計(jì)算方法matlab實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)

1、計(jì)算方法上機(jī)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)一、非線性方程求解（一）問(wèn)題的指出二分法1方法概要 假定在上連續(xù)，且在內(nèi)僅有一實(shí)根取區(qū)間中點(diǎn)，若，則恰為其根，否則，根據(jù)是否成立，可判斷出根所屬的新的有根子區(qū)間或，為節(jié)省內(nèi)存，仍稱(chēng)其為。運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，直到滿足精度要求為止，即。式中為新的有根子區(qū)間的端點(diǎn)。2計(jì)算框圖否否是結(jié) 束定義，讀入輸出及開(kāi) 始是Nowton迭代法1方法概要 為初始猜測(cè)，則由遞推關(guān)系產(chǎn)生逼近解的迭代序列，這個(gè)遞推公式就是Newton法。當(dāng)距較近時(shí)，很快收斂于。但當(dāng)選擇不當(dāng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致發(fā)散。故我們事先規(guī)定迭代的最多次數(shù)。若超過(guò)這個(gè)次數(shù)，還不收斂，則停止迭代另選初值。2計(jì)算框圖否是否是是定義輸入開(kāi) 始輸出迭代失

2、敗標(biāo)志輸出輸出奇異標(biāo)志結(jié) 束否（二）目的 掌握二分法與牛頓法的基本原理及應(yīng)用（三）要求 1用二分法計(jì)算方程在內(nèi)的根的近似值 2用二分法計(jì)算方程在內(nèi)的根的近似值。 3用牛頓法求下列非線性方程的近似根。 4用改進(jìn)的牛頓法計(jì)算方程的近似根，并與要求3.中的的結(jié)果進(jìn)行比較。二、Gauuss列主元消去法（一）問(wèn)題的提出 由地一般線性方程組在使用Gauss消去法求解時(shí)，從求解過(guò)程中可以清楚地看到，若，必須施以行交換的手續(xù)，才能使消去過(guò)程繼續(xù)下去。有時(shí)既使，但其絕對(duì)值很小，由于舍入誤差的影響，消去過(guò)程也會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此，為使這種不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的可能性減至最小，在施行消去過(guò)程時(shí)每一步都要選主元素，即要尋

3、找行，使并將第行與第行交換，以使的當(dāng)前值（即的數(shù)值）遠(yuǎn)大于0。這種列主元消去法的主要步驟如下：1消元過(guò)程 對(duì)，做 1º 選主元，記 若，說(shuō)明方程組系數(shù)矩陣奇異，則停止計(jì)算，否則進(jìn)行2º。 2º 交換（增廣矩陣）的兩行元素 3º 計(jì)算2回代過(guò)程 對(duì)，計(jì)算 其計(jì)算框圖如下：是否否是開(kāi) 始輸入（增廣矩陣）交換中兩行輸出結(jié) 束（二）目的 1熟悉Gauss列主元消去法，編出實(shí)用程序。 2認(rèn)識(shí)選主元技術(shù)的重要性。 3明確對(duì)于哪些系數(shù)矩陣，在求解過(guò)程中不需使用選主元技術(shù)。（三）要求 1編制程序，用Gauss列主元消去法求解線性方程組，并打印結(jié)果，其中 （1）， （2）

4、， 2與不選主元的Gauss消去法結(jié)果比較并分析原因。三、Runge現(xiàn)象的產(chǎn)生和克服（一）問(wèn)題的提出 在給定個(gè)插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值以后構(gòu)造次插值多項(xiàng)式的方法。從余項(xiàng)的表達(dá)式看出，插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)逼近的程度是同分點(diǎn)的數(shù)目及位置有關(guān)的。能不能說(shuō)，分點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)的逼近程度越好呢？答案是否定的，在本世紀(jì)初Runge指出了這種多項(xiàng)式插值的缺點(diǎn)。 什么是Runge現(xiàn)象呢？ 例：給定函數(shù)取等距節(jié)點(diǎn)，試建立插值多項(xiàng)式，并研究它與的誤差。 插值多項(xiàng)式的次數(shù)為10，用拉格朗日插值公式有其中 畫(huà)出它們的圖形，從圖中可以看出，在區(qū)間內(nèi)能較好地逼近，但在其他部分與的差異較大，越靠近端點(diǎn)，逼近的效果越差

5、。事實(shí)上可以證明，對(duì)這個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)用個(gè)等距節(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)只能在內(nèi)收斂，而在這個(gè)區(qū)間之外是發(fā)散的，這一現(xiàn)象稱(chēng)為Runge現(xiàn)象。 從上面例子看到，在區(qū)間上給定等距插值節(jié)點(diǎn)，過(guò)這些插值節(jié)點(diǎn)作拉格朗日插值多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)不斷加密時(shí)，構(gòu)造的插值多項(xiàng)式的次數(shù)也不斷提高，但是，盡管被插值函數(shù)是連續(xù)的，高次插值多項(xiàng)式也不一定收斂到相應(yīng)的被插值函數(shù)。 解決Runge現(xiàn)象有分段線性插值，三次樣條插值等方法。 分段線性插值： 設(shè)在區(qū)間上，給定插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值，求作一個(gè)插值函數(shù)，具有下面性質(zhì)： （1） （2）在每個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù)。 插值函數(shù)叫做區(qū)間上對(duì)數(shù)據(jù)的分段線性插值函數(shù)。 三次樣條插值 給定區(qū)間一

6、個(gè)分劃若函數(shù)滿足下述兩條件： 1）在每個(gè)小區(qū)間上是3次多項(xiàng)式。 2）及其直到2階導(dǎo)數(shù)在連續(xù)。則稱(chēng)是關(guān)于分劃的三次樣條函數(shù)。（二）目的 1深刻認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式插值的缺點(diǎn)； 2明確插值的不收斂性怎樣克服； 3明確精度與節(jié)點(diǎn)、插值方法的關(guān)系。（三）要求 給定函數(shù)，及節(jié)點(diǎn)，試用如下插值方法如何克服Runge現(xiàn)象 1用多項(xiàng)式插值計(jì)算出下列插值，觀察是否會(huì)產(chǎn)生Runge現(xiàn)象。 2用下列方法進(jìn)行計(jì)算，并且比較它們克服Runge現(xiàn)象的效果。 （1）分段線性插值 （2）三次樣條函數(shù)插值（一），條件為： （3）三次樣條函數(shù)插值（二），條件為 3編程序，打印結(jié)果分析。 （1）編寫(xiě)計(jì)算程序，調(diào)試計(jì)算，比較每種插值在插值點(diǎn)上

7、與精確值的誤差是多少。 （2）同一種插值法，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，精度怎樣？ （3）打印程序、結(jié)果，寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、多項(xiàng)式最小二乘法（一）問(wèn)題的提出 對(duì)于給定的測(cè)量數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)分布為特別地，取為多項(xiàng)式形式則根據(jù)最小二乘原理，可構(gòu)造泛函令則可得到法方程 求解該方程組，則可得到解，因此可得到數(shù)據(jù)的最小二乘解（二）目的 1學(xué)習(xí)使用最小二乘原理 2了解法方程的特性（三）要求 用最小二乘方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。 并作出的近似分布圖。五、龍貝格積分法（一）問(wèn)題的提出 考慮積分欲求其近似值，可以采用如下公式： （復(fù)化）梯形公式 （復(fù)化）辛卜生公式 （復(fù)化）柯特斯公式 這里，梯形公式顯得算法簡(jiǎn)單，具有如下遞推關(guān)系因此，很容

8、易實(shí)現(xiàn)從低階的計(jì)算結(jié)果推算出高階的近似值，而只需要花費(fèi)較少的附加函數(shù)計(jì)算。但是，由于梯形公式收斂階較低，收斂速度緩慢。所以，如何提高收斂速度，自然是人們極為關(guān)心的課題。為此，記為將區(qū)間進(jìn)行等份的復(fù)化梯形積分結(jié)果，為將區(qū)間進(jìn)行等份的復(fù)化辛卜生積分結(jié)果，為將區(qū)間進(jìn)行等份的復(fù)化柯特斯積分結(jié)果。根據(jù)李查遜（Richardson）外推加速方法，可得到 可以證明，如果充分光滑，則有 （固定） 這是一個(gè)收斂速度更快的一個(gè)數(shù)值求積公式，我們稱(chēng)為龍貝格積分法。 該方法的計(jì)算可按下表進(jìn)行 很明顯，龍貝格計(jì)算過(guò)程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，只需開(kāi)辟一個(gè)一維數(shù)組，即每次計(jì)算的結(jié)果，可存放在位置上，其最終結(jié)果是存放在位置上。具體

9、的計(jì)算過(guò)程為： 1準(zhǔn)備初值，計(jì)算且（為等份次數(shù)） 2按梯形公式的遞推關(guān)系，計(jì)算 3按龍貝格公式計(jì)算加速值 4精度控制。對(duì)給定的精度，若則終止計(jì)算，并取作為所求結(jié)果；否則，重復(fù)24步，直到滿足精度為止。（二）目的 1理解和掌握龍貝格積分法的原理； 2學(xué)會(huì)使用龍貝格積分法； 3明確龍貝格積分法的收斂速度及應(yīng)用時(shí)容易出現(xiàn)的問(wèn)題。（三）要求 1用龍貝格積分法計(jì)算下列積分的近似值 （1）； （2）； （3） 2打印龍貝格積分法的函數(shù)表，使積分結(jié)果更加清楚。 3分析所出現(xiàn)的問(wèn)題并加以討論。六、常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法（一）問(wèn)題的提出 一階常微分方程初值問(wèn)題 （6.1）的數(shù)值解法是近似計(jì)算中很重要的部分

10、。 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法是求方程（6.1）的解在點(diǎn)列上的近似值，這里是到的步長(zhǎng)，一般略去下標(biāo)記為。 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法一般分為兩大類(lèi)： （1）單步法：這類(lèi)方法在計(jì)算時(shí)，只用到、和，即前一步的值。因此，在有了初值以后就可以逐步往下計(jì)算。典型方法如龍格庫(kù)塔方法。 （2）多步法：這類(lèi)方法在計(jì)算時(shí)，除用到、和以外，還要用，即前面步的值。典型方法如Adams方法。 經(jīng)典的方法是一個(gè)四階的方法，它的計(jì)算公式是： （6.2）方法的優(yōu)點(diǎn)是：?jiǎn)尾椒ā⒕雀?，?jì)算過(guò)程便于改變步長(zhǎng)，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，每前進(jìn)一步需要計(jì)算四次函數(shù)值。 四階Adams預(yù)測(cè)校正方法是一個(gè)線性多步法，它是由Adams顯式公

11、式和隱式公式組成，計(jì)算公式是： 預(yù)測(cè) （6.3） 校正 它的局部截?cái)嗾`差是。利用Adams顯式和隱式公式具有同階截?cái)嗾`差但系數(shù)不同的特點(diǎn)，將截?cái)嗾`差以預(yù)測(cè)值和校正值來(lái)表示，在預(yù)測(cè)和校正公式中分別以它們各自的截?cái)嗾`差來(lái)進(jìn)行補(bǔ)足，可期望使精度進(jìn)一步得到改善。用和分別表示第步的預(yù)測(cè)值和校正值，修正后的預(yù)測(cè)校正公式為： 預(yù)測(cè) 修正 求 （6.4） 校正 修正 求導(dǎo) 由于開(kāi)始無(wú)預(yù)測(cè)值和校正值可以利用，故令，以后就按上面步預(yù)計(jì)算。此方法的優(yōu)點(diǎn)是：可以節(jié)省計(jì)算量（與方法相比減少了函數(shù)的計(jì)算次數(shù)）；缺點(diǎn)是：它不是自開(kāi)始的，需要先知道前面四個(gè)點(diǎn)的值，因此，它不能獨(dú)立使用。另外，它也不便于改變步長(zhǎng)。（二）目的和意義 通過(guò)實(shí)便，編寫(xiě)程序上機(jī)計(jì)算，使得對(duì)常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法有更深的理解，掌握單步法和線性多步法是如何進(jìn)行實(shí)際計(jì)算的及兩類(lèi)方法的適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，特別是對(duì)這兩類(lèi)方法中最有代表性的方法；方法和Adams方法及預(yù)測(cè)校正方法有更好的理解。通過(guò)這兩種方法的配合使用，掌握不同方法如何配合在一起，解決實(shí)際問(wèn)題。（三）實(shí)際計(jì)算例題 1初值問(wèn)題 取步長(zhǎng)，計(jì)算在上的數(shù)值解。