分式難點習題

1、第二講分式的化簡與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分數(shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是 零，即分式只有在分母不等于零時才有意義； 也像分數(shù)一樣，分式的分子 與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì) 是分式運算中通分和約分的理論根據(jù). 在分式運算中，主要是通過約分和 通分來化簡分式，從而對分式進行求值.除此之外，還要根據(jù)分式的具體 特征靈活變形，以使問題得到迅速準確的解答.本講主要介紹分式的化簡 與求值.例 1 化簡分式：分析 直接通分計算較繁， 先把每個假分式化成整式與真分式之和的 形式，再化簡將簡便得多.=(2a+1) -(a -3)-(3a+2)+(2a -2)說明本

2、題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式.例 2 求分式當 a=2 時的值.分析與解 先化簡再求值.直接通分較復雜，注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a -b)，可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項.-亠斗一的值例 3 若 abc=1，求必十汎十 1+ 皿址十 1分析 本題可將分式通分后，再進行化簡求值，但較復雜.下面介紹 幾種簡單的解法.解法 1 因為 abc=1，所以 a，b，c 都不為零.解法 2 因為 abc=1，所以 aM0，0，c 工 0.例 4 化簡分式：分析與解三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解 因式，然后再化簡.說明互消掉的一對相反數(shù)，這種

3、化簡的方法叫“拆項相消”法，它是分式 化簡中常用的技巧.例 5 化簡計算(式中 a，b，c 兩兩不相等):分析本題關(guān)惟是搞清分式的變形，其他兩項是類a - ab- ac be似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法.解說明 本例也是采取“拆項相消”法，所不同的是利用=丄十丄的變形技巧.AB AEJ例 6 已知：x+y+z=3a(a 工 0,且 x, y, z 不全相等)，求分析本題字母多，分式復雜若把條件寫成(x -a)+(y -a)+(z -a)=0 ,那么題目只與 x-a, y-a, z-a 有關(guān)，為簡化計

4、算，可用換元法求解.解令 x-a=u, y-a=v, z-a=w,貝 U 分式變?yōu)閡v + vw + wu且由己知有口 +站+=0.將ui + w = 0兩邊平方得U十邸+ Wu2+v2+W+2(uv+vw+wu)=0.由于 x, y, z 不全相等，所以 u, v, w 不全為零，所以U2+V2+WM0, 從而有說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù)，使運算過程簡化.例 7 化簡分式：分斫直礙冷旳值代人原無磅值，計幕緊壩*可將希適當變形，化簡分式后再計算求值.(x-4)2=3,即卩X2-8X+13=0.原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+

5、13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8X+13)+(X2-8X+13)+10=10,原式分母=(X2-8X+13)+2=2,說明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種 特殊類型，應用得當會使問題的求解過程大大簡化.解法 1 利用比例的性質(zhì)解決分式問題.(1)若 a+b+cM0,由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有若 a+b+c=O,則a+b=-c， b+c=-a，c+a=-b，于是有說明 比例有一系列重要的性質(zhì),在解決分式問題時,靈活巧妙地使 用,便于問題的求解解法 2 設(shè)參數(shù)法令則a+b=(k+1)c，a+c=(k+1)b，b+c=(k+1)a +有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c) ，所以 (a+b+c)(k -1)=O ，故有 k=1 或 a+b+c=O當 k=1 時，當 a+b+c=O 時，說明 引進一個參數(shù) k 表示以連比形式出現(xiàn)的已知