2018年高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測(十七)數(shù)學(xué)歸納法新人教A版選修2-2

1、課時跟蹤檢測（十七）數(shù)學(xué)歸納法層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)111 11設(shè)$=R+kT2 + 后+ 2k，則Sk+1為(11齊_112k+ 1 2(k+ 1).故S+1=S+2k+ 1 2(k+ 1).1 1 1*2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 + 2 + 3 +2hVn（n2,nN）的過程中，由n=k變到n=k+ 1 時，左邊增加了（）A.1 項B. k 項C. 21項D 2k項1解析：選 D 當(dāng)n=k時，不等式左邊的最后一項為，而當(dāng)n=k+1 時，最后一項2 1當(dāng)n= 1 時，12+ 1v1+ 1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時，不等式成立，即k2+kvk+ 1，則當(dāng)n=k+ 1 時，(

2、k+1)2+(k+1)=k2+3k+2v(k2+3k+2)+k+2=(k+2)2=(k+1)+1, n= k+ 1 時，不等式成立，則上述證法()A.過程全部正確B. n= 1 驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確1 1 一為尹 7 =k k,并且不等式左邊和式的分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加 1,故增A.1$+ 2k+ 2解析：選 C 因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由s=占+丄*k+ 1k+ 2+ -十2k，得Sk+1=1k+ 2+1 1 1 +2k+2k+ 1+2(k+1).由一，得Sn3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值no最小應(yīng)當(dāng)是_.10393解析：T2= 1 024 10

3、2 = 512v9 ,no最小應(yīng)為 10.答案：101 1 1 1 17._ 用數(shù)學(xué)歸納法證明 歹+ 32+ (n+1)22n+2，假設(shè)n=k時，不等式成立，則 當(dāng)n=k+ 1 時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是 _ .解析：觀察不等式中分母的變化便知.1 1 1 1 1 1答案：2+2+ +2+2 :2 3(k+1)(k+ 2)2k+ 3&對任意nN*3”+2+a2n+1都能被 14 整除，則最小的自然數(shù)a=_.解析：當(dāng)n= 1 時，36+a3能被 14 整除的數(shù)為a= 3 或 5;當(dāng)a= 3 且n= 2 時，310+ 35不能被 14整除，故a= 5.答案：59.已知nN ,求證 1 2 2

4、 3 +(2n1)(2n)2n(2n+1)=n(n+1)(4n+3).證明：(1)當(dāng)n= 1 時，左邊=4 18= 14= 1X2X7=右邊.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k 1)時成立，即 1 22 2 32+ (2k 1) (2k)2 2k (2k2+1) =k(k+ 1)(4k+ 3).則當(dāng)n=k+ 1 時，2 2 2 2 21.2 2 3 + +(2k1)(2k)2k(2k+1)+(2k+1)(2k+2)(2k+32) (2k+ 3)=-k(k+ 1)(4k+ 3) + (2k+ 2)(2k+ 1)(2k+2) - (2k+ 3)2=-k(k+ 1)(4k+ 3) + 2(k+1) (-

5、 6k- 7) =- (k+1)(k+ 2)(4k+ 7)=-(k+1) (k+ 1) + 14(k+1) + 3,即當(dāng)n=k+ 1 時成立.由(1) (2)可知，對一切nN*結(jié)論成立.10.用數(shù)學(xué)歸納法證明n1111*1+三 1+2+3+ +才三 2+n(nN).證明：(1)當(dāng)n= 1 時，3132 三 1 +三 2，命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN)時命題成立，即1+夕 1 +k+ 2k2 + 2 2h21 1 1 1又1+2+3+2+2V!+11k2k+2kv2+k+22=g+(k+1),解析：選 Df(n+ 1) -f(n)=衿 +13n+ 11+3n+ 24B.f(k+ 1) =f(k)

6、 +k- 1C.f(k+ 1) =f(k) +kD.f(k+ 1) =f(k) +k+ 2解析：選 C 當(dāng)n=k+ 1 時，任取其中 1 條直線記為I，則除I外的其他k條直線的交 點的個數(shù)為f(k)，因為已知任何 兩條直線不平行，所以直線I必與平面內(nèi)其他k條直線都 相交(有k個交點)；又因為任何三條直線不過同一點， 所以上面的k個交點兩兩不相同， 且 與平面內(nèi)其他的f(k)個交點也兩兩不相同，從而n=k+ 1 時交點的個數(shù)是f(k) +k=f(k+ 1).4. 若命題A(n)(nN)n=k(kN)時命題成立，則有n=k+ 1 時命題成立.現(xiàn)知命題對n=no(noN*)時命題成立，則有()A.

7、命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于no的正整數(shù)不成立， 對大于或等于no的正整數(shù)都成立C.命題對小于no的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于no的正整數(shù)都成立D. 以上說法都不正確解析：選 C 由題意知n=no時命題成立能推出n=no+ 1 時命題成立，由n=no+1 時命 題成立，又推出n=no+ 2 時命題也成立，所以對大于或等于no的正整數(shù)命題都成立，而對小于no的正整數(shù)命題是否成立不確定.1 一 a*5.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+a+a2+an+1=(nN ,1)，在驗證n=1 成立時，1 一a左邊所得的項為_ .解析：當(dāng)n= 1 時，n+ 1 = 2,所以左邊=1 +a+a2.答案：

8、1 +a+a6用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2 + 22+夕一1= 2n- 1(nN*)的過程如下：1當(dāng)n= 1 時，左邊=2 = 1，右邊=2 1 = 1，等式成立.2假設(shè)n=k(k 1,且kN)時，等式成立，即1 + 2 + 22+ 2k1= 2k 1.k+1則當(dāng)n=k+ 1 時，1+ 2 + 22+ 2k1+ 2k=1一2= 2k+1 1,1 2所以當(dāng)n=k+ 1 時，等式也成立.由知，對任意nN*，等式成立.上述證明中的錯誤是 _.解析：由證明過程知，在證從n=k到n=k+ 1 時，直接用的等比數(shù)列前n項和公式， 沒有用上5歸納假設(shè)，因此證明是錯誤的.答案：沒有用歸納假設(shè)7.平面內(nèi)有n(n

9、N*)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一 點，求證：這n個圓把平面分成n2n+ 2 部分.62證明：(1)當(dāng)n= 1 時，nn+ 2= 2,即一個圓把平面分成兩部分，故結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)n=k(k 1,kN*)時命題成立，即k個圓把平面分成k2k+ 2 部分.則當(dāng)n=k+ 1 時，這k+ 1 個圓中的k個圓把平面分成k2k+ 2 個部分，第k+1 個圓被前k個圓分成 2k條弧，這 2k條弧中的每一條把它所在的平面部分都分成兩部分，這樣共增加 2k個部分，故k+ 1 個圓把平面分成k2k+ 2+ 2k= (k+1)2 (k+1) + 2 部分， 即n=k+ 1時命題也成立.綜上

10、所述，對一切nN，命題都成立.&已知某數(shù)列的第一項為 1，并且對所有的自然數(shù)n2,數(shù)列的前n項之積為n2.(1)寫出這個數(shù)列的前 5 項;(2)寫出這個數(shù) 列的通項公式并加以證明.解：(1)已知a1= 1,由題意，得a1a2= 2 ,.a2= 2 .2aa2.ak1akak+1= (k+ 1),2-a1a2a3= 3，a3=32同理，可得42791625因此這個數(shù)列的前 5 項分別為 1,4 , 4，9，花.(2)觀察這個數(shù)列的前 5 項，猜測數(shù)列的通項公式應(yīng)為:當(dāng)n= 2 時，a2= 務(wù)嚴(yán)=22,結(jié)論成立.(21)假設(shè)當(dāng)n=k(k2,kN*)時，結(jié)論成立, 即ak=芝不2/a1a2.

11、ak1= (k 1),這就是說當(dāng)n=k+ 1 時，結(jié)論也成立.根據(jù)可 知，當(dāng)n2時，這個數(shù)列的通項公式是an=2.(n 1)1(n= 1),2nan=G訐(n2).2F面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時，an=12.2.2(k+1)2 2 2 2=_= (k+ 1)(k 1) = (k+ 1) =(k+ 1)ak+1= (a1a2.ak1)ak=(k 1)2k2=k2= (k+k2k22.82 1 2 1 + 2加了 2k項.3.一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題， 當(dāng)n=2 時命題成立， 且由n=k時命題成立可以推得n=k+ 2 時命題也成立，則（）A. 該命題對于n 2 的自然數(shù)n都成立B. 該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C. 該命題何時成立與 k 取值無關(guān)D. 以上答案都不對解析：選 B 由n=