線代講義 特征值與特征向量矩陣的對(duì)角化

1、第四章 特征值與特征向量 矩陣的對(duì)角化§4.1向量的內(nèi)積 正交矩陣1.向量的內(nèi)積定義4.1 設(shè)有n維向量和，那么是一個(gè)數(shù)，記為，稱為向量與的內(nèi)積，即性質(zhì)設(shè)是n維向量，是一個(gè)數(shù)，那么（1）（2）（3）（4）定義4.2設(shè)有n維向量,稱為向量的模或長度。當(dāng)且僅當(dāng)；時(shí)稱為單位向量。定理4.1 柯西-施瓦茨不等式對(duì)于任何的n維向量和，有成立。定義4.3 設(shè)有n維向量和，稱為向量和的夾角。如果稱向量和正交。零向量與任何向量正交。定義4.4 兩兩正交的單位向量組稱為正交規(guī)范組。定理4.2 如果是兩兩正交的非零向量，那么向量組線性無關(guān)。反之不然。但是通過下面的方法，可以將一個(gè)線性無關(guān)的向量組化為兩兩

2、正交的單位向量組。設(shè)是一個(gè)線性無關(guān)的向量組，令 且與（）正交，那么得到所以如果再將都化為單位向量，那么得到正交規(guī)范向量組：這種方法就是格拉姆-施密特正交化規(guī)范化方法。2.正交矩陣定義4.5 如果n階方陣滿足稱為正交矩陣。性質(zhì)如果A、B是正交矩陣，那么（1）；（2）；（3）、是正交矩陣；（4）AB是正交矩陣。定義4.6 如果為正交矩陣，線性變換稱為正交變換。定理4.3 矩陣A為正交矩陣的充要條件是其行（列）向量組為正交規(guī)范組。即：例4.1 已知，求一個(gè)非零向量，使得為正交向量組。解 設(shè)與正交的向量為，那么有即其基礎(chǔ)解系與向量正交。例4.2求非零向量使之與成為兩兩正交的向量組。解 設(shè)與正交的向量為

3、，那么這個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，與正交（當(dāng)然的與任意線性組合也是與正交的向量）。但是，并非正交，下面將其正交化。那么為正交向量組。例4.3 已知為正交矩陣，求和。解 由于A為正交矩陣，則其列向量組必為單位向量組，那么 A為正交矩陣時(shí)，其列向量組也必定是正交向量組或者§4.2 特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定義定義4.7 設(shè)A是一個(gè)n階方陣，若存在數(shù)和非零的n維列向量x使得則稱數(shù)是矩陣A的特征值，非零向量x是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。顯然是一個(gè)n元齊次線性方程組，并且有非零解（）。因此：。是關(guān)于的n次多項(xiàng)式，稱為特征多項(xiàng)式，稱為特征方程， 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根。2.

4、 特征值和特征向量的求法求解特征方程的根得到矩陣A的特征值；解齊次線性方程組求其非零解得到A的對(duì)應(yīng)于的特征向量。特別地，n階單位矩陣的n個(gè)特征值都是1；對(duì)角矩陣對(duì)角線上n個(gè)元素就是它的特征值。3特征值和特征向量的性質(zhì)定理4.4 如果是矩陣A的特征值，則有：（1）（2）推論 n階矩陣A可逆的充分必要條件是其n個(gè)特征值都不是零。定理4.5 n階方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值（但特征向量一般不同）。定理4.6 如果是矩陣A的特征值，則：（1）是的特征值；（2）是的特征值；（3）是的特征值（如果A可逆）。定理4.7 矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。下面我們給出三個(gè)方面的例題：求特征值和特征

5、向量；利用特征值和特征向量計(jì)算；特征值和特征向量的有關(guān)證明。例4.4 求下列矩陣的特征值和特征向量：（1） （2）解（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式解特征方程得到特征值：時(shí)，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：其同解方程，基礎(chǔ)解系為，所以，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為。時(shí)，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：其同解方程組，基礎(chǔ)解系為 所以，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為。（2）矩陣B的特征多項(xiàng)式解特征方程得到特征值：。求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：其同解方程組，基礎(chǔ)解系為，得到全部特征向量為。例4.5證明：矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。證明 由于說明與有相同的特征多項(xiàng)式，因此有相同的特征值。例4.6 如果是可逆矩陣A的特征值，證明：是

6、伴隨矩陣的特征值。證明 設(shè)是矩陣A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，那么有兩邊同時(shí)左乘并且同乘數(shù)：即：根據(jù)定義，是的特征值。特征值和特征向量的有關(guān)證明一般有兩種方法：利用特征多項(xiàng)式或特征方程；利用定義。上例中，證明特征多項(xiàng)式相同只能說明特征值相同，但不能說明特征向量相同；本例中，用定義不僅證明了是的特征值，而且說明了矩陣A的對(duì)應(yīng)于的特征向量與的對(duì)應(yīng)于的特征向量一樣。例4.7 如果是矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，證明不是矩陣A的特征向量。證明 假設(shè)是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，根據(jù)定義有由于分別是對(duì)應(yīng)的特征向量，因此所以即因?yàn)槭遣煌卣髦祵?duì)應(yīng)的特征向量，所以線性無關(guān)，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式成立。這與已知不

7、同相矛盾。故不是矩陣A的特征向量。例4.8設(shè)矩陣有特征值，求參數(shù)。解 因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以和成立，即解得。?.9 設(shè)是矩陣的逆矩陣的特征向量，求常數(shù)k的值。解 設(shè)是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，那么有兩邊同時(shí)左乘A且同乘數(shù)得到即P也是A的特征向量：或者例4.10設(shè)3階矩陣A的特征值為-1，-1，3，求行列式和的值。解 因?yàn)榫仃嘇的特征值為-1，-1，3，所以的三個(gè)特征值：，因此由于3是矩陣A的特征值，那么，因此§4.3 相似矩陣1相似矩陣的定義定義4.8 設(shè)A和B是n階方陣，若存在可逆矩陣P使得則稱B是A的相似矩陣，或者稱A與B相似，稱P為相似變換矩陣。2. 相似矩陣的性質(zhì)定理4.8 相似矩

8、陣一定是等價(jià)矩陣，反之不然。因此具有（1）自反性 與相似； （2）對(duì)稱性若與相似，則與相似；（3）傳遞性 若與相似，且與相似，那么與相似。定理4.9 相似矩陣有相同的特征值。定理4.10 如果矩陣與相似，那么（1）；（2）；（3）與相似。3. 對(duì)角化的條件定義4.9 如果矩陣A能與對(duì)角矩陣相似，稱矩陣A可對(duì)角化。定理4.11 n階矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論1 如果n階矩陣有n個(gè)不同特征值，那么可對(duì)角化。推論1 矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是它的k重特征值都有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理4.12 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理4.13 實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征

9、向量正交。定理4.14 實(shí)對(duì)稱矩陣必定可以對(duì)角化，即存在正交矩陣，使得。4對(duì)角化方法根據(jù)定理4.11的結(jié)論和證明過程（參看教材）我們得到矩陣對(duì)角化的方法和步驟：（1） 求出特征值和特征向量；（2） 根據(jù)線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)判斷是否可對(duì)角化；（3） 如果要求求正交的相似變換矩陣，則需根據(jù)施密特正交化方法將特征向量正交單位化；（4） 根據(jù)所求的特征值寫出相似的對(duì)角矩陣，根據(jù)特征向量寫出相似變換矩陣。例4.11 判斷下列矩陣是否可對(duì)角化？如果能對(duì)角化求出相似的對(duì)角矩陣和相應(yīng)的相似變換矩陣：（1） （2）解（1） 在上一節(jié)例題4.4中，求出了矩陣特征值和特征向量：，由于矩陣的行列式，表明矩陣有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此矩陣可對(duì)角化。且與相似的對(duì)角矩陣為：相似變換矩陣。注意相似變換矩陣的特征向量的順序要與對(duì)角矩陣中的特征值的順序?qū)?yīng)一致：如果對(duì)角矩陣，那么相似變換矩陣應(yīng)為。（2） 根據(jù)上節(jié)例題4.4的結(jié)果，3階矩陣B沒有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量（只有一個(gè)），因此矩陣B不可對(duì)角化。例4.12求上例4.4中矩陣的100次冪。解 根據(jù)上例的結(jié)果，相似變換矩陣，可求出由于得到例4.13