2020屆全國高考數(shù)學(理)沖刺高考預測卷(二)(解析版)

1、2020屆全國高考數(shù)學（理）沖刺高考預測卷（二）本試卷分第I卷（選才¥題）和第R卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每個小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項 中，只有一項是符合題目要求的.1 .已知集合 M =xX24x<0, N = xm<x<5,若 M C N = x3<x<n,貝U m+n 等于（）A. 9B. 8C. 7D. 6解析 M = x|0<x<4,又 N = xm<x<5, M C N = x|3<x<n,故 m=3, n = 4,m+n

2、=7,選 C.答案 C.r_,1 + iI1,、.，、，1,i,4,2. （2018唐山二模）若復數(shù)z= r（i是虛數(shù)單位，aCR）是純虛數(shù)，則z的虛部為（）a iA. 1B. iC. 2D. 2i1+i一解析設 z= 03y = bi（bC R 且 bw0）,貝U 1 + i = b+abi, . b= 1.選A.答案 A3. （2018南昌調(diào)研）已知m, n為兩個非零向量，則“ m與n共線”是“ m n = |m n的 （）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 當m與n反向時，m n<0,而|m n|>0,故充分性不成立.若 m n=|

3、m n|,則m n 二|m| |n| cosm, n= |m| |n11cos <m, n|,貝U cosm, n= |cosm, n> |,故 cos <m, n> >0,即0°< <m, n> <90°,止匕時m與n不一定共線，即必要性不成立.故“m與n共線”是“m n = |m n|"的既不充分也不必要條件，故選 D.答案 D 14.甲、乙、丙3人參加某項測試，每人通過該測試的概率都為 1,測試結束后，已知甲、 3頁10第乙、丙3人中至少有1人通過該測試，則甲未通過該測試的概率是 (A.2B.920c 1

4、0c 9C.19D- 19解析 設事件A為“甲、乙、丙3人中至少有1人通過該測試”，事件B為“甲未通過 該測試”.M P(A)=1 133 = 17, P(AB)= 1-1 X 1- 1-3 2 =27,所以 P(B|A) = PAB10歷答案 C5.在 ABC中，角A, B的對邊分別為a, b,若 a=8, b=7, B = 60°,貝U sinC=(A.3 ；314B.5.314C.喏或警D.1114解析 通解 si8A=sin60 7 sinA=473? cosA=4因為 sinB=¥，cosB = 2, sinC=sin(A + B) = sinAcosB+cosA

5、sinB,所以當 cosA=1 時，sinC = 543；當 cosA=一；時，sinC=343.故 sinC的值為呦3或543.優(yōu)解 設角C的對邊為c,由余弦定理得，b2 = a2+c2 2accosB? 49=64+c28c? c= 3或 c=5.當 c= 3 時，sinC=b sinB = 4g;當 c=5 時，sinC = ： sinB=34.故 sinC 的值為34或 5 .314 .答案 Cex16.函數(shù)f(x) = xex_1 (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖像大致為()、ex+1ex+1ex+1解析由題息，f( X)= _xe x_ 二 x ex = x ex_ i =f(X),

6、所以函數(shù) f(X)為偶函數(shù),故f(x)的圖像關于y軸對稱，排除B, C;又 x-0+時，ex+1 -2, x(eX 1)-0+,ex+1所以E- 十巴排除D，故選A.答案 A7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 a, b分別是2 020, 1,則輸出的i =()A. 5B. 6C. 7D. 8解析 i = 1, a = 2 020+ 1, b=1 = 1!； i=2, a = 2 020+ 3, b = 2X1=2!;b= n!n n+ 1 i=n, a = 2 020+ 2,當 i = 6 時，a = 2 020+ 21=2 041, b=6! = 720<a；當 i = 7 時，a

7、= 2 020+ 28 = 2 048, b=7! =5 040>a.故輸出的i的值為7.答案 C8 .我國南北朝時的數(shù)學著作張邱建算經(jīng)有一道題為：“今有十等人，每等一人，官 賜金依等次差降之.上三人先入，得金四斤，持出.下三人后入，得金三斤，持出.中間四 人未到者，亦依等次更給.問各得金幾何？”在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等 級較低的九等人所得黃金（）A.多1斤B.少1斤C .多1斤D.少1斤33解析 等級由高到低的十等人所得黃金由多到少依次記為a1, a2,，a10,則a1，a2,，a10成等差數(shù)列.由題意得 a1 + a2+a3 = 3a2 = 4, a2=4; a8+a

8、9+a10=3a9 = 3, a9=1.則 a2a9 3=4-1=1即等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金多1斤. 333答案 C9 .把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A, B, C, D四點為頂點棱錐體積最大時, 直線BD和平面ABC所成角的大小為（）A. 900B. 600C. 450D. 300解析 如圖，當DO,平面ABC時，三棱錐D-ABC的體積最大. / DBO為直線BD和平面ABC所成的角，.在 RtADOB 中，OD = OB,直線BD和平面ABC所成角的大小為45°.答案 C1”10.在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x, y,記pi為事件 x+ y&g

9、t;2的概率，p2為事件|x1 ,1y|05的概率，p3為事件 xy< 2的概率，則（）A. pi<p2Vp3B. p2 Vp3<piC . p3<pi<p2D. p3 Vp2<pi解析如圖所示,由幾何概型得p1 =1 1 11 -X-X-2 2 21三A '由幾何概型得1 11 -x -2 2p2= 1由幾何概型得1-p3=一i1211 2x dx_1 + ln 21=2；所以 p2Vp3<pi.答案 B11.已知函數(shù)f(x) = 2sin(小小丑1>0 |g2 , f(啟1, f( H 1,若| k B的最小值為第且f(x)的圖像關于

10、點4 1對稱，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()冗A. 2+2k：t,冗 + 2k 九,kCZB. 5+ 3k tt, tt+ 3k 九,k ZC. tt+ 2ktt,箓 2k 九,kCZD. tt+ 3ktt, 5+ 3ktt , k Z22解析由題設條件可知f(x)的周期T= 4|a 3min = 3兀，所以= 又f(x)的圖像關于I 3, 九 九一 2 九點4，1對稱，從而f 4 =1，即sin 3*4+小=0.因為14<=，所以小=故 f(x) = 2sin 3x-6 +1，冉由一2+2k7t<3x-6&2 + 2k& kC,1九 一一一 乙行 一 2 +

11、3k 廬 x0 兀+ 3k tt, k C 乙答案 B12.已知函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，且2 一一f(x)+f (x)= ln(x+ 1) ln(1 x) +-2,則 |f(2x 1 x1 1)|vfx+2的解集是()1 A.6B.6' 41C. 3D.6' 2解析.f(x)是奇函數(shù),f( x) = f(x),兩邊同時求導數(shù)得，一f' (x) = f' (x),則f' (x) = f' (x),即 f' (x)為偶函數(shù).2,f(- x) + f (x)=ln( x+ 1)-ln(1 +x) + -2,1 x則一f(x) + f'

12、(x) = ln( x+ 1)-ln(1 +x)+ 2 2, 1 xf x =ln 1 +x In 1 x ,與 f(x) + f' (x) = ln(x+1) ln(1 x) + 7"2F聯(lián)立可得，21xf x =13x2.2又 f(x)的定義域為(1,1), . .f' (x) = ；2>0,1 x f(x)在(1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù).在(0,1)上，f(x)>f(0)=0,|f(x)|為偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增.t -1由 |f(2x- 1)|< f x+2 ,1<2x 1<1,/1 .可得1<x+ 2<1 5

13、1|2x1|< x+2 ,.116<x< 2.答案 D本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個試題考生必須作答.第22 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x+ 3- n的展開式中所有項的系數(shù)和為81,則展開式的常數(shù)項為4展開式的通項Tr+1 = C4x4京r = 2rC4x422 3XC4 = 32.-4r,令4 4r=0,得r = 3,則展開式的常數(shù)項為 33答案 3214 .如圖，/ BAC = 120°,圓M與AB、AC分別切于點D、E, AD=1,點P是圓M及 其內(nèi)部任意一點，且AP =

14、 xAD + yAE(x, yCR),則x+ y的取值范圍為解析 如圖，記平行于直線DE,且與圓相切的直線分別為 NQ和BF,則x+y的最大值 為A1 = 4+26，x+ y的最小值為AN = 4 273.答案4 2淄，4+24315 .如圖，在矩形ABCD中，AB = 4, AD = 2, E為邊AB的中點.將 ADE沿DE翻折, 得到四棱錐A1-DEBC.設線段AiC的中點為M,在翻折過程中，有下列三個命題：總有BM/平面AiDE；三棱錐C-AiDE體積的最大值為 平；3存在某個位置，使DE與AiC所成的角為90°.其中正確的命題是 .（寫出所有正確命題的序號）解析取DC的中點為

15、F,連接FM, FB,如圖所示，可得MF/AiD, FB/DE,可得平面MBF /平面AiDE,所以BM/平面AiDE,所以正確;i i當平面AiDE與底面ABCD垂直時，三棱錐C-AiDE的體積取得最大值，最大值為 審 3 2AiDXAiEX EC=ixix2X2X2/=4亞,所以正確；假設存在某個位置，使DE與AiC所成的角為90°,因為DELEC,所以DEL平面AiEC 可得DEXAiE,即AEXDE,與已知條件矛盾，所以不正確.故答案為 .答案16 .已知雙曲線多一卷=1由>0, b>0)上一點C,過雙曲線中心的直線交雙曲線于 A, B兩2點，記直線 AC, BC

16、的斜率分別為ki, k2,當E + ln|ki| + ln|k2|最小時，雙曲線的離心率為Ki k2解析 設 A(xi, yi), C(X2, y2),由題意知，點A, B為過原點的直線與雙曲線b2=i的交點，由雙曲線的對稱性,得A, B關于原點對稱，B(xi, yi),. Ki K2y2 yi y2 + yiy2 y2x2 Xi x2 + xix2x2'2222丁點a, c都在雙曲線上，.二a2-b2= i, a2番=i兩式相減，可得Kik2 =22對于命 + ln|Kil+ln|K2l=kik2+ln|Kik2l,2設函數(shù) y=-+ln x, x>0, x由 y'=

17、今+'=0,得 x = 2, x x當 x>2 時，y' >0,當 0<x<2 時，y' <0,- 2二當x=2時，函數(shù)y=-+ln x, x>0取得取小值， x 2b21. 當 丁丁 + ln(KiK2)取小時，KiK2 = _2 = 2, Ki K2a. e= yi+02=V3.答案 3三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 i72i題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分17. (i2 分)平面四邊形 ABCD 中，ABXBC, /A=60&

18、#176;, AB = 3, AD = 2.(i)求 sinZABD;i(2)若 cos/ BDC = 7，求 BCD 的面積.解析（1）在ABD 中，/A=60°, AB = 3, AD = 2,由余弦定理，得BD2=AB2+AD2 2AB AD cosA=9 + 46=7,所以 BD =巾，（2 分）由正弦定理，得BD AD sinA=sin/ABD所以 sin/ABDAD sinA=BD =c 32X-2-（4分）市一中.（6 分）（2）因為 ABXBC,所以/ ABC=90°,所以cos/ DBC = sin / ABD =當,所以sin/ DBC =5.因為cos

19、/ BDC = 7,所以 sin/BDC =473.（8 分）所以sinC = sin（箕/BDC /DBC）= sin（/BDC+/ DBC）=sin / BDCcos/ DBC + cos/ BDCsinZ DBC厘孥卜"。分）所以 sin/DBC = sinC,所以/ DBC=/C,所以DC = BD = 5,所以S次bcd = DC BD sin/ BDC = 2x= 2/3.（12 分）18. （12分）某省級示范高中高三年級對考試的評價指標中，有“難度系數(shù)”和“區(qū)分度ft人【匕l(fā) 廿 一、a年級總平均分實驗班的平均分普通班的平均分區(qū)分度=兩個指標.其中，難度系數(shù)=訪 ，總

20、分（1）在某次數(shù)學考試（滿分150分）中，從實驗班和普通班各隨機抽取三人，實驗班三人的成績分別為147分，142分，137分，普通班三人的成績分別為97分，102分，113分，通過樣本估算本次考試的區(qū)分度（精確到0.01）.頁10第0.01126參考數(shù)據(jù)：xiy = 0.9309i= 1ni=1回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為yi- yn .Xi Xn -2xiyi n x yA日 b;n .2解析(1)易求得實驗班三人成績的平均分為147+ 142+137_3;142（分）,普通班三人成績的平均分為97+ 102+113_3;104（分）,所以區(qū)分度為142-1041500.25

21、.（3 分）(2)以下表格是高三年級6次考試的統(tǒng)計數(shù)據(jù):難度系數(shù)x0.640.710.740.760.770.82區(qū)分度y0.180.230.240.240.220.15計算相關系數(shù)r, |r|<0.75時，認為相關性弱；|r蘆0.75時，認為相關性強.通過計算說明，能否利用線性回歸模型擬合 y與x的關系;已知t=|x 0.74,求出y關于t的線性回歸方程，并預報x= 0.75時y的值(精確到0.01).tiyi = 0.0483,（ti-i=1i=1t ）2 = 0.0073.xi xi =1頁20第(2)由表格數(shù)據(jù)知,= 0.74,。64+ 0.71 + 0.74+ 0.76+ 0.

22、77+ 0.82= 0.21,_ 0.18+ 0.23+ 0.24+ 0.24+ 0.22+ 0.156xiyi nx y 0.13,0.9309 6X0.74X 0.210.0112故|r|<0.75,相關性較弱.（6分）綜上可知,不能利用線性回歸模型擬合 y與x的關系.（7分）則b=t0.100.0300.020.030.08區(qū)分度y0.180.230.240.240.220.150.0483-6 瞪。216, “tiyi n t yi = 10.00730.86,冷一"-86啖0.25.y與t的值如下表:故所求回歸方程為y= 0.86t+0.25, （11分）當 x= 0

23、.75時，t=0.01,所以 y=0.24.（1分）19. （12 分）在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD, CD = 2AB.（1）設AC與BD相交于點M, AN = mAP（m>0）,且MN/平面PCD,求實數(shù)m的值；（2）若 AB = AD = DP, /BAD=60°, PB=V2AD,且 PDLAD,求二面角 B-PC-D 的正弦 化解析因為AB/CD,所以1,3.（1 分）AM_ AB1AM_MC = CD = 2，即 AC =因為MN/平面PCD, MN?平面FAC,平面PACA平面PCD=PC,所以 MN / PC.（2 分）所以AN AM 1 而=記=3,

24、即 m=；.（3 分）3（2）因為AB=AD, / BAD = 60°,可知 ABD為等邊三角形,所以 BD = AD = PD,又 BP=/AD,故 BP2=PD2+DB2,所以 PDXDB.由已知 PDXAD, ADABD=D,所以PDL平面ABCD.（5分）如圖，以D為坐標原點，DA, DP的方向為x, y軸的正方向建立空間直角坐標系,設 AB=1,則 AB = ADDP=1, CD = 2,所以 b 2, 0,當，P（0,1,0）, C（-1,0, V3）則晶=1, -1,半，PC=（-1, -1,峋,（6 分）設平面PBC的一個法向量 m=(x1, y1, z1),則有m

25、PB=0,m PC = 0,x1 2y1 + V3z1 = 0, x1 +y1 V3z1 = 0.設 X1 = 1,則 y1 = 2, Z1 = V3,所以 m=（1,2, 回 （8 分）設平面PCD的一個法向量為n = （x2,乎,Z2）,n dC=0, 由已知可得 一n DP=0,x2-/3z2=0,即y2= 0.令 Z2=1,則 x2 = #,所以 n = （43, 0,1）. （10 分）所以cos <m,m n 福|m| |n4 .設二面角B-PC-D的平面角為9,則sin 8=4°（12分）1 3 .20. （12分）已知拋物線C: y= x2,點A, B在拋物線上

26、，且橫坐標分別為一 飛/,拋物線C上的點P在A,B之間（不包括點A,點B）,過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.求直線AP的斜率k的取值范圍;(2)求|PA| |PQ|的最大化 1139斛析 (1)由感思可知A 2, 4 ， B 2，4 ,、口213設 P(xp, - xP), -2<xP<2,-xP + 141 .所以 k= = xp + 2C (-1,1),xP + 2故直線AP的斜率k的取值范圍是（1,1）.(4分)一11(2)直線 AP: y= kx+ 2k 4,0,直線BQ:11可知,=0,y= kx+ 2k 4 聯(lián)乂c c93x+ ky+ 4k- 2點Q的橫坐標為xq=3

27、- 4kk2八2k2+2 , (5 刀)|PQ|=U1 + k2 (xq- xp)+ k-2t2 3 4k k2 =.1 + * 2k2 + 2k-121+k 八二 Fk(6 分) |PA|= W + k2 xp+2 =1 + k2(1-k), (7分) 所以 |PA|PQ|=(1 k)3(1 + k), (8 分) 令 f(x) = (1 x)3(1+x), - 1<x<1,則 f (x) = (1x)2( 2 4x) = 2(1x)2(2x+ 1),1.當一1<x<2時，f (x)>0, ,1當一2<x<1 時，f (x)<0,一 ,1 1,

28、、一，故f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，在 2，1上單調(diào)遞減.127故 f(x)max=f 2 =16，27.即|PA| |PQ|的最大值為27.(12分)21. (12 分)已知函數(shù) f(x) = (mx2 x+m)e x(mC R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；當m>0時，證明：不等式f(x)&m在0, 1 +工上包成立. x ' m解析 (1)由題意得 f' (x)=mx(m+1)(x1)ex, (1 分) 當 m=0 時，則 f' (x) = (x 1)e x, 令 f' (x)>0 時，貝U x>1；令 f' (x)&l

29、t;0,貝Ux<1.；f(x)在(oo, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +oo)上單調(diào)遞增.(2分)當m<0時,令 f' (x)<0,貝U 1 + m<x<1;令 f' (x)>0,貝Ux<1+m或 x>1.；f(x)在一°°, 1+m和(1, +oo)上單調(diào)遞增，在1+, 1上單調(diào)遞減.(3分)當 m>0 時，令 f' (x)<0,貝U x<1 或 x>1 +m;令 f' (x)>0,貝U 1<x<1+m.,一 1 1 , f(x)在(8 , 1)和1+m

30、, + 00上單調(diào)遞減，在1, 1+m上單調(diào)遞增.(4分)，.、一1 ，、由(1)知當m>0時，f(x)在(0,1上單調(diào)遞減，在1, 1 + m上單調(diào)遞增，w 廠-心I -、 mx2-x+ m m/+m m x+ 1 個八、當 xC (0,1時，f(x) = -<<x , (5 分)ee e記 i(x) = xJ1,則 i' (x) =x,當 xC (0,1時，i' (x)<0 eei(x)在(0,1上單調(diào)遞減，i(x)<i(0) = 1,. .當 xC(0,1時，f(x)<m x t1 <m<m. e x當 xC 1, 1+1

31、時，f(x)wf 1+： =(2m+1) e 1+1 , m mk：；.。分) mmm xm十 1下面證明(2m+1)e 1 + 1 0旦7， m m+1一一 111 八即證 e1 + m> 1 + m 2 + m , (8 分)令 g(x) = ex x(x+ 1), x>1,則 g' (x)=ex(2x+1),令 h(x) = ex (2x+ 1), x>1,貝U h' (x)=ex2>0,.h(x) = g' (x)在(1, +oo)上單調(diào)遞增，且 g' (1)=e 3<0,33g 2=e24>0,3.一 存在xo 1, 2 ,使行g (x0) = 0,即exo (2xo+1) = 0,當 xC(1, xo)時，g，(x)<0,當 xC xo, 3 時，g' (x)>0,3 .一一 ,一 g(x)在(1, xo)上單調(diào)遞減，在xo, 2上單調(diào)遞增，2212,5 , g(x)min g(xo) exo xo xoxo+ xo+ 1xo 2 + 4>°， 當 x>1 時，g(x)=exx(x+ 1)>o, 即 ex>x(