關(guān)于大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限和連續(xù)

1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù)§ 1.1 函數(shù)一、主要內(nèi)容函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義:y=f(x), x D定義域:D(f),值域:Z(f).yf(x)xD12.分段函數(shù)g(x)xD23.隱函數(shù):F(x,y)=04.反函數(shù):y=f(x)f x= © (y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函數(shù):y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；那么它必定存在反函數(shù)：-1 -1 -1y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。函數(shù)的幾何特性1. 函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x D,X1、X2 D當(dāng) X1V X2 時(shí),假

2、設(shè) f(x 1) < f(x 2),那么稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加();假設(shè) f(x 1) > f(x 2),那么稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；假設(shè) f(x 1) V f(x 2),那么稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加()；假設(shè) f(x 1) > f(x 2),貝y稱f(x)在d內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()。2. 函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3. 函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x (- X, +x)周期：T最小的正數(shù)4. 函數(shù)的有界性：|f(x)|< M , x (a,b)根本初等函數(shù)1. 常數(shù)函數(shù)：y

3、=c , (c為常數(shù))2. 冪函數(shù)：y=x n , (n 為實(shí)數(shù))3. 指數(shù)函數(shù)：y=ax , (a >0、a 1)4. 對數(shù)函數(shù)：y=log a x ,(a >0、a 1)5. 三角函數(shù)：y=sin x , y=con xy=ta n x , y=cot x y=sec x , y=csc x6. 反三角函數(shù)： y=arcsin x, y=arccon xy=arcta n x, y=arccot x復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)：y=f(u) , u= © (x)y=f © (x) , x X2. 初等函數(shù):由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運(yùn)算加、減、乘、

4、除和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)§ 1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限 :lim yn稱數(shù)列yn以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列yn收斂于 A.定理 : 假設(shè) yn 的極限存在yn 必定有界 .2. 函數(shù)的極限：當(dāng) x當(dāng) x時(shí)，f (x)的極限：x0 時(shí)，f (x)的極限：limf(x)Ax x0limx x0f (x)A左極限：右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：lim f(x)x x0lim f(x) lim f(x) Ax x0x x0無窮大量和無窮小量i.無窮大量：limf(x)稱在該變化過程中 f(x) 為無窮大量X再某個(gè)變化過程是指：2.無窮小

5、量：lim f (x)0稱在該變化過程中f(x) 為無窮小量3. 無窮大量與無窮小量的關(guān)系:定理:lim f(x)limf(x)4.無窮小量的比擬：lim0,lim,(f(x) 0)0假設(shè)lim0 ,那么稱B是比a較高階的無窮小量;假設(shè)lim c ( c為常數(shù))那么稱B與a同階的無窮小量;假設(shè)HE1，那么稱B與a是等價(jià)的無窮小量，記作：-a；假設(shè)1計(jì)，那么稱卩是比a較低階的無窮小量定理：假設(shè)： 1 1,那么:limlim兩面夾定理1.數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)那么:設(shè)：ynXnzn(n=1、2、3)且：limnYnlim znan那么：limnXna2.函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)那么：設(shè)：對于點(diǎn)X。的某個(gè)

6、鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)點(diǎn)Xo除外有:且:Xinmog(x)lim h(x) AX Xo那么:lim f (x)X Xo極限的運(yùn)算規(guī)那么假設(shè): lim u(x) A, lim v(x) B那么: limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A B lim u(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A Bu(x) lim u(x) A v(x) lim v(x) B (lim v(x) 0)推論： lim w(x) U2(x)Un(x) lim c u(x) c lim u(x) lim u(x)n lim u(x)n兩個(gè)重要極限sin x lim1. x 0 xlim S

7、in (x)(x)0(x)12.0° ；)lim (1 x)xx 0§ 1.3連續(xù)主要內(nèi)容函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在X。處連續(xù)： f(x) 在x0的鄰域內(nèi)有定義,o lim yx 07limof(xox 0x) f(x0) 0limx X。f(x)f(X。)左連續(xù):lim f (x)x x0f (x0)右連續(xù):lim f (x)x X°f (X°)f(x) 在Xo處極限存在2. 函數(shù)在X0處連續(xù)的必要條件:定理： f(x) 在X0處連續(xù)3. 函數(shù)在Xo處連續(xù)的充要條件:f (xo)定理：lim f(x)f(xo)lim f(x) lim f(x)疋理.x

8、xqx xqx x04. 函數(shù)在a,b上連續(xù)：xo為 f(x) 的間斷點(diǎn)f(x) 在a, b上每一點(diǎn)都連續(xù)。lim f (x)x af (a)左端點(diǎn)右連續(xù);lim f (x)x bf(b)右端點(diǎn)左連續(xù)。+a0 b -x5.函數(shù)的間斷點(diǎn):在端點(diǎn)a和b連續(xù)是指：假設(shè) f(x) 在xo處不連續(xù)，那么間斷點(diǎn)有三種情況:)x( f 在 X。處無定義;2° lim f (x)2 :X。不存在;3° )x( f在x0處有定義，且ximo f (x)存在,但問。f(x)f (xo)。兩類間斷點(diǎn)的判斷:1 °第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn):limx Xqf(x)和問。f(x)都存在lim f

9、(x)x x0f(Xo)或)x(f 在x0處無定義。2 0第二類間斷點(diǎn):特點(diǎn)：X!吧心)和 f(x)至少有一個(gè)為汽或ximx0 f (x)振蕩不存在。無窮間斷點(diǎn)：!吧心)和!吧f(x)至少有一個(gè)為82.函數(shù)在Xo處連續(xù)的性質(zhì)lim f (x)f (Xo)lim g(x) g(xo)x XoXXolim f (x)X Xog(x)f(xo) g(xo)lim f (x)X Xog(x)f (xo) g(xo)lim 3X Xo g(x)f (Xo) g(x。)lim g(x) oX Xo設(shè)010201.連續(xù)函數(shù)的四那么運(yùn)算:復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:Jim f (x) flim (x) f(Xo)那么：

10、x x0x x03. 反函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在 a,b 上連續(xù)的性質(zhì)1. 最大值與最小值定理：f (x)在a,b上連續(xù)0f (x)在a,b 上一定存在最大值與最小2. 有界定理:f(x)在a,b上連續(xù)3. 介值定理：f (x)在a, b上一定有界f (x)在a,b上連續(xù)在(a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f ( ) c，其中：me M推論:f (x)在a, b上連賣，且f (a)與f (b)異號在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得： f( )04. 初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué)§ 2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念1 .導(dǎo)數(shù)：yf(x)在xo

11、的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，f(x) f(Xo)f (x0) lim2 .左導(dǎo)數(shù):XX。x x0f(X。)lim WXX。 Xf(Xo)Xo定理：f (X)在Xo的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；貝y：f (Xo) lim f (X)X Xo(或：f (Xo)lim f (X)X Xo)右導(dǎo)數(shù):3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件:定理:f (X)在Xo處可導(dǎo)f (x)在X。處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:定理:yX Xof (Xo)存在f (Xo) f (Xo)，且存在。5.導(dǎo)函數(shù)：yf (X),(a,b)f(x)在(a,b) 內(nèi)處處可導(dǎo)f (Xo)6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì):f (Xo)是曲線y f(x)上點(diǎn)

12、M Xo, yo處切線的斜率。o求導(dǎo)法那么i.根本求導(dǎo)公式:2. 導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算:1 0 (u v) u v2 0 (u v) u v u vu u v u v30 v 7 (V 0)3. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):dy dy dudX 和 dX，或f(X) f (x)(x)注意 f(x)與 f (x) 的區(qū)別:f(X) 表示復(fù)合函數(shù)對自變量 X求導(dǎo);f (X) 表示復(fù)合函數(shù)對中間變量(X)求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)：f (X), f (X),或f (3)(X)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念1. 微分：f ( X )在X的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，其中： A(x) 與 X無關(guān)， 0( X) 是比 X

13、較高階的無窮小量，即:lim°X 0 X那么稱y f (x)在x處可微，記作:2. 導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系:定理： f(x) 在x處可微 f(x) 在x處可導(dǎo),A(x)且：f(X)3. 微分形式不變性：不管u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的 微分 dy 都具有相同的形式。§ 2.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理yf(x)'f()a oEb xa o2.拉格朗E定理:f (x)滿足條件:0羅必塔法那么山：(o，型未定式)i.羅爾定理:f (x)滿足條件:定理： f (x)和 g(x) 滿足條件:0 (或0 (或lim f (x)x aiolim g(x)2o在點(diǎn)

14、a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 g(x) 0 ；那么:3° xlimx a(lim丄a( ) g (x)A,(或f(x)lim他)g(x) x a( ) g (x)A,(或)注意:1o法那么的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。°假設(shè)不滿足法那么的條件，不能使用法那么。o即不是o型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。應(yīng)用法那么時(shí)，要分別對分子、分母求導(dǎo)，而不是對整個(gè)分式求導(dǎo)。f (x)和g (x)還滿足法那么的條件,可以繼續(xù)使用法那么，即:°假設(shè)函數(shù)是o型可采用代數(shù)變0形，化成0或型；假設(shè)是1 ,oo,0型可采用對數(shù)或指數(shù)變形,化成o6或型導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 切線方程和法線方程:設(shè)

15、：y f(x),M (Xo, y。)切線方程：y yof (Xo)(xXo)1法線方程 y y。 (x X。), (f(x°) o)法線萬程：f (x0)2. 曲線的單調(diào)性：f (x) 0 x (a,b)f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；f (x) 0 x (a,b)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加;3. 函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)有定義，x。是(a,b)內(nèi)的一點(diǎn)；假設(shè)對于Xo的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)xxo，都有:那么稱f (x°)是 f (x)的一個(gè)極大值(或極小值)，稱xo為f (x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))。極值存在的必要條件:f(x。) 010. f

16、(x)存在極值f (x0)定理:20. f (x0)存在。X°稱為f (X)的駐點(diǎn)極值存在的充分條件:定理一:當(dāng) x 漸增通過 x0 時(shí)， f (x) 由( + )變( - )；那么 f(x0) 為極大值；當(dāng)X漸增通過X。時(shí)，f(X)由(-)變(+)；那么f(Xo)為極小值。10.f (x0) 0；f ( x0 )是極值；定理二.2o.f (x0)存在。x。是極值點(diǎn)。假設(shè) f (Xo) o ，那么 f (Xo) 為極大值；假設(shè) f (X。) 。 ，那么 f (X。) 為極小值。注意.駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4 曲線的凹向及拐點(diǎn).假設(shè)f (x)°, x a，

17、b ；那么f (x)在(a,b)內(nèi)是上凹的(或凹的)，(U)；假設(shè)f (x)0, x a,b ；那么f (x)在(a,b)內(nèi)是下凹的(或凸的)，(Q)；1°.f (x°) 0,x°, f (x°)稱2°. f (x)過x0時(shí)變號。為f (x)的拐點(diǎn)。5 。曲線的漸近線.水平漸近線.鉛直漸近線.第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§ 3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)：f (x), F(x), x D假設(shè)： F (x) f (x)貝y稱F(X)是f(X)的一個(gè)原函數(shù)，并稱 F(x) C 是 f ( x )的所有原函數(shù) 其中

18、C 是任意常數(shù)。2不定積分：函數(shù)f(X)的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù) f (X) 的不定積分；記作：其中： f (X) 稱為被積函數(shù)；f (X)dX 稱為被積表達(dá)式；X 稱為積分變量。3. 不定積分的性質(zhì)：f (X)dXf(X)或： d f (X)dX f (X)dXf (x)dxf(x)或: df (x)fi(x)分項(xiàng)積分法kf (x)dx4.根本積分公式:換元積分法：f(x)f2(x)fn(x)dxk f(x)dx (k為非零常數(shù)1第一換元法：又稱“湊微元法常用的湊微元函數(shù)有：dx-d(ax) -d(ax b) aaa,b為常數(shù)，a 0mx dxmdx1 d(axm 1 b)a(m 1)e

19、xdxd(ex)-d(aex b) aIdxxd(ln x)sindxd(cosx) cosxdx d(sin x)6°dx2xd (arcsin x)d (arccos x)2. 第二換元法:第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù),其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：x tn, n為偶數(shù)時(shí),t 0當(dāng)被積函數(shù)中有2°x a si nt,x acosx),3°當(dāng)被積函數(shù)中有ax atan t,(或 x acott),0 t0 t 7,(0 t 7)當(dāng)被積函數(shù)中有a4°x a sect,(或 x acsct),0 t 7,(0 t 7)當(dāng)被積函數(shù)中有x

20、2分部積分法:1. 分部積分公式：2. 分部積分法主要針對的類型: P(x)sin xdx, P(x)cosxdx P(x)exdx P(x)ln xdx P(x)arcsin xdx, P(x)arccosxdxaxax e sin bxdx, e cosbxdx其中：P(x) a°xna1xn 1an (多項(xiàng)式)選反三角函數(shù) “多反選反?？扇芜x一函數(shù) “指三任選。P(x)3. 選u規(guī)律:在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P(x) u，其余記作dv;簡稱“三多項(xiàng)選擇多在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令 P(x) u， 其余記作dv;簡稱“指多項(xiàng)選擇多。在多項(xiàng)式乘對數(shù)函數(shù)中，令I(lǐng)n x u，其余記作dv

21、;簡稱“多對選對。在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，為u，其余記作dv;簡稱在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，為u，其余記作dv;簡稱簡單有理函數(shù)積分：1.有理函數(shù):Q(x)f (x)其中 P(x)和 Q(x) 是多項(xiàng)式2. 簡單有理函數(shù):(x)P(x)1 xf(x)P(x)1 x2f(x)P(x)(x a)(x b)(x)P(x)(x a)2 b§ 3.2定積分f(x)主要內(nèi)容(一).重要概念與性質(zhì)1.定積分的定義:O a x i X2 X/定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各局部面積的代數(shù)和x軸上方的面積取正號，yx軸下方的

22、面積取負(fù)號。+2. 定積分存在定理：假設(shè)：f(x)滿足以下條件之一:假設(shè)積分存在，那么積分值與以下因素?zé)o關(guān):3. 牛頓萊布尼茲公式：假設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上的任意一個(gè)原函數(shù):bb那么：f(x)dx F(x)b F(b) F(a)a*牛頓一一萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理：5. 定積分的性質(zhì)：XKaX bA(二)定積分的計(jì)算：I1. 換元積分2. 分部積分3. 廣義積分4. 定積分的導(dǎo)數(shù)公式2(X)!(X)f(t)dtX2(X)2(X)l(x)i(x)(三)定積分的應(yīng)用1. 平面圖形的面積與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) .求出曲線的