2+b2,則4 ABC是以/ C為直角的三角形。（若c2>a2+b2則AABC是以/ C為鈍角的三角形，若 c2<a2+b2則4ABC是以/ C為銳角三 角形）二、例題分析例1、若直角三角形兩直角邊的比是 3: 4,斜邊長是20,求 此直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得：（3x） 2+ （4x） 2=202化簡得x2=16;直角三角形的面積=-X3xX4x=6x2=962注：直角三角形邊的有關(guān)計算中， 常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾 股定理列方程（組）求解。例2、等邊三角形的邊長為2,求它的面積。解：如圖，等邊 ABC彳AM BC于D則：BD=1

3、BC （等腰三角形底邊上的高與底邊上 2的中線互相重合）AB=AC=BC=2等邊三角形各邊者B相等）.BD=1在直角三角形 ABD中 A臼=a6+b6,即：AD2=AE2BD=41=3AD= 3SaABC=1BC- AD= 3 2注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為-3a4例3、直角三角形周長為12cmn,斜邊長為5cmi求直角三角形 的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是x, y 根據(jù)題意得：x y 5 12(1)222X y 5(2)由(1)得：x+y=7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y2=49 (3)(3) (2),得：xy=12直角三角形的面積是 1xy

4、=1 x 12=6 ( cm) 22例4、在銳角 ABC中，已知其兩邊a=1, b=3,求第三邊的變 化范圍。分析：顯然第三邊ba<c<b+a,但這只是能保證三條邊能組成一個三角形，卻不能保證它一定A是一個銳角三角形，為此，先求 ABC /為直角三角形時第三邊的值。/3 X解：設(shè)第三邊為c,并設(shè) ABC是 B 1 C直角三角形當(dāng)?shù)谌吺切边厱r，c2=b2+a2, c=j10當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊一定是b,b2=a2+c2, - c=2v2 （即西）ABC為銳角三角形所以點A應(yīng)當(dāng)繞著點B旋轉(zhuǎn)，使/ABC<為銳角（如圖）， 但當(dāng)移動到點A2位置時/ ACB成為直角。故點 A應(yīng)

5、當(dāng)在A1 和A2間移動，此時2T2<AC<10注：此題易忽視或中一種情況， 因為假設(shè)中并沒有 明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮。例5、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A 8, 15, 17 R 4, 5, 6 C 5, 8, 10 D 8, 39,40此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2a2= (c a) (c+a)來判斷。 例如：對于選擇支 D, .82# (40+39) X (40 39), .以 8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。答案：A例 6、四邊形 ABCD, /B=90 , AB=3

6、 BC=4 CD=12 AD=13 求四邊形ABCM面積。解：連結(jié)AC./ B=90 , AB=3, BC=4.AC=AE2+BC=25 （勾股定理）AC=5 AC+CD=169, AD2=169. aC+cD=aD./ACD=9 0 (勾股定理逆定理)S 四邊形 abcd=Sxabc+Saacd=AB- BC+-AC- CD=36本題是一個典型的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題。例7、若直角三角形的三邊長分別是 n+1, n+2, n+3,求n分析：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為 n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=

7、 (n+3) 2化簡得：n2=4. .n=±2,但當(dāng) n= 2 時，n+1= 1<0, . n=2三、練習(xí)題1、等腰三角形的兩邊長為 4和2,則底邊上的高是 ,面 積是。2、一個直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則它的各邊長為O3、一個直角三角形一條直角邊為 16cni它所對的角為60° ,則 斜邊上的高為。4、四個三角形的邊長分別是 3, 4, 54, 7, 87,24,25231,4 1,5 1其中是直角三角形的是()222A、B、C、 D5、如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是()A 1: 2: 4 B、?。?3: 5C、3: 4: 7 D 5: 1

8、2: 136、已知：如圖，四邊形ABCM, AB=2Q BC=15 CD=7 AD=24/B=90 ,求證：/ A+/ C=1807、已知直角三角形中，兩邊的長為 3、4,求第三邊長8、zABC中，/C=90 , a=5, c b=1,求 b, c 的長9、如圖： ABC中，AD是角平分線，AD=BD AB=2ACA求證：4ACB是直角三角形。三、練習(xí)題解答1、/5, V152、6, 8, 103、8cm6,需連結(jié)AC證出 ACD&是直角三角形,4、D5、D6、本題類似于例從而/ 1 + 2 2=90 , / 3+/ 4=90 ,./ DAB廿 DCB=1807、解：設(shè)第三邊長為x,當(dāng)?shù)谌吺切边厱r：x2=32+42=25,即x=5當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r，則斜邊長為4: x2=4232,即x=<78、此題類似于例3解：根據(jù)題意得:a2 c2 b2 (c b)(c b) 25 . c b 25 .c b 1c b 1c 13b 129、證明：作DJ AB于EAD=BD,DEAB.2AE=AB（等腰三角