專題七代數(shù)證明

1、專題七代數(shù)證明、考綱要求:知識要求：函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等與代數(shù)證明有關的多個知識點。能力要求：會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會用類比、歸 納和演繹進行推理；能合乎邏輯地、準確地進行表述。二、考點解讀：代數(shù)推理問題綜合了函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等多個知識點，需要采用多種數(shù)學思想 方法才能解決問題，如函數(shù)方程思想、化歸思想、分類討論思想、邏輯推理思想等，是對思 維品質及論述水平的全面性考查；能彌補選擇題、填空題、簡答題的不足，是提高區(qū)分度， 增加選拔功能的重要題型。在適當降低了對立體幾何邏輯推理能力考查的力度后，代數(shù)推理 問題自然而然地承擔了考查考生邏輯推理能力的重任

2、，并且作為壓軸題出現(xiàn)在高考試卷中， 因而代數(shù)推理問題也就成為現(xiàn)在的高考熱點問題。解答代數(shù)推理問題有一定的規(guī)律可循，其一般思維過程分為三步：首先要領會題意一一弄清題目的條件是什么？結論是什么？如果條件和結論是用文字 表達的，把它翻譯成數(shù)學語言；其次要明確方向一一在審題的基礎上，運用數(shù)學思想方法，目的明確地對外來的和內在的信息進行提取、轉化、加工和傳輸，從而明確解題的目標和方向；最后要規(guī)范表達一一采用適當?shù)牟襟E，合乎邏輯地進行推理和運算，并正確的表述。除 此之外，還要注重心理訓練，尤其在解題的目標與條件之間跨度較大、較隱蔽時，必須多次 嘗試、探索，才能找到并實現(xiàn)解題目標。三、考題預測：預測題 1

3、定義在 R 上的函數(shù)f(x)滿足f(-x) =-f (x，4)，且f(x)在2,=上為增函數(shù)。已知x1x2: 4且(x1-2)(X2- 2)：0,則f(x1) f(x2)的值()A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能等于 0D. 可正也可負參考答案：不妨設捲- 2：0, x2- 2 0則x1: 2, x22, 2：x2：4 -捲，f (x2) f (4一Xr)，即一f (x2)乜f f (4一Xj)從而一f (x2)抵f f (4一xj = f (x1)f(Xi) f(X2)：0命題意圖與思路點撥：本題考查函數(shù)的單調性和對稱性等有關知識，考查了等價轉化思 想和推理論證能力。本題的關鍵是將和式

4、的符號判斷轉化為大小比較，再利用單調性達到目 的。預測題 2 定義在 R 上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x，都有f (x 3) 0)的兩個極值點，且|XI|+|X2|=2(1)證明:0aw1(2)證明:(3)若函數(shù) h(x)=f (x)-2a(x-xi),證明當 xix2 且 xi0 時,|h(x)|5、已知(2)設直線PQ的斜率為k，求證:k 2；6、集合 A 是由適合以下性質的函數(shù)f (x )構成的；對于任意的u,： (-1,1),且u,都有| f(u)-f()3u- |.(1)分別判斷函數(shù)fi(x) = “ x2及f2(x) =log2(x 1)是否在集合 A 中？并說明理由;(2) 設函

5、數(shù)f(x) = ax2bx,且f(x)A，試求2a+b的取值范圍；(3)在(2)的條件下，若f(2) =6，且對于滿足(2)的每個實數(shù) a,存在最小的實數(shù)使得當m,2時,f(x)匡6恒成立，試求用 a 表示 m 的表達式.專題七 代數(shù)證明訓練反饋參考答案1 解：據(jù)題意可設f(X)- X = (x - xj(x - X2)，貝y f (t) =(t - X)(t - X2) tf(t)X1= (t -Xi)(t -x2)t -X1= (t-為)住-x21)因為X2-X11,0 : t : X1所以t -X1: 0,t 1一x2：為1一x2：0,從而有(t -xj(t - x21)0. f (t)

6、 -0，即f(t) x1。2、證明：因為h（x）是二次函數(shù)，且定義域為 R,所以如果滿足條件的點存在,必異號，于是，把形的問題轉化成數(shù)的問題。22由已知f (m)二am bm c，g(n) - -an bn c,則23 a22a2=(am bm c m ) (_anbn c n )2 22a n : 02a 2a 2一一m +bm + c ii -n+ bn +c 1 2八 2)h(m)h( n)=則h(m)與h(n)3am23、解：（1）不妨設a _b _c，那么由題意知b e a,a b c=1得a a - a (b c)-1 所以 a：1，從而推知211、b，c。故命題成立。22(2)f

7、、nb +c=bn+cnbn+c2bn，b cni + +Cn!Cn2ncn=bn11II? 2因為n _ 2,則1112丿1 1,所以bn+cncj、2丿(3)不妨設a He，則由（2）可知器bn+cncb十衛(wèi)，同理得樂an+cn2又由（1）知a：,b：,則a b是1 Janbnnbncn-ncnan22nn：224、解：(1) f (x)=ax2+bx-a2xi,X2是方程 f (x)=0 的兩個實數(shù)根因為|u|：.i u2,| |：-i2,|u|u | | |.|xi|+|x2|=| xi-x2|=.b：4aV ab2=4a2-4a30- 0a i(2)由(i)知 b2w4a2-4a3(

8、 0a i )的最大值 二！627(3)f (x)=a(x-xi)(x-x2)h(x)= a(x-xi)(x-x2-2)335、解析：(i)由題意易知a = -i，所以f (x)二x -x b，而由于函數(shù)f (x)二xx為奇函數(shù)，其圖象關于原點成中心對稱，所以經過平移可知0,b成中心對稱圖形;(2)由題意可知k =yi_y2=Xi2XiX2X；-i由于xilx Li,i1,故可得Xi- X2-i - X2xix2x|2，則有k 2；(3)由題意并結合第(2)小題可知* -y2|:2為-x2=-2(捲一x2)又yi y?|蘭2 f(xj f (0) +| f (i) f(X2) c2Xi 0 +

9、 2X2 i = 2(Xi X2)+ 2由+得yiy2| i6、解:(I)fi(x) A; f2(x) A證明：任取u,： (-i,i)，且u，則bxi+X2=-一 xiX2= -a0a=2|h(x)|wa(X_Xr+ X_X2_2)2=2ag - Xi2)=4a43f(X)=X -x b的圖象關于點| fi(u) - fi()円i u2-：i2|u2二2|_| li u2J2|4、解：(1) f (x)=ax2+bx-a2xi,X2是方程 f (x)=0 的兩個實數(shù)根因為|u|：.i u2,| |：-i2,|u|u | | |.|u | |u - |、i u2、i2|所以|u+uZ|U7|1

10、所以，2彳2Q，| J u、1|所以，I fju) -仏：)|：|u -：|：3|u -：I，也即：fx) A;對于f2(x) =log2(x 1)，只需取u = -12- -12J,則| u -|：1,而| fu) - f,：) |=4 .3|u：|，所以，f2(x)，A.(II)因為f(x) = ax2bx屬于集合 A，所以，任取u,： (-1,1),且u，則3 | u -| | f (u) - f ( ) |=| (u - )(au a b) |也即：| au a：亠b匡3.設t = u亠，則上式化為：|at b |_ 3.因為u,：三(-1,1),所以-2：t : 2.式對任意的u,：(-1,1),恒成立，即式對t (-2,2)恒成立，可以證明|2a | |b 3.所以，|2a b3，即2a b 3,3.(III )由f(2)= 6可知：2a3.3又由(Il)可知：一3一2a -b-3，所以，0_a，.2i)當a= 0時，f(x) =3x為單調遞增函數(shù)，令f (x)二-6得x = -2所以m = -2.ii)當a 0時，f (x)二ax2(3 - 2a)x = a(x一一)2-(一2a)-2a此時，_乞2 = _2 0，且當x R時，f (x)的最小值為2a2a(3 2a)2g 6 J23若-J -6，即- 豈a空一時，m為