高中數(shù)學新課向量教案

1、課 題：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學目的：要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式能用所學知識解決有關綜合問題.教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1 .兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA = a, OB = b，則/ aob=。（ow 9 < 兀）叫a與b的夾角.2 .平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是0 ,則數(shù)量|a |b |cos訓5與b的數(shù)量積，記作a b ,

2、即有a b = |a |b |cos6,（OW 0 < u ）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為 0*3 .向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b |cose的乘積.4 .兩個向量的數(shù)量積的性質：設3、b為兩個非零向量，8是與b同向的單位向量.1 e a = a e =| a |cosu； 2 a _b :二 a b = 03智a與b同向時，a b = |a |b |；當a與b反向時，a b = -|a 11b| 特別的 a a = | a |2或 | a |二 Ja aa b4rCose = ； 5a b| w |a|b| |a|b|5.平面向量數(shù)量積的運算

3、律K“ 膂I。)交換律：a b = b ' aS.(工r,/數(shù)乘結合律：( a) b = (a b ) = a ( b )音 f >_o i)分配律：(a + b)c = a c + b c二、講解新課：1 .平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量 a = (x1, y1), b = (x2, y2)，試用a和b的坐標表示a b.設是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么_A*_a =x1i + 0 j , b = x2i + y2 j所以 a b =(x1i 必 j)(x2i y?j) =xM2 xi j x2%i jy*j2又=1 , j- j=i,j= j-= 0

4、所以 a b =x1x2 V1V2這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和*即 a b =x1x2 yiy22 .平面內兩點間的距離公式(1)設 a* = (x, y),則 | 5|2 = x2 + y2或 |5|= Jx2 + y2 .(2)如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2, y?)，那么| a尸J(x1 -x2)2 +(y1 -y?)2 (平面內兩點間的距離公式)3 .向量垂直的判定設 a = (x1, y1) , b =(x2 ,y2),則 a _L b u x1x2 +y1y2 =04.兩向量夾角的余弦（0 M日Wn ）a b8sl =

5、|a| |b|Xi x2必 y22222Xi % x 2y2三、講解范例:設 a =（5, 口）, b=(-6, -4),求 a b解:a b = 5X(-6) + (-7)X() = 40 + 28 = -2已知 a(1,2), b (2, 3), C(2, 5),求證： ABC是直角三角形.證明： AB =(2 -1,3-2) = (1,1), AC = (-21,5-2) = (-3, 3)AB AC =1X(4) + 1X3 = 0AB_LAC.ABC是直角三角形已知a =(3, _i), b =(i, 2),求滿足 x a = 9與xb = m的向量x.解:設 x = (t, s),

6、x a = 9由- 二x b = -43t -s =9 t +2s= -4 rt =2-x= (2, -3) s = 3.已知a=(i, J3), b=(J3+i, J31),則a與b的夾角是多分析：為求a與b夾角，需先求a，b及| a I I bl,再結合夾角0的范圍確定其值.J3), b =( V3 + 1, V3- D 1 + 33 ( V3 1) = 4 , |記a與b的夾角為JI 0 =一4評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定例5如圖，以原點和A (5, 2)為頂點作等腰直角 ABC,使Nb = 90 求點b和向量AB的坐標.解：設 b 點坐標(x, y),則 OB=

7、(x y), AB = (x-5, y-2)OB J_ ABx(x-5) + y(y-2) = 0 即：x2 + y2 _5x _ 2y = 0又|OB| = |AB|x2 + y2 = (xW)2 + (y2)2 即：10x + 4y = 292 2.2_x +y 5x 2y =0r10x+4y =29x13x2 - 27 “2. , , ,一 73、3 71- b 點坐標(,-)或(一,一)；222 2AB = (-|-2)(-1|)例6在4ABC中，AB=(2, 3), AC =(1, k),且 ABC的一個內角為直角,求k值.3解：當 a = 90 W, AB AC = 0,2X1 +

8、3 x k = 0 . . k = -2當b = 90 時，AB BC = 0, BC = AC-AB = (1-2, k3) = (-1, k-3)112X(1) +3X(k-3) = 0 k =33 二 13當 C= 90 對，AC BC = 0,-1 + k(k3 = 0 k =2四、課堂練習：1 .若 a=(-4,3), b =(5,6),則 31a| 24 A b =()A.23B.57C63D.832 .已知 5(1,2), b (2,3), C(-2,5),則4 Ab 土為()A.直角三角形B.銳角三角形C鈍角三角形D.不等邊三角形3 .已知a =(4,3),向量b是垂直a的單位

9、向量，則b等于()B.D.4.a =(2,3), b =(-2,4),則(a + b)(a- b )=fl 3 4、_ 4 3A (,)或(，)5 55 53 4、_/ 4 3、(_,_)(_,一)5 55 55.6.已知3(3,2), b (-1 ,-1),若點F(x,-)在線段ab的中垂線上，則x=2已知 a (1 , 0), b(3, 1), C(2, 0),且 a=BC, b=CA,則 a與 b 的夾角參考答案：1.D 2. A 3.D 4.-7 5. 7 6.45 :4五、小結兩向量數(shù)量積的坐標表示長度、夾角、垂直的坐標表示六、課后作業(yè)：1.已知 a =(2,3),b =(-4,7)

10、,則a在b方向上的投影為(A. J313B.5P .65C.5D. . 652.已知a =(入，2), b =(-3,5)且a與b的夾角為鈍角，則入的取值范圍是()“10A.入 > 3B.入>1°人才33.給定兩個向量a=(3,4),b=(2,-i)且(a+xb )，( a - b ),則 x等于()A.23B.232C. 2334 .已知| a> 而,b =(1,2)且a / b ,則5的坐標為5.已知a =(1,2),b (1,1), c = b-ka,若ca,則c =6.已知a =(3,0),b =(k,5)且a與b的夾角為7.已知a =(3,-1),b =(

11、1,2),求滿足條件x - 2=9與*b =-4的向量x.8.已知點A(1 , 2)和B(4, -1),問能否在y軸上找到一點 C,使/ ABC= 90° ,若不能，說明理由；若能，求C點坐標.9.四邊形 ABCD 中= AB(6,1),BC=(x,y) , CD =(-2,-3),若BC / DA ,求x與y間的,關系式:(2)滿足問的同時又有 AC ± BD ,求x,y的值及四邊形 ABC D的面積.參考答案：1. C 2. A 3. C 4. ( J2 , 2 72)或(- 2 72)一 215.( -,)6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)5 5x = -6 r x = 29.(1) x+2y=0 (2) 或，S四邊形ABCD=16J=3) = -1七、板書設計(略)八、課后記及備用資料：已知 a = (3, 4), b = ( 4, 3),求 x,y 的值使(xa +yb )，a ,且 I xa +yb |=1.分析：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想解：由 a = (3, 4), b = (4, 3),有 xa+y b =(3x+4y,4x+3y)又(xa+yb) Lay (x a +yb) a = Ou 3(3x+4y)+4(4 x+3y)=0即 25x+24y= 0一, 一,.,2