用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版選修45不等式選講課題：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教學(xué)目標(biāo)：1、牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過程。2、通過事例，學(xué)生掌握運用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式的思想方法。3、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運算能力和分析問題，解決問題的能力。重點、 難點：1、鞏固對數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過程，以及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路。2、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇和解題技巧。教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：1、上節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法及運用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請同學(xué)們回顧，說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？（1）數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有

2、關(guān)的命題的一種方法。（2）步驟：1）歸納奠基;2）歸納遞推。2、作業(yè)講評：（出示小黑板）習(xí)題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2+4+6+8+2n=n(n+1)如采用下面的證法，對嗎？證明：當(dāng)n=1時，左邊=2=右邊，則等式成立。假設(shè)n=k時，（kN，k1）等式成立，即2+4+6+8+2k=k(k+1)當(dāng)n=k+1時，2+4+6+8+2k+2(k+1) n=k+1時，等式成立。由可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都成立。（1）學(xué)生思考討論。（2）師生總結(jié)： 1）不正確2）因為在證明n=k+1時，未用到歸納假設(shè)，直接用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)：遞推性。二、新知探究明確了數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)，我們共同討論如

3、何用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。(出示小黑板)例1 觀察下面兩個數(shù)列，從第幾項起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。an=n2:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2n:2,4,8,16,32,64,128,256,512, （1）學(xué)生觀察思考（2）師生分析（3）解：從第5項起，an bn ，即 n2n,nN+（n5）?你能說出證明中每一步的理由嗎？證明：（1）當(dāng)n=5時，有5225，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k5）時命題成立即k22k當(dāng)n=k+1時，因為（k+1）2=k2+2k+1k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2k222k=2k+1所以，（k+1）22k+1即n=k+1

4、時，命題成立。由（1）（2）可知n2n（nN+，n5）學(xué)生思考、小組討論：放縮技巧：k2+2k+1k2+2k+k；k2+3kk2+k2歸納假設(shè)：2k222k例2 證明不等式Sin nnSin(nN+)分析：這是一個涉及正整數(shù)n的三角函數(shù)問題，又與絕對值有關(guān)，在證明遞推關(guān)系時，應(yīng)注意利用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕對值不等式。證明：（1）當(dāng)n=1時，上式左邊=Sin=右邊，不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時命題成立，即有Sin kkSin當(dāng)n=k+1時，?你能說出證明中每一步的理由嗎？Sin （k+1）=Sin kCos+Cos kSin Sin kCos+Cos kSin =Sin kCos+Co

5、s kSin Sin k+Sin kSin+Sin =（k+1）Sin所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立。學(xué)生思考、小組討論：絕對值不等式: a+b a+b三角函數(shù)的有界性：Sin1,Cos1三角函數(shù)的兩角和公式。（板書）例3 證明貝努力（Bernoulli）不等式:如果x是實數(shù)且x-1，x0,n為大于1的自然數(shù)，那么有（1+x）n1+nx分析：貝努力不等式中涉幾個字母？（兩個：x,n）哪個字母與自然數(shù)有關(guān)？ (n是大于1的自然是數(shù))（板書）證：（1）當(dāng)n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x20，則原不等式成立（在這里，

6、一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊右邊，關(guān)鍵在于x20是由已知條件x0獲得，為下面證明做鋪墊）（2）假設(shè)n=k時（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）k+11+（k+1）x，請同學(xué)考慮生：因為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運用歸納假設(shè)，所以當(dāng)n=k+1時應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因為x-1（已知），所以1+x0于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x顯然，上式中“=”不成立故只需證：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x提問：

7、證明不等式的基本方法有哪些？生：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法（提問的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運用歸納假設(shè)的同時，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）生：證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比較法（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，則x20）所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x生：也可采用綜合法的放縮技巧（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2因為kx20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+

8、x）1+（1+k）x成立生：（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時引導(dǎo)總結(jié)）師：這些方法，哪種更簡便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫（板書）將例3的格式完整規(guī)范證明：（1）當(dāng)n=2時，由x0得 （1+x）2=1+2x+x21+2x,不等式成立。（2）假設(shè)n=k（k2）時，不等式成立，即有（1+x）k1+kx當(dāng)n=k+1時，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx21+x+kx=1+（k+1）x所以當(dāng)n=k+1時，不等式成立由可知，貝努力不等式成立。（通過例題的講解，在第二步證明過程中，通常要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化目的）三、課堂小結(jié)1用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好