人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)一組對(duì)邊平行且相等巧證平行四邊形

1、人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)一組對(duì)邊平行且相等巧證平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是判定四邊形是平行四邊形的最常用的判定方法之一，也是平行四邊形判斷時(shí)的首選 下面就以 2019 年的考題為例，介紹其應(yīng)用，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒一、三角形背景下，探證平行四邊形例 1( .2019 年湖州)如圖 1，已知在 ABC 中，D, E, F 分別是AB,BC, AC 的中點(diǎn)，連結(jié) DF,EF, BF.(1)求證：四邊形 BEFD 是平行四邊形；(2)若/AFB=90, AB=6,求四邊形 BEFD 的周長(zhǎng).1(1)證明：因?yàn)镈, E, F 分別是 AB,BC AC 的中點(diǎn)，所以DF/ BE, DFBC=

2、BE,2所以四邊形 BEFD 是平行四邊形.1解：因?yàn)? AFB= 90, D 是 AB 的中點(diǎn)，AB=6,所以 DF=DB=DA= AB=3.2所以四邊形 BEFD 是菱形所以四邊形 BEFD 的周長(zhǎng)為 12.點(diǎn)評(píng)：證明時(shí)，有兩個(gè)核心要素必須把握精準(zhǔn)：一是三角形的中位線定理，給出的就是一組對(duì)邊平行的條件，只需證明其相對(duì)即可完成平行四邊形的判定；周長(zhǎng)的計(jì)算關(guān)鍵是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這條重要性質(zhì)的具體運(yùn)用例 2 (2019 年福建)在 Rt ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，將 ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 一定的角度a得到 AED 點(diǎn) B C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是 E、

3、D.(1)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) E 恰好在 AC 上時(shí)，求/ CDE 的度數(shù)；如圖 3,若a=60時(shí)，點(diǎn) F 是邊 AC 中點(diǎn)，求證：四邊形 BFDE 是平行四邊形 解析：在厶 ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，所以/ BCA=60 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得， AD=AC / DAC=30 , / EDA=60 所以/ DCA2ADC=75 ,所以/ CDE2ADC-/ EDA=15 (2)據(jù)題意得三角形 BCF 是等邊三角形，所以 BF=BC=DE/BFC=60 .如圖 3，延長(zhǎng) BF, 交 AE 于點(diǎn) G,交 AD 于點(diǎn) H,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，AC=AD / CAD=60，所以三角形 ADC 是等

4、邊三 角形，因?yàn)?F 是 AC 的中點(diǎn)，所以 DF 丄 AC, / FDA=/ HAG/ FAG=30 .解析：因?yàn)? BFC=/ AFG=60，所以/ AGF=90，所以/ AGF/ DEA 所以 DE/ BF,所以四邊形 BEDF 是平行四邊形.點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，注意如下幾點(diǎn)：1. 熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和斜邊上的中線的性質(zhì)，是解題的第一要素；2. 準(zhǔn)確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的第二要素；3. 熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是解題的第三要素；4. 靈活運(yùn)用平行線的判定定理是解題的第四要素；5. 熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的第五要素二、平行四邊形背景下，探證平行四邊形例 3 (2019 年安徽)如圖

5、 4,點(diǎn) E 在平行四邊形 ABCD 內(nèi)部，AF/ BE, DF/ CE.(1) 求證： BCEAADF；S(2)設(shè)平行四邊形 ABCD 的面積為 S,四邊形 AEDF 的面積為 T,求 的值.T解析：(1)因?yàn)?AF/ BE,所以/ FAD+/ DAB+/ ABE=180 .因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形， 所以 AD=BCAD/ BC 所以/ EBC+/ DAB/ ABE=18C，所以/ FAD 玄 EBC 同理可證，/ ADF=Z BCE 所以 BCEAADF;(2)連接 EF,因?yàn)?BCEAADF,所以 AF=BE 因?yàn)?AF/ BE,所以四邊形 ABEF 是平行四邊形，同理可證，

6、四邊形 CDFE 是平行四邊形.所以SABE=SAFE,SCDE=SDFE,所以四邊形 AEDF 的面積為T=SAFE+SDFE=SABE+SCDE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得CC CSS=2( SABE+SCDE點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷四邊形ABEF 是平行四邊形，四邊形 CDFE 是平行四邊形是解題關(guān)鍵，看似與平行四邊形無(wú)關(guān)，證明的過(guò)程卻蘊(yùn)含著平行四邊形的證明力量和解題智慧 三、正方形背景下，探證平行四邊形例 4 (2019 年海南)如圖 5， 在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 中, E 是邊 CD 的中點(diǎn)， 點(diǎn) P 是邊 AD 上一點(diǎn)(與點(diǎn)AD 不重合)，射

7、線 PE 與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q.(1)求證：QCE過(guò)點(diǎn) E 作 EF/ BC 交 PB 于點(diǎn) F,連接 AF,當(dāng) PB=PQ 時(shí)，1求證：四邊形 AFEP 是平行四邊形；2請(qǐng)判斷四邊形 AFEP 是否為菱形，并說(shuō)明理由.V- /A/ L ,E/ X15B圖5 H CG解析：(1) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是正方形，所以 AD/ BG 所以/ PDE=/ GCE, / DPEN CGE 因?yàn)?E 是 邊 CD的中點(diǎn)，所以 DE=CE 所以 PDEAQCE(2)1如圖 5， 延長(zhǎng) AF,交 BC 于點(diǎn) H,連接 PH 因?yàn)?EF/ BQ AD/ BQ 所以 EF/ AP,因?yàn)?E 是邊 CD

8、 的中點(diǎn)，所以PF=BF,因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形， 所以/ BAP=90 ,所以 AF=PF=BF 所以/ PAF=/ APF,因?yàn)?AD/BG 所以/ FBH=Z FHB,所以 FB=FH,所以 AF=PF=BF=F H所以四邊形 ABHP 是矩形,所以 AP=BH PHL BG 因?yàn)?PB=PQ 所以 BH=HG 因?yàn)?EF 是三角形 PBG 的中位線，所以 EF=BH=HG 所以 EF=AF,所以四邊形 AFEP 是平行四邊形；2四邊形 AFEP 不一定為菱形.理由如下：一1因?yàn)?AP 不一定等于 AF,只有當(dāng) AP=BP 時(shí)或/ ABP=30 時(shí)，才有四邊形 AFEP 為菱形.2

9、點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，有四個(gè)知識(shí)點(diǎn)必須熟練運(yùn)用，一是等腰三角形的三線合一性質(zhì)；二是直角三角形斜邊上的中線定理；三是矩形的判定定理，四是平行四邊形的判定，這里“平行”易證，關(guān)鍵是線段的相等的證明.例 5 (2019 年天水)如圖 6, E, F 分別是正方形 ABCD 的邊 CB DC 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且 BE=CF過(guò)點(diǎn) E 作 EG/ BF,交正方形外角的平分線CG 于點(diǎn) G,連接 GF.求證：(1)AE 丄 BF；(2)四邊形 BEGF 是平行四邊形.解析：(1) 延長(zhǎng) FB 交 AE 于點(diǎn) H,因?yàn)樗倪呅?ABCD 是正方形，所以 AB=BC / ABE=/ BCF=90 , BE=CF .所以 BAEACBF,所以/ BAE =ZCBF,AE=BF 因?yàn)? ABH+ZCBF=90 , 所以/ ABH+ZBAH=90，所以/ AHB=90，所以 AE1BF;(2) 如圖 3,延長(zhǎng) AB 到點(diǎn) M 使得 BE=BM 則ZAME=45，因?yàn)?CG 是外角的平分線，所以ZECG=45，所以ZAMEZECG 因?yàn)?AB=BC,BE=BM 所以 AM=EC因?yàn)?EG