2020年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽試題及答案(精華版)

1、2020年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽試題及答案(精華版)一、選擇題(共 5小題，每小題 6 分，滿分 30 分. 以下每道小題均給 出了英文代號的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的 . 請將正 確結(jié)論的代號填入題后的括號里 . 不填、多填或錯填，得零分)5x2 2y2 z21若 4x3y6z=0， x+2y7z=0(xyz0)，則 5x2 2y2 z 2 的值等于 2x 3y 10z( ).(A) 1 (B) 19 (C) 15 (D) 1322 2在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過 20g 時付郵費(fèi) 0.80 元，超過 20g 而不超過 40g時付郵費(fèi) 1.60 元，依次類推，每增加 20g 需

2、增加郵 費(fèi) 0. 80 元(信的質(zhì)量在 100g 以內(nèi))。如果所寄一封信的質(zhì)量為 72. 5g，那么應(yīng)付郵費(fèi) ( ).(A) 2. 4 元 (B) 2.8 元 (C) 3 元(D) 3. 2 元3如下圖所示，A+B+C+D+E+F+G=(A)360(B) 450°(C) 540°(D) 720°F第1頁4四條線段的長分別為 9，5，x，1(其中 x 為正實(shí)數(shù))，用它們拼成 兩個直角三角形，且 AB 與 CD 是其中的兩條線段(如上圖) ，則 x 可 取值的個數(shù)為() .(A)2 個 (B)3 個 (C)4 個(D) 6 個5某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共 100

3、 人一起在臺階上拍畢業(yè)照 留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣(排數(shù) 3)，且要求 各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一 排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有 ( ).(A)1 種 (B)2 種 (C)4 種(D) 0 種二、填空題(共 5小題，每小題 6 分，滿分 30 分)6已知 x 1 3，那么 x1211x2 4 x 27若實(shí)數(shù) x，y，z 滿足 x 1 4 ， yy 1 1， z 1 7 ，則 xyz 的值 z x 3第14頁8觀察下列圖形：根據(jù)圖、的規(guī)律，圖中三角形的個數(shù)為 9如圖所示，已知電線桿 AB 直立于地 面上，它的影子恰好照在土

4、坡的坡面 CD 和地面 BC上，如果 CD 與地面成 45o，A=60o CD=4m，BC= 4 6 2 2 m，則電線桿 A（B第的9 題長圖）為 m.10已知二次函數(shù) y ax2 bx c（其中 a 是正整數(shù)）的圖象經(jīng) 過點(diǎn) A （ 1，4）與點(diǎn) B（2，1），并且與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn)，則 b+c 的 最大值為 .三、解答題（共 4 題，每小題 15分，滿分 60分）11如圖所示，已知 AB 是 O的直徑， BC 是O 的切線， OC 平行于 弦 AD，過點(diǎn) D作 DEAB 于點(diǎn) E，A（第 11題圖 ）6C1714131012O15115718G912某人租用一輛汽車由 A 城前

5、往 B 城，沿途可能經(jīng)過的城市以 及通過兩城市之間所需的時間 （單位：小時）如圖所示 . 若汽 車行駛的平均速度為 80 千米/ 小 時，而汽車每行駛 1 千米需要的 平均費(fèi)用為 1.2 元. 試指出此人 從 A 城出發(fā)到 B 城的最短路線 （要有推理過程），并求出所需費(fèi)用最少 為多少元？解：（第 12 題圖 ）13B如圖所示，在 ABC 中， ACB=90°（1）當(dāng)點(diǎn) D 在斜邊 AB 內(nèi)部時，求證：CD 2 BD 2 AD BD .2BC2 AB（ 2）當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) A 重合時，第（ 1）小題中的等式是否存在？請說 明理由.（3）當(dāng)點(diǎn) D 在 BA 的延長線上時， 第（1）小題

6、中的等式是否存在？ 請說明理由 . C（第 13 B 題圖 ）14B已知實(shí)數(shù) a，b，c 滿足： a+b+c=2，abc=4.（1）求 a，b，c 中的最大者的最小值；（ 2）求 a b c 的最小值 .注： 13B和 14B相對于下面的 13A和 14A是較容易的題 . 13B和 14B與 前面的 12 個題組成考試卷 . 后面兩頁 13A 和 14A兩題可留作考試后的 研究題。的長不是合數(shù)，求 PA2 PB值.解：13A如圖所示， O 的直徑的長是關(guān)于 x 的二次方程 x2 2(k 2)x k 0 (k是整數(shù))的最大整數(shù)根 . P 是O外一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 O的切線 PA 和割線 PBC，

7、其中 A 為切點(diǎn)，點(diǎn) B，C 是直線 PBC 與O 的交點(diǎn) . 若 PA，PB，PC 的長都是正整數(shù)，且 PB（第 13A 題圖 ）14A沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的 4 個數(shù) a， b，c，d 滿 足不等式 (a d)(b c ) >0，那么就可以交換 b，c 的位置，這稱為一次操 作.( 1)若圓周上依次放著數(shù) 1，2，3，4， 5，6，問：是否能經(jīng)過有限 次操作后，對圓周上任意依次相連的 4 個數(shù) a， b， c，d，都有(a d)(b c) 0？請說明理由 .( 2)若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003 個正整數(shù) 1，2， 2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對

8、圓周上任意依次相連 的 4 個數(shù) a，b，c，d，都有 (a d)(b c) 0？請說明理由 .解：(1)2)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題 6 分，滿分 30 分） 1D由 4x 3y 6z 0, 解得 x 3z, 代入即得 .x 2y 7z 0, y 2z.2D因?yàn)?20×3<72. 5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵費(fèi) 0.8×4=3.2 （元）.3C如圖所示， B+BMN+E+G=360°， FNM+F+A+ C=360°，而BMN +FNM =D180°，所以 A+B+C+D+E+F+G=540

9、6;.BAGCMNFDE第11頁B（第 3 題圖 ）（第 4 題圖 ）4D顯然 AB 是四條線段中最長的，故AB=9 或 AB=x。1）若 AB=9，當(dāng) CD=x 時，92x2(15)2，x3 5 ；當(dāng) CD=5 時，9252(x1)2，x2 14 1 ；當(dāng) CD=1 時，9212(x5)2，x4 5 5.2）若 AB=x，當(dāng) CD=9 時，2 x92(15)2，x3 13 ；當(dāng) CD=5 時，2 x52(19)2，x5 5 ；當(dāng) CD=1 時，2 x12(59)2，x197 .故 x 可取值的個數(shù)為 6 個 .5B設(shè)最后一排有 k 個人，共有 n 排，那么從后往前各排的人數(shù)分別 為 k，k+

10、1，k+2， k+（ n1），由題意可知 kn n（n 1） 100 ，即 2 n 2k n 1 200.因?yàn)?k，n 都是正整數(shù)，且 n 3，所以 n<2k+（n1），且 n 與 2k+ （ n1）的奇偶性不同 . 將 200 分解質(zhì)因數(shù)，可知 n=5 或 n=8. 當(dāng) n=5 時， k=18；當(dāng) n=8 時， k=9. 共有兩種不同方案 .第30頁61112x 2 x2 4 x 241 x2 4 x 2 43 3 x2 4 (1 3)2 471.因?yàn)?4 x 1 x y1zxx1 1 xz1zx(4x 3)7x 3 ，713 x x 7x 37 1 1 x 4x 33 x 1解得x3

11、.2從而z71725， y 1 11323x333z55于是xyz3251.253所以 4(4x 3)8161.根據(jù)圖中、的規(guī)律，可知圖中三角形的個數(shù)為1+4+3×4+32 4+33 4 =1+4+12+36+108=161(個) 9 6 2.如圖，延長 AD 交地面于 E，過 D 作 DFCE于 F.因?yàn)?DCF=45°， A=60 °， CD=4m， 所 以 CF=DF = 2 2 m， EF=DFtan60°=2 6 (m).因?yàn)?AB tan30 3 ，所以 AB BEBE 310. 4.由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，4），點(diǎn) B（2，1），所以

12、a b c 4, 4a 2b c 1,解得b a 1, c 3 2a.因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以b2 4ac 0，（ a 1）2 4a（3 2a） 0，即（9a 1）（a 1） 0，由于 a是正整數(shù)，故 a 1，所以 a 2. 又因?yàn)?b+c=3a+2 4，且當(dāng) a=2，b=3，c=1 時，滿足題意，故 b+c 的最大值為 4.三、解答題（共 4 題，每小題 15分，滿分 60分）A11如圖所示，已知 AB 是 O的直徑， BC 是O 的切線， OC平行于弦 AD， 過點(diǎn) D 作 DEAB 于點(diǎn) E，連結(jié) AC， 與 DE 交于點(diǎn) P. 問 EP 與 PD 是否相 等？證

13、明你的結(jié)論 .解： DP=PE. 證明如下：因?yàn)?AB是O 的直徑， BC是切線， 所以 AB BC.由 Rt AEPRt ABC，得EPBCAAEB . 6 分） （第 11 題圖 ）又 ADOC，所以 DAE= COB，于是 RtAEDRtOBC.綜上，從 A 城到達(dá) B 城所需的最短時間為48 小時，所走的路線故 ED AEBC OBAE 2AE （ 12分）1 AB AB2由，得ED=2EP.所以 DP=PE.15 分）12某人租用一輛汽車由 A城前往 B 城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通 過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示 . 若汽車行駛的平 均速度為 80 千米/ 小時，而汽

14、車每行駛 1 千米需要的平均費(fèi)用為 1.2 元. 試指出此人從 A 城出發(fā)到 B城的最短路線 （要有推理過程），并求 出所需費(fèi)用最少為多少元？解：從 A 城出發(fā)到達(dá) B 城的路線分成如下兩類：（1）從 A 城出發(fā)到達(dá) B 城，經(jīng)過 O 城. 因?yàn)閺?A城到 O 城所需最 短時間為 26 小時，從 O城到 B城所需最短時間為 22小時. 所以，此 類 路 線 所 需 最 短 時 間 為 26+22=48（小時） . （ 5 分）（2）從 A城出發(fā)到達(dá) B 城， 不經(jīng)過 O 城. 這時從 A 城到達(dá) B 城，必定經(jīng)過 C，D，E 城或 F， G，H 城，所需時間至少為 49 小時. （ 10分）為

15、：AFOEB.12分）所需的費(fèi)用最少為： 80×48×1. 2=4608(元)( 14分)答：此人從 A 城到 B 城最短路線是 AF OE B，所需的費(fèi)用最 少為 4608元（ 15分）（第 12 題圖 ）13B如圖所示，在 ABC中， ACB=90°.（1）當(dāng)點(diǎn) D 在斜邊 AB 內(nèi)部時，求證：CD 2 BD2 AD BD .2BC2 AB2）當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) A 重合時，第（ 1）小題中的等式是否存在？請說明理由 .3）當(dāng)點(diǎn) D 在 BA 的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由解：（1）作 DE BC，垂足為 E. 由勾股定理得CD2BD2(C

16、E2DE2) (BE2 DE2)CE2BE2(CEBE)BC.CD2 BD2 CEBECEBE .BC2BCBCBC .DEAC，所以CEAD ,BEBDBCAB ,BCABCD 2BD 2ADBDADBD .BC2ABABAB所以故因?yàn)?0 分）時有分）2）當(dāng)點(diǎn) D 與點(diǎn) A 重合時，第（ 1）小題中的等式仍然成立。此AD=0，CD=AC，BD=AB.所以從而第22 2 2 2CD 2 BD 2 AC 2 AB2BC 22 2 2BC2 BC 2BC 2AD BD AB1. AB AB1）小題中的等式成立 .1，133）當(dāng)點(diǎn) D 在 BA 的延長線上時，第1）小題中的等式不成立 .作 DE

17、BC，交 BC 的延長線于點(diǎn)E，則CD 2 BD 2BC2CE BEBCCE 2 BE 2BC22CE ,BC ,而 AD BDABABAB22 所以 CD 2BDBC21,AD BDAB15 分）說明第（ 3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分） .14B已知實(shí)數(shù) a，b，c 滿足： a+b+c=2，abc=4.（1）求 a， b， c 中的最大者的最小值；（2）求 a b c 的最小值 .解：（1）不妨設(shè) a 是 a，b，c 中的最大者，即 ab， ac，由題設(shè)知 a>0，4且 b+c= 2- a ， bc .a于是 b，c 是一元二次方程 x2 （2 a）x

18、 4 0 的兩實(shí)根，a（2 a）2 4 4 0，aa3 4a2 4a 16 0，（a2 4）（a 4）0. 所以 a4.（8分）又當(dāng) a=4， b=c=-1 時，滿足題意 .故 a，b，c 中最大者的最小值為 4.（ 10分）（2）因?yàn)?abc>0，所以 a，b，c 為全大于 0 或一正二負(fù) .1） 若 a，b，c 均大于 0，則由（ 1）知， a， b，c 中的最大者不小于 4，這與 a+b+c=2 矛盾 .2）若 a，b，c 為或一正二負(fù)，設(shè) a>0，b<0， c<0，則a b c a b c a （2 a） 2a 2，由（ 1）知 a4，故 2a-26，當(dāng) a=4

19、，b=c=-1 時，滿足題設(shè)條件且 使 得 不 等 式 等 號 成 立 。 故 a b c 的 最 小 值 為6. （ 15分）PA13A如圖所示， O 的直徑的長是關(guān)于 x 的二次方程 x2 2（k 2）x kk是整數(shù)）的最大整數(shù)根 . P 是O 外一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作O 的切線和割線 PBC，其中 A 為切點(diǎn)，點(diǎn) B，C 是直線 PBC 與O 的交點(diǎn) .PA，PB，PC 的長都是正整數(shù)，且 PB 的長不是合數(shù)，求 PA2 PB2 PC2 的值.解：設(shè)方程 x2 2（k2)x k 0 的兩個x1， x2 ， x1 x2 .由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24 2k ， x1x2k.由題設(shè)及知，x1，

20、x2 都是整數(shù) . 從，消去 k，得2x1x2 x1 x2 4，(2x1 1)(2x2 1) 9.由上式知，x24 ，且當(dāng) k=0 時， x2 4 ，故最大的整數(shù)根為 4.于是 O 的直徑為 4，所以 BC4.因?yàn)?BC=PCPB 為正整數(shù)，所以 BC=1，2，3 或 4.分）連結(jié) AB，AC，因?yàn)?PAB=PCA，所以 PAB PCA，PA PC。10 分）PB PA 故 PA2 PB(PB BC) 1）當(dāng) BC=1 時，由得， PA2 PB2 PB，于是PB2 PA2 (PB 1)2 ，矛盾！2)當(dāng) BC=2 時，由得， PA2 PB2 2PB ，于是PB2 PA2 (PB 1)2 ，矛盾！3)當(dāng) BC=3 時，由得， PA2 PB2 3PB ，于是(PA PB )( PA PB) 3PB ，由于 PB 不是合數(shù)，結(jié)合 PA PB PA PB ，故只可能PA PB 1, PAPB3,PAPB PB,PA PB 3PB, PAPBPB,PAPB 3,解得 PA 2,PB 1.此時 PA2 PB2 PC 221.(4)當(dāng) BC=4，由得，PA2PB24PB，于是(PB 1)2 PB 2 4PBPA2(PB2) 2，矛盾 .綜上所述22PA2 PB 2 PC2 21( 15 分)14A沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的 4 個數(shù) a， b，c