二次函數(shù)根和系數(shù)關(guān)系

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，它是由16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的它揭示了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡(jiǎn)單但內(nèi)涵 豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.【知識(shí)要點(diǎn)】bc空.、r YXi + X,=-巧陽(yáng)1如果方程.；.：J.； -I I （a0）的兩根為 二，二，那么二，二，這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2如果兩個(gè)數(shù)的和為m,積為n,則以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為qx -m+w = 0 3若已知一元二次方程的一個(gè)根，可不直接解原方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出另一根.4.求一元二次方程根的對(duì)稱式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩根積表示所給對(duì)稱式.cr T

2、= - 0 X1巧=一0程有一正一負(fù)根；（2）若,一；，則方程有兩個(gè)正根；（3）若Xj += - - 0乳內(nèi)=_0Ja,a ,則方程有兩個(gè)負(fù)根.【趨勢(shì)預(yù)測(cè)】利用根與系數(shù)關(guān)系，可以解決許多有關(guān)方程的問題，有些非方程類的問題我們也可以通過 根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，然后用一元二次方程的知識(shí)來解因此預(yù)測(cè)以后競(jìng)賽的 重點(diǎn)在以下幾個(gè)方面：1求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；2求代數(shù)式的值；3結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；4構(gòu)造一元二次方程解題；5證明代數(shù)等式，不等式；6與一元二次方程的整數(shù)根有關(guān)的問題.【范例解讀】 題1 （1997陜西）已知二次方程: J （acz 0）有兩異號(hào)實(shí)根m和n,且mn

3、,| _那么，二次方程的根的情況是（）（A）有兩個(gè)負(fù)根（B）有兩個(gè)正根（C）兩根異號(hào)（D）無實(shí)數(shù)根2分析 首先考慮方程. 二一的判別式的符號(hào)如果由判別式符號(hào)確定方程 有實(shí)根，還要通過根與系數(shù)關(guān)系來確定兩根的正負(fù)號(hào). 解/m,n異號(hào)且mn, = - 0 m0,從而丄 ，：一二II.方程7一 的判別式：J = a2+ 4ac = o Qn- )2+ = a3w)3 0a T二二 一 必有兩實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為，則由根與系數(shù)關(guān)系得=-(nm)(0 XiXo= 0r rc,c，可知勺，巾均為負(fù)數(shù)，故選(A).題2(1997上海)若a和b是方程 ”-的兩個(gè)實(shí)根，c和d是方程：- 的兩個(gè)實(shí)根，e和f是方程

4、4；;/4=廠的兩個(gè)實(shí)根，則(a -c) - c) +d)(b+ d)它 T的值為_.分析 由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q, * -，將(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展開，把上列數(shù)值代入，可得所求值但若全部展開，結(jié)果很繁，因此 考慮局部展開，分步代入.解由方程根與系數(shù)關(guān)系得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,一 匚 ，貝U(a f)(占 c)(a+ 出)(0 +出)(山必ad - be - cd)(ab +bd - ac -cd)(3 + ad - be -3)(3+ bd -ac-3) (ad - bc)(bd -

5、ac)八f它+ fabd2- a2cd -bcd + abc2_ 3(d2- a2-b1+ c2) e+fe +/30 +d)2 _2刃 _(”3)2 +2ab _3(4_4才).卜+/2(p2q2)題3(1996祖沖之杯)已知a,3是方程11_ 1的兩根，a B,不解方程，求的值.分析 待求式中a,B是不對(duì)稱的，但根與系數(shù)的關(guān)系具有對(duì)稱性，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與待求 式相對(duì)應(yīng)的代數(shù)式一起輔助解決問題.解由根與系數(shù)的關(guān)系得a + 3 =7,a 3=8,- “一：.-,因a 3,故，：匕一J.題4（2000江蘇）已知_：_ -，其中m,n為實(shí)數(shù)，則分析 根據(jù)兩個(gè)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可作恰當(dāng)?shù)淖冃?，使兩個(gè)方

6、程具有相同的結(jié)構(gòu)把兩個(gè)變 元看成關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來求值.解由已知等式可變形成由于m,；.的關(guān)系沒有給定，故應(yīng)分兩種情況:記令一3,從而A+B = 22（口+ ZTi -a32 x? r宀3=+3x33= 10084?+ 3（護(hù)-/） =+ 3（G+ QC5 -）aff8（小）+ （心）1A-B = 21m =當(dāng) 時(shí),11附 H 、當(dāng)J.時(shí)，可知m,尸是方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)關(guān)系1215/? + = 衢一=-一得 一1 ,. j-1m =.111m十一-Am- =I224冥f51=8nVn 3丿3翊_ 一=u -綜合，得月 或3 題5(1996江蘇)設(shè)-J.-.

7、- ； 11的兩個(gè)實(shí)根為a,3,求以丁，匸為根的一元二次方程；(2)若以丁，為根的一元二次方程仍是 ； = 11，求所有這樣的一元二次方程. 分析 根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系求.和的值，由此即可作出新方程；根據(jù)新方程的一次項(xiàng)系數(shù)等于-p，常數(shù)項(xiàng)等于q,可求得p,q的值.解 由根與系數(shù)關(guān)系得a +3=p,a 3=q,./, -Ft所求方程是，匚.二 一一:-II;PH J ,-Ot220q01 :一I根據(jù)七種情況的值依次得以下七個(gè)方程：X2= 0 , x2-x = 0 , xa+J=0 , z3+1 = 0 , z1-2T+1=0 , i3+2x+l = 0 ,-1 -11 其中僅J + 1 I無實(shí)數(shù)

8、根，舍去故所有這樣的一元二次方程有六個(gè)，分別為：.T-，“ ?： -II，丨一， 二 T -，I - H ,“ -II (2)由題意得則題6（2000全國(guó)）設(shè)關(guān)于x的二次方程I匚 /I匚丨- 的兩根都是整數(shù)求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.分析根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可先用十字相乘法求出方程兩根，然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法 先消去是求得兩根后，再求出是的值.解原方程可化為優(yōu)-4）伙-2）只 +（2k2-氏-4）兀-（上-2）（上 +2） = 0. （k-4）（k-2）豐0,二解得方程兩根為k2=-1-2- 兀t + 2一4=- =- -上-4. -,k-2k-2k-A -2k2 = 4壬d碼+1乃+1由于

9、都是整數(shù)，故212-T2-2-5-410對(duì)應(yīng)的k的值分別為6,3,.【方法指引】1.構(gòu)造對(duì)偶式法.對(duì)一個(gè)已知代數(shù)式或一個(gè)已知命題，我們構(gòu)造一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)式或?qū)?yīng)的命題，然后一起參與運(yùn)算（通常是加、減、乘、除），從而使問題獲得巧解.這種方法稱為構(gòu)造對(duì)偶式法.常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配對(duì)等.2.解一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：（1）直接求解法.若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除性求解.（2）利用判別式法.在二次方程有根的前提下通過判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉法 討論，不等式分析求解.運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系.由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中

10、消去 待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解.（4）巧換主元法.若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難時(shí)，可選擇換主元的方法，結(jié)合整除知識(shí)求 解. b【綜合能力訓(xùn)練】ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程一T：,：_：一的兩根，那么m的取值范圍是_ .2.設(shè)二，邊是方程廠丄 T.：J -的兩實(shí)根，且1- . ，則k的值是()(A)-3或1(B)-31(C)1(D)不小于1的一切實(shí)數(shù)兀2=0八亠3.若方程一的兩根為a,3，它也是方程? J=的兩個(gè)根，貝y p=_.a4.若abz 1,且有- /及+ 1二二-則L的值是()95.2001.2001(A) 1(B)(C)I(D)5.在RtABC中，/C=90，若

11、sinA和sinB是方程- I的兩根，求/A和/B的度數(shù)及k的值.6.求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程-11的根都是整 數(shù)。傅購(gòu)毘住業(yè)亙環(huán)負(fù)筲臭丄衛(wèi)上.參考答案【綜合能力訓(xùn)練】 bab = -1.設(shè)另外兩邊長(zhǎng)為a、b,則：-J - ：,一，因?yàn)閍,b是實(shí)數(shù)，所以 ,即(-12)2-4x2畑川，.泌18.由三角形兩邊之差小于第三邊，有ab= J + b*- 4處=J362m 5 ,36-2以25,，故m的取值范圍為。2. 由根與系數(shù)關(guān)系得 F- /, 而（五+1）（忑2+1）=楓 +（無 +乃）十1=疋 +2十2（k+1） +1 = H +2 + 5.由題意得解得一，二一 。而當(dāng) -時(shí)，_I,無實(shí)數(shù)根，舍去；當(dāng)- 1時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和3。故選（C）。 屮 一和一.42由工：二是方程p : “的兩根，得J 二八J:|）,y I；.; _丨丨 兩式相減，得 廠-（去+護(hù)戸血-4。4.原式可變形為54+ 20011 + 9 = 0口工丄滬b，又必即b,a,是方程1-的兩根。故選（A）。5.由根與系數(shù)關(guān)系，得2的兩根得3.由叢B是方程sinJ4+ sin .5 =2rsin 4 sin= 一上于是有sinA + cos A =忑sinA - cosA = -kk由、式知7