立體幾何中的向量方法

1、課題：選修（2-1 ） 3.2立體幾何中的向量方法（教學(xué)設(shè)計） 三維目標：1、知識與技能（1）在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念；（2） 能由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運算來判斷或證明直線、平面的位置關(guān)系;（3）理解運用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運算來解決關(guān)于直線、平面的夾角及距離的 問題的方法（主要是關(guān)于角的問題）；（4）能初步利用向量知識解決相關(guān)的實際問題及綜合問題。2、過程與方法（1）在初步運用向量解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生對向量進行系統(tǒng)的運用，從而全面掌握立體幾何的向量方法；（2）通過探究立體幾何中的向量方法，并進行針對性地運用，體會向量這個重

2、要的數(shù)學(xué)工具的強大和 廣泛的作用，從而為進一步解決更加廣泛的問題打好基礎(chǔ)；（3）通過向量方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，進一步認識重要的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、類比 思想等等）。3、情態(tài)與價值觀（1）通過對立體幾何中的向量方法的探究和運用，進一步培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2 ）通過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，滲透更廣泛地育人思想，使學(xué)生進一步認識 學(xué)習(xí)的本質(zhì)，有利于形成正確的人生觀和價值觀；（3）通過各種形象而具體的問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇

3、于探索的精神， 勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。 體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。教學(xué)重點：立體幾何中的向量方法教學(xué)難點：立體幾何中的向量方法的靈活準確及恰當運用。教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法： 合作探究、分層推進教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸科學(xué)導(dǎo)入：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識，并利用空間向量初步解決了一些立體幾 何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會到了向量 運算的強大作用。這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運用，較系統(tǒng)地總結(jié)出 立體幾何的向量方法。為此，首先簡單回顧一下相關(guān)的基本知識和方法：1.

4、 直線I的方向向量的含義：2 向量的特殊關(guān)系及夾角（最后的填空是用坐標表示）（1） a/b= = ；（2） a丄 b：二 :二 ；（3） a a=（4）cosv a,b>=。二、創(chuàng)設(shè)情境合作探究：前面，我們主要是利用向量的運算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問題，如：兩直線垂 直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長的問題等等若再加入平面，會出現(xiàn)更多的的問題，如：線面、面面的位置關(guān)系問題；線面的夾角 問題；二面角的問題等等而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識怎 樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關(guān)的問題，平面又由怎樣的向量來 確定呢？這些問題就是我們將要探究或解決的主

5、要問題同學(xué)們都知道：垂直于同一條直線的兩個平面。由此我們應(yīng)該會想象出怎樣的向量可確定平面的方向了 下面請同學(xué)們合作探究 一下這方面的知識和方法：（一）.平面的法向量：（二）直線、平面的幾種重要的位置關(guān)系的充要條件：請同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾設(shè)直線l ,m的方向向量分別為a ， b ，平面，：的法向量分別為u ，v，則:l / m =:l 丄 m uu:l /:l 丄 a =:：二 / - u種特殊的位置關(guān)系的充要條件（用直線的方向向量或平面的法向量來表達）【小試牛刀】1設(shè)直線l , m的方向向量分別為a ， b，根據(jù)下列條件判斷直線l , m的位

6、置關(guān)系:（1） a= a=（2，-1，-2），b = （6，-3，-6）；求證：0F _平面ADE.（1，2，-2 ），= （-2，3，2 ）；（3）a =（0， 0， 1），b =（0，0，-3 ）o2.平面，1的法向量分別為$乜u ，v，根據(jù)下列條件判斷平面，：的位置關(guān)系:（1）u =（-2，2，5），v =（6，-4，4）；（2）u =（1，2，-2），v =（-2，-4，4 ）；（3）u =（2，-3，5），v =（-3 ， 1， -4 ）。3.如圖，在正方體 ABCD -B1C1 D1中，E、F分別是BB1、CD的中占I 八、：（你能用幾種方法呢？）（三）利用向量方法證明一一平面與平

7、面平行的判定定理【定理】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行已知：直線l , m和平面：，一：，其中l(wèi) , m二：二，l與m相交，l / 一： , m / 一：，求證： /【分析】根據(jù)：/：= u / v ，所以只要證明u / V 即可，那需要證明u，V 都是平面:的法向量【證明】設(shè)直線l , m的方向向量分別為，I/ ，平面 ， 的法向量分別為 U , V（下面留給同學(xué)們嘍）【點評】向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題 -（2）進行向量運算 -（3）翻譯 向量運算結(jié)果，回到圖形問題.i三、互動達標-關(guān)于兩特殊點間距離的問題此類問題前面已經(jīng)接觸過，下面再來總結(jié)及拓展一

8、下：問題.1如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體 ,其中頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角 都是60° ,那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)前面所學(xué)的方法，可將 AC,用與棱相關(guān)的向量表示出來，通過運算求解_BD1解析】AB 二 AA, = AD = 1， BAD 二 BAA DAA 60a1 .因為 AC, = AB AD AA,/-z-22DAC,二（AB AD AA,）2.2 p 2 r 2 p p 二 AB AD AA 2(AB AD AB AAAD AAJ1112(cos60 cos60 cos60 ) = 6所以I ACi卜；6

9、這個晶體的對角線的長是棱長的 ,6倍【點評】遇到空間兩點間的距離問題，往往把兩點間的距離表示為以這兩點為起點和終點的向量的模。然后把向量進行恰當?shù)姆纸?，運用向量 u的模滿足的關(guān)系式：* 2 - 2u *u =|u |來進行針對性地運算和求解【探究】1. 本題中平行六面體的另一條對角線的長與棱長有什么關(guān)系？2. 如果一個平行六面體的各棱長都相等 ，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都是等于：，那么由這個平行六面體的對角線長可以確定棱長嗎？3. 本題的晶體中相對的兩個面之間的距離是多少 ？【分析】顯然，第1個問題與問題.1類似；第2個問題是 問題.1的逆向問題，所列的式子應(yīng)該是一樣的，只不過未知數(shù)

10、的位置不同；第3個問題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個面之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離或點到面的距離一一對于這個問題，同學(xué)們可在課后先探究一下，以后在進行總結(jié)下面我們再來看一個問題.1的逆向問題：問題.2如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線丨(庫底與水的距離 AC和BD分別為a和b ,CD的長為c, AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余壩的交線) 弦值?！痉治觥空缟厦娴姆治觯祟}是 問題.1的逆向問題，解決方法與 問題.1 一致【解析】AC 二a，BD 二 b，CD 二 c，AB 二 d.根據(jù)向量的加法法則AB 二 AC CD DBd 2 二 AB 2 = (AC C

11、D DB )22 2 2 二 AB CD BD 2(AC CDa2 c2 b2a2 c2 b22 AC DB2CA DB于是得到2CA D=a2b2c2 d2設(shè)向量CA與DB夾角為r ,就是庫底與水壩所成二面角。2abcos 二 a2 b2 c2 - d2因此COSd所以b22ab庫底與水壩所成二面角的余弦值為a2 b2c22ab【點評】由此可體會解決一類數(shù)學(xué)問題的方法，從而以靜制動，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方 法應(yīng)用的本質(zhì)?！咎骄俊?.本題中如果AC和BD夾角可以測出，而 AB未知，其他條件不變，可以計算出 AB的長嗎？（通過課本第10 7頁的第2題體會一下即可）2. 如果已知一個四棱柱的各棱長和一條

12、對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？3 如果已知一個四棱柱的各棱長都等于a，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于r，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？【分析】顯然，第1個問題又回到了問題.1的形式；第2、3個問題是問題.1的逆向問題， 但第3個問題又是略有挑戰(zhàn)性，需要通過做輔助線構(gòu)出 問題.2的圖形模式對于這個問 題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進行總結(jié)flA關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的論證及夾角問題問題.3如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD丄底面ABCD，PD=DC，E 是PC的中點，作

13、 EF丄PB交PB于點F。（1）求證：PA /平面EDB ;（2）求證：PB丄平面EFD ;（3）求二面角C PB D的大小?！痉治觥看祟}包括：判定直線與平面平行和垂直及計算二面角的大小一一均可用向量方法來解決。題目中的垂直條件非常適合建立空間直角坐標系來表示向量。【解析】（1）證明：連接AC，AC交BD于點G，連結(jié)EG。1 1依題意得 A （1，0，0），P （0，0，1），E （0，一）。2 21 1因為底面ABCD是正方形，所以點 G是此正方形的中心，故點 G的坐標為G （，0），2 2一 一 11 一且 PA=(1, 0 1), EG= (, 0)所以 PA = 2EG,即卩 PA /

14、 EG22而EG二平面EDB，且PA二平面EDB,因此PA /平面 EDB依題意得 B (1 , 1 , 0), PB= ( 1, 1， 1)1 11 1又 DE =(0,),故 PB * DE =0+-=02 22 2所以PB丄DE由已知 EF丄PB。且EF ' DE=E所以PB丄平面 EFD已知PB丄EF,由(2)知PB丄DE，故/ EFD是二面角 C-PB-D的平面角。設(shè)點F的坐標為（x, y,z），則PF=（x,y,z-1）因為 PF = kPB所以(x, y,z -1)=k( 1,1,-1)即 x = k, y = k, z = 1 - k因為 PB *DF =0所以(1,1

15、,一1)(k,k,1 k)二 k k k -1=011 1 2所以k =，點f坐標為（，一，一）33 3 31 1*1 1 1又點E的坐標為（0,）所以FE =（，,）2 23 66因為cos EFDFE *FDFE FD(36 6) ( 3, 3, 31V6 16236所以/ EFD=60，即二面角 C-PB-D的平面角的大小為 60 °?！军c評】此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點問題。通過解決過程來看，若條件適合建立空間坐標系，建系表示向量來解決問題還是較簡潔的轉(zhuǎn)化為目標明確的坐標運（2）同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點，便于解決問題時能恰當選擇方法可大體上

16、分為三種方法：傳統(tǒng)法；向量法；坐標向量法。當然也可把這三種方法結(jié)合起來使用直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢?同學(xué)們可借助此題的背景來求直線 PA與平面PBC所成角:關(guān)于點到平面的距離問題利用問題.3的條件(PD=DC改為PD=DC= a )求出點A到平面PBC的距離一一總結(jié)出點到平面的距離的求法：A關(guān)于實際冋題問題4一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為500kg，在它的頂點處分別受力 F1, F2 , F3，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60；，且Fj |F2| |F3 =200kg,這塊鋼板在這些力的作用下將怎樣運動？這三個力是多少時，才能提起這塊鋼板？【分析】鋼板所受重力為5

17、00kg ,垂直向下作用在三角形的中心 O.若能將各頂點處所受的500kg力F1, F2, F3用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運動狀態(tài) 【解析】解：以點A為原點，平面 ABC為xAy坐標平面，AB方向為y軸正方向， | AB |為y軸的單位長度，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則正三角形的頂點坐標分別；31為 A(0,0,0), B(0,1,0)C(- , ,0)2 2設(shè)力R方向上的單位向量坐標為(x, y, z)由于F1與AB, AC的夾角均為60°，利用向量的數(shù)量積運算，得= (x, y, z) *0,1,0)O 1cos 6020 1cos602由得x =a/3 1= (

18、x, y, z)(<-,0)2 2112 2 2,y 因為(x, y, z)為單位向量，x2y2 z 1，因此z122.2F1=200 (：12,2，2)同理 F2 =200( 一:三廠 2)F3=200 仁 3,o八 2)12233 3/ 1 1F1+ F2 + F3=200 (2.122-.3)+200(_2 1If ,卅)+200 (- 12 2 ；3=200( 0,0 . 6)這說明，作用在鋼板上合力方向向上，大小為 200 6，作用點為O所以由于200 .6 <500，所以鋼板仍靜止不動。要提起這塊鋼板，設(shè)三個力大小均為x，則.6x . 500,解的x . 500因此，要

19、提起這塊鋼板，三力大小均要大于500。Q6【點評】此題是力的合成問題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示四、思悟小結(jié)：知識線：(1 )平面的法向量；(2 )用直線的方向向量和平面的法向量判斷直線、平面的位置關(guān)系的幾個結(jié)論。思想方法線：(1) 向量法與坐標法；(2 )等價轉(zhuǎn)化思想；(3 )數(shù)形結(jié)合思想；題目線：(1)關(guān)于兩特殊點的距離及拓展問題；(2)關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的判斷與論證問題;(3)關(guān)于夾角問題;(4)關(guān)于簡單的距離問題;(5)關(guān)于實際問題及綜合問題。五、針對訓(xùn)練鞏固提高：1.(1)設(shè)平面:的法向量為(1,2,-2),平面1的法向

20、量為(-2,-4,k), 若:-ir-，貝U k=；若丄：，貝U k=(2)若I的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,-,2),若I丄，則m.；若l2 I -，貝U m =亠2.如圖，已知線段 AB在平面a內(nèi)，線段AC _，線段BD丄AB，線 段 DD 1丨二，.DBD ' =30：，如果 AB= a，AC = BD = b，求 C、D 間的距離.或：一個矩形 ABCD，AB=3,CD=4,以BD為棱折成直二面角， 求A、 C之間的距離。3. (1)如圖，空間四邊形 ABCD的每條邊和AC,BD的長都等于a,點M , N分別是AB, CD的中點,求證：MN丄AB , MN丄CD .(2)如圖，已知正方體