考研數(shù)學(xué)高數(shù)基礎(chǔ)知識

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載法明定史細(xì)果函數(shù)y n 。始的定義域 D關(guān)于原點(diǎn)時(shí)苗函數(shù)林，井L1時(shí)任總 的.白。均行jfX -工）=- jTd凰稱y =yr力為奇哨鼓表 -2函數(shù)的幾卻特性如果的敕V - 4外拊定義域： "關(guān)于明媒前 瓶井且對任感 的# E u均燈.則韓代6為照單單留上 升伴前 遞出困我產(chǎn)外在D 上甫定文，時(shí)任且斯v向，耳隋 flxj毛加，：倒性單得下 南單調(diào)道倒函數(shù)在A1.定里,時(shí)任意 的,平口 E乩 R駒.工士均方 f(xt)式2 ; 名師指導(dǎo)2011年考研大綱：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)2009年08月26日13:39 來源：人民網(wǎng)教育考研數(shù)學(xué)的考試綜合性強(qiáng)、知識覆蓋面廣、難度大，應(yīng)及 早

2、復(fù)習(xí)為佳。把握數(shù)學(xué)高分的前提必須要熟知數(shù)學(xué)考查內(nèi)容和具體 考些什么。數(shù)學(xué)主要是考基礎(chǔ)，包括基本概念、基本理論、基本運(yùn) 算，數(shù)學(xué)本來就是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，如果基本概念、基本運(yùn)算不太 清楚，運(yùn)算不太熟練那你肯定是考不好的。高數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)著重放在 極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分這三方面，后面當(dāng)然還有定積分、一元微積 分的應(yīng)用，還有中值定理、多元函數(shù)微分、積分等內(nèi)容，這些內(nèi)容 可以看成那三部分內(nèi)容的聯(lián)系和應(yīng)用。另一部分考查的是簡單的分 析綜合能力。因?yàn)楝F(xiàn)在高數(shù)中的一些考題很少有單純考一個(gè)知識點(diǎn) 的，一般都是多個(gè)知識點(diǎn)的綜合。最后就是數(shù)學(xué)的解應(yīng)用題能力。 解應(yīng)用題要求的知識面比較廣，包括數(shù)學(xué)的知識比較要扎實(shí)，復(fù)習(xí) 的

3、時(shí)候要多加注意。如果能夠圍繞著這幾個(gè)方面進(jìn)行有針對性地復(fù) 習(xí)，取得高分也就不再是難事了。與此同時(shí)，在具體的復(fù)習(xí)過程中如何規(guī)劃復(fù)習(xí)才能取得事 半功倍的效果也是考試普遍關(guān)注的問題。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要保證熟練度， 平時(shí)應(yīng)該多訓(xùn)練，一天至少保證三個(gè)小時(shí)。把一些基本概念、定理、 公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一種基本技能的訓(xùn)練，要 天天練習(xí)，熟悉，技能才會更熟能生巧，更能夠靈活運(yùn)用，如果長 時(shí)間不練習(xí)，就會對解題思路生疏，所以經(jīng)常練習(xí)是很重要的，天 天做、天天看，一直堅(jiān)持到最后。這樣，基礎(chǔ)和思路才會久久在大 腦中成型，遇到題目不會生疏，解題速度也就相應(yīng)越來越熟練，越 來越快。新的考試大綱剛剛出爐，今年的大

4、綱和去年的一摸一樣， 連標(biāo)點(diǎn)符號都沒有任何改動，所以同學(xué)們可繼續(xù)按照計(jì)劃進(jìn)行學(xué)習(xí), 在復(fù)習(xí)的過程中首先要明確考試重點(diǎn)，充分把握重點(diǎn)。這個(gè)主要依 據(jù)考試大綱了，認(rèn)真研讀并按照大綱的要求進(jìn)行，比如高數(shù)第一章 的不定式的極限，我們要充分掌握求不定式極限的各種方法，比如 利用極限的四則運(yùn)算、利用洛必達(dá)法則等等，另外兩個(gè)重要的極限 也是重點(diǎn)內(nèi)容；對函數(shù)的連續(xù)性的探討也是考試的重點(diǎn)，這要求我 們需要充分理解函數(shù)連續(xù)的定義和掌握判斷連續(xù)性的方法。其次，對于導(dǎo)數(shù)和微分，其實(shí)重點(diǎn)不是給一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)， 而重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導(dǎo)性。對于積分部分， 定積分、分段函數(shù)的積分、帶絕對值的函數(shù)的積分等各種

5、積分的求 法都是重要的題型，總而言之看上不好處理的函數(shù)的積分常常是考 試的重點(diǎn)。而且求積分的過程中，一定要注意積分的對稱性，我們 要利用分段積分去掉絕對值把積分求出來。還有中值定理這個(gè)地方 一般每年都要考一個(gè)題的，多看看以往考試題型，研究一下考試規(guī) 律。對于微積分部分里，隱函數(shù)的求導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等是考 試的重點(diǎn)。二重積分的計(jì)算，當(dāng)然數(shù)學(xué)一里面還包括了三重積分， 另外還有曲線和曲面積分，這也是必考的重點(diǎn)內(nèi)容。一階微分方程, 還有無窮級數(shù)，無窮級數(shù)的求和等。充分把握住這些重點(diǎn)，高數(shù)部 分考試的內(nèi)容比較多，數(shù)學(xué)一、二、三級農(nóng)學(xué)數(shù)學(xué)要求的也不一樣, 所以同學(xué)們可以根據(jù)大綱復(fù)習(xí)，扎扎實(shí)實(shí)的打好基礎(chǔ)

6、，在以后的復(fù) 習(xí)強(qiáng)化階段就應(yīng)該多研究歷年真題，這樣做也能更好地了解命題思 路和難易度，從而使整個(gè)復(fù)習(xí)規(guī)劃有條不紊。扎實(shí)的基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)，合理的自我規(guī)劃和練習(xí)，逐步解決 高數(shù)的重難知識點(diǎn)，同時(shí)也對出題者命題思路有了一定的了解，如 此，考研學(xué)子們定能在自己的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)領(lǐng)域看到豐碩的果實(shí)，相信 最美好的結(jié)果來自堅(jiān)定的自我努力。色里定zL圖例咚叼若嚴(yán)咯不喏號成匯、兩格產(chǎn)搟單網(wǎng)上升（下降）有罪杓X界性 周附性第地在U上定丈, 若存在M A 0,他將時(shí)任 京的#丘D,均有 |貝上）|嚏粒直存在 皿.旭使得皿在IJT ） E M成立）.則稱函數(shù)汽*1 在.占上是有界南數(shù)函教/*在.D上定義, 若對11意的MQ,

7、都存 在& E熱便得 1/（）I ）帆則稱yr/在ur.無界區(qū)陶柱T M川心的定常 域?yàn)榭?，如果存在T > 小帔/對修點(diǎn)的* E療 均有*土 r6口且汽 + 門h/U）承立.用初 ,為周期南微，T 感為函時(shí)的,4周期. 通常所說的國赳為域小 正周期即閑散的圖誰行T尸_賀與, -=府之網(wǎng)恤小工】-:在。.+e）上無罪，困力時(shí)任點(diǎn)的 1V >。取4-,#1- » rl > M若T是N4的周期,就門）f<r- kT） = /<s.）. 就身單數(shù)hi* 川2十必Q口法左犯星一 十以fI為周期的雨數(shù)35 1.1 -3 基本初等房敷名稱定義式及性質(zhì)常數(shù) 網(wǎng)工

8、） = <?,（- B q 口 V + B ：. 而數(shù)過也口點(diǎn)的卉然«*定鼻武及性加圖例反三角 福君反 JE無函數(shù) / = aroint 8（- 1111K塞、與安6 可生壟/1二J7M反漿碗帚* J iUUUUP f + （ " 1W 工。1,0 -,w *）rJ771101*，反正切前我V = irctau, （- *&< I <* », -y < 7 < y>V*JL.k -J-t.反親切遹效y - nrw<4jE.i（»堂< *無*.0*y < it）y ana >at i -&

9、gt; > 、Jf.<_.0*分羹定文補(bǔ)克說叨到 i lliiti » =白對任意的.>n,均存在g使得當(dāng)可 > 府時(shí)怛據(jù) L眼 .H 1 «q - a 1 < £*1,2-1槌審定義分更定義補(bǔ)充說明函數(shù)極限；lim/tir) = AF對任意的r A仇均存在占卜山使得.當(dāng) 0 < i jk "1 < 占時(shí)倒有 1 /(箏) -4 1 < <lim/( jt) = A對住您的( >。，均存在A > 0,使博當(dāng) i X i?，時(shí)機(jī)方 iy(j) -Ale(用版的第A槌限Jing JX#)1 h

10、 AT對懺立的E >。，均存在45使用當(dāng)口 < * -配竭#時(shí)恒吊f 1八*) 一1 V E右板般lifii/(i) s A f對任意的2 % %均存在得A 0.使得當(dāng)0 M 為 - . 噌 S 時(shí)恒有 1 jf(x) = A 1 < .主極限lira jXiit) =1 A x+.然升息的E >。聲布的X >小使砰當(dāng)H A £時(shí)恒 有l(wèi)/M-/ |< CLm /ti) - AL-，對任意的E >均存在N A。使得當(dāng)M <- A時(shí)恒有F人工)-A f< 42-2序列槌陽的性質(zhì)椎-tt若序列1 H的極限存在，解根限值是惟一的有界性若

11、序列|笨有救限.劇序網(wǎng)1-1有界有序性丹與忘F.：> %) EI l；i金*4”，=星期。星60一n設(shè)J/的極限存在且lim國-= b +則 L.L(1) lim ± -) = a * i 5= Jim 堂 lira I用運(yùn)nqr-i，""1(2) lira (/ ?二 a *» liraj.* Kra .ift-F K-«f 姓 fff(3)若 & ,0.則Ihn 丁 =.=.in T* 9lin Tb.L.L潰(.H在0的某土心印域內(nèi)有：爪Gw注：知i-H . = B以泉 上 f唏.圻田美似靖果jQ 石it )-11 輸 L.

12、【才 I i os A ( ff) .4l,飛時(shí)tim/的單 惻 提 限 可附y(tǒng) = ft r) ill孫的某去心鄰域內(nèi)存定 %.則hidJKi)存在的充分必要條件星 J%ImRk q lirn汽門療力JI.川等用：對*&,農(nóng)類也菇果瑞亂FV 51.2-5 南個(gè)重要極限融軍朦N芷 堂-,wi nx 力陽=JIJ1+4T *茅工.時(shí).網(wǎng)h) 4 cliMl 5 "滬=h 一口八,其中口可以走孫.吟土吟唏.而等lien (1 + )* - e上 j 0Jt1I |jm( 1 +，彳=*ii 2 I'm ( 1 * )=a若K f 口時(shí)/(*) * 0.則1M 1 + /X

13、i,)= rh* 口城中L Nj以層方.», 18.端，瑞等1.2-6 常用已如報(bào)限*1.23 函整極限的性質(zhì)維一性若橫限|加人*)存在.如極取值陸一，注：時(shí)Tf p.f碗"f 0 等,完全弟似局部 有界性若將眼lira/(*>存在，的函做*hJ在1 I利的基小去甘邵城內(nèi)小界拄c劃量F離dF M 忘+ t " * 等.有類似玷果有序性設(shè)花 犯 的裝個(gè)點(diǎn)心鄰城內(nèi)啟JKG 三 gC* J JL lim/tj )工內(nèi).lam t) = BtL,L%劇上2粒洞h駛 Um /X s = A R. Um 瞽f 式)=6 1則(1) lim /Is)+ <(x) 。

14、乂 士 " r fiHim A*)i Jim jt( x) tl飛一,(2) -力背 a；lim /t x) - lin& jr( .¥)L%r十七(3) 若 E 1 Q.則 Rm ,：( = -=L%洋同上*1-2-4融齦存在的我1別準(zhǔn)則遍碑 或定映tsJ/xLU 三序列橫足；(O(,具含 M)C 2) IJm 端=li由 3n. = q串 iif-" r'j. "一M Una 宴q , aJT-" 一單謝通用有界的瓢何必有餓限單涮遞減有下界的數(shù)列必宥極限1lim 1-«-0#=0p<2Jlim 4=1(>

15、; 0)，一*lim q”=D0 (r 1 < 1)lnLt四iUe '3-* - 1H -* 0lim中T父_Ino ( > Q)IF m3上,.一-】 1Lum. 1j-Cl T事堂1f受.芷4堡01超堂0位”通峰苦和理雪川*史g或*1堂#tfX1置4置*h堂d§ 1-3無窮小量與無窮大量« 13-1無窮小厲無勞大的定義定更用注及例子無 窮 小 a極限為。的變量將作無方小旦例im.=%則1/稱作無窮小盤 H ,坪 ”) = 0,則丑林作當(dāng)M f 0時(shí)的 無窮小步維f %時(shí)的黃 杳大量若時(shí)任意的川A4存 在6A。佳蹲當(dāng) 力vlx-qlV苜時(shí). 恒有1門

16、的！ A M.期 稱/(父)為* f有時(shí)' 的無客大量，記作 |ie4 /1*)-.*飛注二同祥盯定義士一有尹一瑞時(shí)的 無窮太董,誣可以定*后尺£)- 土 0. m時(shí)的無 窮.大量若時(shí)任.意的M >小存 在，A 0使得當(dāng) 1 巾彳時(shí)恒有1 51 i >此則稱網(wǎng)工) 為ik時(shí)的無弁犬 量，記作=»L 柱：缶同樣可定義工f+ H,M - H時(shí) 的無帝大微可以定父Um/U) *士 B等JT-* ,« 1.3 - 2元育水與無交人的性質(zhì)性質(zhì)無害小房<0 有限個(gè)無窮小量的制、差、根仍意是兀套小餐（2）無窮小后乘以籽界變境仍是無對小量凸）1 鳴久kJ

17、 - Affix1） = A + “*,其中“也為 #f 口時(shí)的上野小量 a 。，.#3 7*-*）>剜 L也 g = 1 咯 5無方大目無力小的 美系（J）若Ah）為-一時(shí)的無窮小且。4 .7同%為 品f 口時(shí)的無窮大量（2）若網(wǎng)上）為一匚時(shí)的無我大刈者為Mf 口時(shí)的 無舟小> 1.3-3 無究小階的比按定義記號設(shè)均為*一口時(shí)的無死小 量式山與人。為同階 工穿小量如果照貂=式*）與/.）為等價(jià) 無窮小如果地招工】/(*) - «GM,f 11/（3為八6的高階 無窮小WUU）為其蟲的低階無中小）如果息留M由=- Cr(/tl)F(4武用為武必的卜階 劉明小其中i >

18、; 0為斯數(shù)J加聚始口衰1.3-4常見等母無我小的例子(，f。)9iJt2 je Bt-ajk.t e *i - iptjfii* -g-Jr2e* - 1 - x.ln(1 + sr) « -z+/1 + m _ 1 -=>iT-un4n% xuxcIulz e f蹩335+殖應(yīng)喇頜小吟海會酊女餐及*§】.4函數(shù)的連續(xù)性司5#聞班造必X?占毋嶺3MHi苒通理會學(xué)言譬*1.4主要內(nèi)容及理解記憶方法表1.4-1 連續(xù)的定支三個(gè)等直又沒T = /<±j祚.口的菜 個(gè)哪或內(nèi)方定義，如果 J1CD A ）=.K £*7 1 ML1布酶敷r = fix

19、）在北 撲，注情設(shè)函數(shù)丁 字汽在f 的某一鄰蛾內(nèi)有定義.=/（xq + Ax） - ft卬1 .如燼應(yīng)惻口了 = 0則稱p ±注%處連碇由T = KG在沏的基 -和城內(nèi)再定義.如果弟j if葩£ A Q,存/k天 >小使說當(dāng)1 £ -如 | 百時(shí)亞莉1 /（ H ）- /（見）| < f ,則都> =在姓連續(xù)左理詈右連若Y - NQ在爾的整個(gè)左鄰械-亂工rd內(nèi)盾定輿,H lim/C=不用），則稱y = 2在4處在旌域若下士 Rk）在卬的某個(gè)右鄰域：如. *!? * S）內(nèi)存定義且x）八句）|稱？' _ 工也如他桿連線若y =武Q在區(qū)同6內(nèi)

20、每點(diǎn)處均連續(xù).則稱/t*）在（可q內(nèi)隹期 若/f.在區(qū)間1fl/）內(nèi)容俄.且在工=H處右逐跳,W =力處左連續(xù) 則稱T =（力在明封上連或表1.4-2 蓋縫函數(shù)的性質(zhì)7 J人口在即處建俄的棄分必震條件足F =/（#）在利處酰左建握，又力氣緘注：常用干分段雨敷花分段點(diǎn)處連續(xù)性的討論設(shè)，-NGi =晨外在兩處均連越，劇/（ V）*，/Q tu腦3卡口）在5處也違虢設(shè)V - /（的在N F蜘，處，M =4*）在出工工口處或柒，F(xiàn)i lr1tM 4河），劇與4函數(shù)y = f.g（x）在約1處建續(xù)設(shè)丁 =人外在明用上建隆LL嚴(yán)格單弼.值域?yàn)槌?用，如其反函數(shù)* H76）售明£上存在，布b,H上

21、連續(xù)，并11單制.其單調(diào)件與原來隨數(shù)佗竄謝丹一致一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)注續(xù) E -注 這里冬日冬吵機(jī)身長彼，例如 y =皓初等函數(shù)，其定義城期& - h 0, .1, ± ±，匚 般不時(shí)雄這聊隅數(shù)的違讀件表14-3理1區(qū)間上連署函她的性質(zhì)怦憶林充說明.總值定理設(shè)y .風(fēng)H>在伍"上理續(xù).財(cái)y"/（工）一 理在以1上存在用大值與褪小值即存在 匕*Wn.d.使得對任有的hEF.打，均 電爐由后RQ £一有界定理黃T =工）在恒5上桂.帆T =在 明門上有鼻被L=人口在L&J】匕連續(xù)，則對任意介于 /（6）與式2之間的值-一

22、定存在EW 明- r這五條性質(zhì)中.閉區(qū)間篦要求 是彝史的，木可輕曷移帙.此 外.零點(diǎn)存在性質(zhì)顯燃為弁值 定理的推詒，有界性定理為最 值定理的推電1青定理疆胡設(shè)了，/在%內(nèi)上連鰻、且八在外 4匕的最大苗.易小值分別用履與叫胤時(shí) 任意7 61叫制,均標(biāo)在F£1匹打使部e r零息將花定理設(shè)丁二大。在。上連續(xù).并員大心, 48）+0,則一定存在EEQ5），使得網(wǎng)E）E 0歡迎下載學(xué)習(xí)必備袤L4-4 間新點(diǎn)及其分類定義分委 > h yx*） 在的的某個(gè)第痍km。*=加丹川,何A邛）在為處不茬鰥，射解 f r知為人*的可山間斷點(diǎn)去心瓠觸內(nèi) 有定義.K T N Ah）在題 處不迷蝮.則 濟(jì)與

23、為間斷點(diǎn)感 職 回 新 7aliE/（4） . l：E yX 工）存在.但 km/（力 T IkDi /（. X）.,L哈L有TLg則稼卻為犬工的跳既間畸點(diǎn)y r /（i）的 一不間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)J而«白，LM江外中至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn) 7小結(jié)利用左右權(quán)限存在且相等并等于逋點(diǎn)的函載值這1岳澈在某熹i± 續(xù)的花浮油給條仲，來判刷屋敷，錯(cuò)別是分段函數(shù)去某總處的連統(tǒng)性，間 斷點(diǎn)以及間斷類型是翡常有效的.利用燒堆區(qū)班等曲死窮性質(zhì)來訐算根 限.特列是與堂曼梗限相美的極限，墨#常簡核西；在利用闈區(qū)網(wǎng)上連域 的數(shù)的零點(diǎn)盧布定理證明堰的存在牲時(shí)-一般需將方程一磕牝?yàn)?,另 一端即為稀

24、重枸堂的晶鞋，本章知識網(wǎng)絡(luò)圖f定奧特點(diǎn)）性質(zhì)GT界性、單調(diào)性.的偶件J哥期件）磴飄，基本初等函數(shù)（定義、性啦、圖形反函數(shù)I復(fù)合緘函數(shù)卜瀛限序列俄RUE r界定又產(chǎn)著第數(shù)極限（£- /定義力媒限性質(zhì)雌崎柱和央通定理）)liift/( J?) alim /( x )左右極限無方人與無窮小定義物件而物的分類和比較（茹階、低階J司的、等周，士階;,連續(xù)與間斷第二章導(dǎo)數(shù)與微分M4K科曲崎里*1 顰§ 2.1 導(dǎo)數(shù)2.1.】主要內(nèi)容及理解記憶方法ft 1.1 - 1導(dǎo)數(shù)的定義名稱定義記號及哀達(dá)式函敷義工） 在叼效的 導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)r=八4在陶某一部域內(nèi)有 定義帶,.dr1凡3+有）-/（知

25、）lira /-lim-XAK存在，則稱函數(shù)/4在wit可尋.并 符嫉械限值耕作代工）在用處的導(dǎo)致/'3)=.+ As - f(.x<j) 工卜 NG FGf工”函數(shù)/土） 卷物處的 左臂數(shù)設(shè)函數(shù)了 =門外在徹的某一左鄰城 知-也物內(nèi)有定義1若lim jir-H>"£念匕空E2存在，則徐之制Y=G在M處的左哥數(shù)尸. g H.G叼+ &1-人為)函數(shù)y - 汽工）/孫處的右導(dǎo) 數(shù)設(shè)T = f1在刊之基不用鄰Jrti軟. 知+ J）卜.有定義,若lim 八國上孚二Zt也2存在.財(cái)稱之為 人.）在對處的向?qū)?shù)/ 3口)E'ju/£$&

26、amp;)-/(%)山na1函數(shù)/C八 在（fl,4） 內(nèi)可恃若函數(shù)網(wǎng)工）在C&J）內(nèi)每一點(diǎn)處均 可導(dǎo)的數(shù)" 在0" 上司導(dǎo)若函數(shù)八即）在-內(nèi)內(nèi)可尋+且在口 處在右導(dǎo)致存在，在h處左導(dǎo)數(shù)存在2.1-2可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)融的幾何意義可導(dǎo)與住遵的關(guān)系若由數(shù)網(wǎng)#）在富處可辱，剛武力一定在工處理班，反之不一定牛*與交、 有導(dǎo)數(shù)的 關(guān)系曲數(shù)/CJ在W點(diǎn)處可尋的充分必雯條忖越威效/（ 4在工點(diǎn)處的左若 導(dǎo)堂存在并性相等分?jǐn)?shù)的JL 何道尺若r = HG在覆處可導(dǎo).則LQ為曲 F =*行在用 切線的斜率切戰(zhàn)方程r J /（0）=f '（x0）（x -項(xiàng)）牡迪1r知ft. &

27、#39;、t .5 就刀 W t y _/ L陰J -""/'1工j lh一二序?注 /r（*J = «*示的筑了=/U）在f-JGGJ處有箝* 切幅法則定理或公式明則達(dá)尊設(shè)函敷汽幻.式#在點(diǎn)£處副導(dǎo)，席±?。㎎G） - f<JF）.魁（貝。"在H處均可身,日O /（*） ± gdP = /'£#） 士父2）5）* *m 士 /（*）<（»）*/（*）（*）町夕?r =%"色二妙表2,1 _ 3求導(dǎo)法則學(xué)習(xí)必備歡迎下載制今函數(shù)求導(dǎo)設(shè)u=所行）在工處町用r = /（&#

28、171;J在& = .G）處可尋，則復(fù)價(jià) 函數(shù)r = /（占L*）在*處可導(dǎo)，并且5晨GD'=川雇工小”工）隱函數(shù)求號若函致了匕/（口滿足點(diǎn)鋅= .同部丁，/>是本 程F”,p =。所精定的隱函數(shù)一求導(dǎo)時(shí),只須將方程FS,” = 。中的T找柞/和南散1海邊時(shí)*求導(dǎo),最后薨理出丁 =爪*-，） 的祥于即可新效求洋怯先能方程兩邊版對班r利用對數(shù)性質(zhì)將來除化也加睡，方都化柞 果除.再利用曲能數(shù)求導(dǎo)的方法來求導(dǎo)，一股用于.多個(gè)因子迎來 除，笄方，索方我形如N 心 這樣的函數(shù)反函數(shù)求導(dǎo)&語致X =式”在（jd） .匕產(chǎn)格單詞且值域?yàn)镼"）,若您= 貝”在C人可導(dǎo)電

29、剜跖甌 FK*'g*）上可導(dǎo)且/）=為=中'【KGl<2.1 -4常用墨本求導(dǎo)公式§ 2.2 高階導(dǎo)數(shù)與微分普湖f官警*醇對明祗兩內(nèi)2.2.1 主要內(nèi)容及理解記憶方法*2.2- 1高階導(dǎo)數(shù)的定義及具基本公式1（.£），= *金 常數(shù)）1 (axthRg r = =»3,=；(arelan” -亡 *(Jr!寫了 餐 cnssi(arcwEj)" k-j l1 .，*(CMS )H S= = dins 1(¥).= e1;工 flrlnar(tf > 0,a / 1);(In I I =; X(限 13tly =/ i

30、)底前導(dǎo)奴的定望Sy -的/嚙數(shù), - f'4一可用.稱p r1（目的珍斂（/'GH*為T =小川的二的導(dǎo)致,記柞丁氣/成富設(shè)F = /（3的二階導(dǎo)鼓> =/”力可，姆林7中"3的導(dǎo)數(shù)U"G）r 為j工爐hJ的三階導(dǎo)數(shù)，記作JYhJ或名設(shè)f =外外的n- L階導(dǎo)第r =/*”"?？蓪?dǎo)國稱三廣-巴外的胖?jǐn)?shù) sy為y =父小的兄階導(dǎo)蛾,記作#心“）成亳USM力±近工打p - /文4± /叫幻性Wc- c 小叫.)航(3)u(a.T 4 后)卜川=u'z(g + A) * O."1I)(J(-= mt.m -

31、l)Jii(m 三 r + I)力*'(0 < 兄 s m',本（）3三“！ 3為正整數(shù)）性河產(chǎn)-甘公(nln(J + x)E = (- I)*1 裳T(1 + i)?式(4Msinjr»" .= ain(£ + n * -y)(5)(盤曰幻*】=«M(as + n- -j-)的1工+"二J）"+產(chǎn)表2,2 - 士微分的定義，幾何意義一定義i&Z =川6東工.點(diǎn)的監(jiān)學(xué) 鄰城內(nèi)有定義.若,=人.2 在“如的皓母與 > 力士 + Ax）-義小町表水為； d> = a + a 一占， 其中丹僅甘H府

32、美而與& 無關(guān).則柞F：/（力花工處 叮鉞:并稱為的戰(zhàn)模部分乂 ，小彳為y =父* ）存h處的 酒分-記件辦H # ,必 t禍 Ar - dx）ft 2.2-3 澈分的性質(zhì)_可可易可導(dǎo)咆箋大微小的四璃匡算函數(shù)總公在，處可悔g/在,處成號.且b=丁"*汨工(1) d( it 4 / =小，± d tf(2) d(u - i') 1= td摩卡詞七(rX ft步V義合函鼓相俗分廠- 階餓分的形式小交處若1 =。心"=9 G均可謂，則復(fù)介函數(shù)了 =八4也 可微一旦其撇分盯=/-Ui）dU學(xué)習(xí)必備導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)與微分本章知識網(wǎng)絡(luò)定義定義左、右導(dǎo)數(shù)1錚數(shù)存在的充分

33、必要條件幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定義(左、右導(dǎo)數(shù)) 基本公式 四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求號法高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法.定義1微分即導(dǎo)與可微的關(guān)拳1微分的基本性質(zhì)及求法第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用8定理圖 示兒何意義羅爾定 理 (ItoUc)設(shè)函數(shù)y 士人力滿足 (1)在"kA. AO 在(a.b) 內(nèi)”府(3) Ai) = /(幻則 至少存在一不E W (4).陡用:/ 一目 =0萬CA二 ¥ M Q.a W占工如果一連續(xù)曲統(tǒng) 除去端點(diǎn)外.點(diǎn)處均育切稅 或鉛M的，井 且曲線闞礴點(diǎn)的 姒型標(biāo)相同,期 曲稅上一定行 點(diǎn)，式切縫是水 平的囊3 3-1微分中值定理

34、設(shè)函數(shù)T =(I)心，拉格朗定珅 g艮- rangc)淺續(xù)(2) /(1 在-.A) 可.導(dǎo)則至少存在個(gè)W外依> =/"啜f")也曾表為仙J-&)-d)X6 -B)如嗯連續(xù)曲紐I 除了端點(diǎn)*Mt有 雌(耳鉗&).物 在箕上也有一點(diǎn) 口其切踐平行于 嶙邪腋超柯西潮1(M>g)設(shè)P破g,距曄： 銀明立摩院 0)在a內(nèi)可守則至我且正式6】-國口)-g-ff)* f(bif( a)A=g( J 小/52< 6X同上，只是由 螳由強(qiáng)數(shù)方程 J * H晨力 /(») d城f毛匕給山0/、/ gt用技招朗 U中年 定理的推也搐論1若/<x

35、)在”/上連續(xù)，5")內(nèi)旺導(dǎo),邦 且尸,) = 0,x 6 (tf.fr)=堂數(shù).X t 1 u J !雁施中區(qū)間可改 為d * # 8 ). ( _ g q B 以及 I U . b).(明代等.推詫仍然 Z成立推論12若。冷.孤j在：/心上誣雄*外內(nèi)叮9.且fYQ =(*幻，用/(.*) =式工) C £ E 跖、此中)為一個(gè)較數(shù)6 < l>歡迎下載看里kT*I*451枷sy*簾咫»*TjrxHfir*i?g*”望*»的磔空§ 3.2 洛必達(dá)法則與函數(shù)的單調(diào)性3.2.1 主要內(nèi)容及理解記憶方法裳3.2-1 溶必達(dá)法則梃題等件&a

36、mp;生 01(1)/0,4、)在0的某去心鄰賊 *，1G. 3)蟲連續(xù),11-)=lirnX( *) = 0工一*曰編f*°(3) 川*)s(G在>k*) 1；可導(dǎo),且 /(再) 00)心/二兵=為有*敕或* a ),.M ,. /?(»)UAL t =皿 Jyv-7X r艮 g tx.) 士 k注i當(dāng)u三工以有資假定理0一 55M設(shè)hi在口的某去心等域內(nèi)連鰻,且打礙") = linigt.?):L。as(2)八*),工)在651n上可綽，且力工)H Q(3)1的£& = *為有限數(shù)電± g )Lii g X1sm= iLG g

37、Lqg (工 J注:當(dāng)& =18時(shí)，有類似 定理不定式舞出粒化過旄0O JfeHB0，m = = ： IDT (J H OEi - = 1。-«I01»7v11110-0口r» l匹"-"-|-i-o-o - 0*0-0- - - so,E*1* =7 .小避湃力=n 4 =/ 3* J .2 - 2其他類型不定式轉(zhuǎn)化為噂IS- 型定理t設(shè)隔數(shù)y =/(外在儲/)內(nèi)可導(dǎo)，并且尸(XX<0),xE (a, 小則y u/Kx)花(3幻內(nèi)嚴(yán)格單剜通蹭，遞減)定帶2設(shè)函數(shù)y = /U)在«"上述魂母(0,&)內(nèi)

38、可導(dǎo)井且廣G) > 0( <的工匠45劃T = f(x 4Jd.fr卜嚴(yán)格單,遞用也>0注U) 跳上兩京現(xiàn)均可推廣無窮區(qū)間(2) 注意闕定理的總蜘,科時(shí)森要討論端點(diǎn)時(shí),一定要再晦住端點(diǎn) 處的連縫性，例如在用單雨忤證明不等式忖<3.3-3函數(shù)的增糠性判別法學(xué)習(xí)必備這餐的或出如俘哂E厚*由理班而gs中兩*右磁#薛v*詼困gm內(nèi)事§ 33 函數(shù)的極值以及最大值和最小值3.3.1主要內(nèi)答及理解記憶方法表3.3-3 求函數(shù)極值的一觸等舞第一中:畸定函數(shù)的定義域第二步:求駐.由，'（± - R熊出駐點(diǎn).并列由導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)第二步:用攢值存在的充分條件判別

39、以上點(diǎn)是否確實(shí)為極值點(diǎn),若是，求出魄僮定 X樸克說明赴r*）在工匚的某個(gè)鄒岐 內(nèi)有定義（1若花的的某個(gè)去 心鄰地內(nèi)恒有#幻 式飛， 則鄙人為）為的數(shù)r=八大的 放大值門口稱藥俄大值點(diǎn) （冷若任時(shí)的某小士心鄰城內(nèi) 恒白八力 網(wǎng)粕3黑稱 人知為伍敗了 = AQ的極小 由1叼除我被小俏點(diǎn)（U糧大信與橫小假新林板值，微大位點(diǎn)與 投小值點(diǎn)統(tǒng)稱板值點(diǎn)（2J楣值處個(gè)局部概念.北定文中的鄰域 究竟有考大說羌紫要.而最值泉大加，鼎小值） 是一個(gè)重律概念，足刈于整個(gè)房間W宮的表3.3-2 極值、極值點(diǎn)注；理轉(zhuǎn)忐或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)段多用，列表用第一充分條件判別比蛟牌捷.*3.3-4 求間區(qū)間I0"上函蛻/U

40、的餐值的一般步舞第一卡;求導(dǎo)得丁，6）,在新討論區(qū)司心鵬）求出廣（*） . 口的海：笫二缶1在h,G內(nèi)，求出/'W）不存在的點(diǎn)¥g、h丁寺:計(jì)算出第網(wǎng)掉：比較第二步中計(jì)算出的面敷值，最大游即為顯大值，短小的的為知小值判刑定理補(bǔ)充說明勢奧役函數(shù)月外在與處可碧并且川山在.處取（1）若'1q）=， 明癌叼為函數(shù)近工） 的一個(gè)駐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)行。的總不 一定前是被值點(diǎn),郭條杵得樨值.則/'（»）=.如近幻-4=oG）根侑的必暮條 件說明了：根值一定 發(fā)生在斑點(diǎn)或?qū)?shù)不 存在的點(diǎn)處羲3.3之 極值料別法曲剪FrfTMPaTw裝城FMfKHT言皴第P哨m*3心%F噸&#

41、171;（曲通§ 3.4 曲線的凹凸性拐點(diǎn).漸近線以及函數(shù)作圖理神去好鱉事船hMe曹舟學(xué)修蟄姆丁班投mist國曲峨鍥后吭質(zhì)能W置E口f3.4J 主要內(nèi)容及理解記憶方法會3.4-1曲衰的凹凸性的定義定義幾何意叉 唯列引定理樸奇說明城函簿人¥）存叼的某個(gè)如現(xiàn)標(biāo)“用內(nèi)違領(lǐng).在去心鄰城反頻述尚可導(dǎo).第一(1) 君當(dāng)%-自 X W %時(shí)./'( A d而兗分當(dāng)iV M V知+4時(shí)，廣（G 則八網(wǎng)】為條件糧大值（2） 若當(dāng)w -占 w 孫時(shí)Jr C * J v通而 當(dāng)*P 工 頊+占時(shí)/'（ 0,咱與曲】為 械小值改函數(shù)小在 小 的憂個(gè)鄰球 淡如,苗）內(nèi)可第二殍,目V

42、= 0,，F(xiàn)斗）存在充分門） 若/一工3V 0,則“%為極大世條件（2） 若/氣環(huán)）A5則真知）為橫小他（3 若/F*G =必不能磷定說雨救人工）在區(qū)間/ 上年續(xù)-如照對上任意網(wǎng)點(diǎn)*. 1 M?且HI/也百K/（喜 1）+ f（xj2劇棘以M）在J上的圖 磨是向上）凹的f或 下凸的）設(shè)函數(shù)總司在區(qū)間I 上畦續(xù)，聞聚對ttf 意西志工L rXi JJ. X） ft 與恒有A巧力 了叩十式W2則稱六M）在j上的圖 形是凸的向上凸若曲蹋上任一弦的中 點(diǎn)位于#1線.方.期 曲戰(zhàn)為凹的（向下凸】著曲找上打一弦的中 點(diǎn)位于曲線下方，則 曲域?yàn)橥沟墓?工 曲線凹凸性列別定理設(shè)式#）在區(qū)間”一連續(xù)r在民間/內(nèi)

43、二階時(shí)界般I（|） o.i e，.則汽jo在上的圖冊是叫的（2） £/-（,*） 4。0九螞H/在F匕的明脛是凸的（其中示去掉的標(biāo)點(diǎn)用禪到的TT區(qū)同）表3.4 - 3拐自的定又，推質(zhì)及判別法義性質(zhì)判別法設(shè)/（工）在利的某個(gè) 鄰域內(nèi)連 續(xù).若曲線r = M 在點(diǎn)（",粕»的兩 側(cè)P1凸性正好相疫， 則播點(diǎn)（叼./（f>）為 曲線丁 6*）的一個(gè) 拐點(diǎn)若初（1»為的線 H N*）的拐點(diǎn)，井存在.則- u出網(wǎng)4在叼的郭城區(qū)演評） 內(nèi)違續(xù),在去心鄰械R%,外 內(nèi)二階可守,若嚴(yán)仃“1:知的 左、右鄰域（時(shí)-占,0）和£» H+為內(nèi)符弓相反

44、, 踹（處. 近4n為曲線話 =收、的周 點(diǎn)注:由以上性質(zhì)可見， 指點(diǎn)只能發(fā)生在二階 導(dǎo)數(shù)為?；蚨A導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)處，表土4-4 曲城的漸近線水平漸近綴Lim/1(a)-4成 Wu/fx) = A或 lim A st) = 4,電 L%f /&HAf BVy - A為曲端y = f3 的條東平ift近線垂直普近線若 lim/(=)=岫或icn 男士)= r» 或im。/ = b ,則*f*5l±；h =。為曲線T =/（h）的一條垂直潮近戰(zhàn),斜斯近教若lim- % Em LA工 - ax' = b故存虬刷百統(tǒng)y1'= WHj="P=rg十

45、方星曲線3r = yt工）的新近綴（也可鞫富f 0現(xiàn)為* f廿1M或¥ » 一 Ef結(jié)論不變）衰3.4 5酶定曲線y = /M的凹凸性、拐點(diǎn)的一般步理第一£：崎定函數(shù)4Q的連墟區(qū)間簫二步：求出二階導(dǎo)數(shù)/氣1）,展出，/土）= 0的根以及二的導(dǎo)致不存在的點(diǎn): 馬，*士，,以第三坤：由以上點(diǎn)修，小格連續(xù)區(qū)間分成若于區(qū)間.列表討論/叱公的符號 第四步：根據(jù)/,編的符號，判物凹凸性區(qū)同，以世拐點(diǎn)袤3 4-5函數(shù)作圖的一般步驟蒲步;求出函數(shù)的定義層,并考察鬲Sr的奇，屬性.周期性第二步:求出了YQJYQ,并選一申求出/r（» = ，/氣J 一 0以及/YG， 不存

46、在的點(diǎn)簫三步,以上點(diǎn)將定£區(qū)間分成若子區(qū)，列表時(shí)澄的符號，進(jìn) 祖城罡/（小的單閑區(qū)間.凹凸區(qū)間、極值以及明點(diǎn)第四攆1求出Y;A*的漸近繞第五蘇；計(jì)算fl個(gè)持殊的點(diǎn)的函敷值，崎出網(wǎng).形歡迎下載唯1審一安奄,姓逐御堂看整臉洞網(wǎng)觸編曲呻*甘峻曜西抵觸曾布雋鵬應(yīng)滿方用冷§ 3,5微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用喳*7宣里他”號*里時(shí)Wi寵蜀曄¥嶗修既握圖理防空*樂崎守物卷通修形3.5.1主要內(nèi)容及理解記憶方法3.5-1邊際函觸的柢念及常見邊際函敵的經(jīng)濟(jì)意義定義就學(xué)及舞怖解胖邊 際函設(shè)T =/U）在區(qū)間/內(nèi)河導(dǎo),利林 導(dǎo)前就廣幻為調(diào)數(shù)”鐘的達(dá)標(biāo) 函數(shù)J Y，）在即f /處的值?。?八7

47、 ”義工+1）kg re由此青牛出經(jīng)濟(jì)學(xué)中各理邊際量數(shù)/'（如）褲為邊際雨救）由的經(jīng)濟(jì)急其曲 際成 本設(shè)總成本南魏為Cr =.其 巾。加產(chǎn)減.則牛產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品 時(shí)的邊際成本函敷為：g（。）q - dQ之 Crt<?） - CtC*?-1） q 0 cr（? + i） r cr（o） 因此Cw（ 0）可近似地理解為生產(chǎn) 。個(gè)單位后增加的那個(gè)單位產(chǎn)觥 所花的幽本或生產(chǎn)0個(gè)單位產(chǎn)品 時(shí)最后一個(gè)的成本邊 際 收 找設(shè)總收蓋函款為詼-即16 .其 中。為產(chǎn)房，蛔鉗裨Q個(gè)單位產(chǎn)品 時(shí)的邊際收益為：R 如。）*中doRAQ）-后（0* 1）-斯 Rft（0 ） Q f?T（ y） Hf（ Q

48、 1 ）, 因此.為B）可近似地理解為情 陶。個(gè)單位產(chǎn)品后再鋪售的那個(gè) 單位產(chǎn)品所得的依益或硝年第。個(gè)單位產(chǎn)品的收益邊 際 利 潤設(shè)總利祠函.數(shù)為制=冠。）.其中Q 為產(chǎn)量，照1銷售。個(gè)單位產(chǎn)晶時(shí)的 邊際利潤為h*qj tb 瘋？ + 】1 - M。） m«（Q）- j<Q - 1）因此，?。≦）可也低地理解為鎮(zhèn) 當(dāng)?shù)凇?1或P個(gè)單位產(chǎn)他的利潤*3.5-2 彈性的慨念及常見彈性的短群富又定式數(shù)學(xué)生鯉濟(jì)解律麗 敦 的 彈 林設(shè)陳Str = /（G在區(qū)間/內(nèi)可導(dǎo)，X £ /S = R* * &G）u K 屈）:，則稱 ，出學(xué)3 =興/5 為雨效網(wǎng)用在虻的彈性E如迎

49、生一"）.工M平均函敬5 x金需求的格氈性設(shè)肅求廉融方a =。（P）,其中產(chǎn) 為商品的陸格，購需求對價(jià)格的彈 ftfttAD dF 如FT心口1>E3加星, 卞1Hl皿必P即方y(tǒng)E肝因此,需求彈性的輕濟(jì)意義是：當(dāng) 伯格提高（M/）用時(shí).簿求越將 質(zhì)變勺>茹<一錦JS A.5-3 總收越，邊際收益與需求伊格彈性的關(guān)簟嬴藁屆贏謁麗7>17ch其中產(chǎn)方希格,蜘胞收M為:Jtr =鞏出?邊際收益：% =出小工）當(dāng)四=i呵.總收益JKK學(xué)習(xí)必備歡迎下載本章知識網(wǎng)絡(luò)基本性質(zhì)羅爾定理中值定理（拉格期H定理兩個(gè)重要推論 【柯西定理U）今【/（H）或 d= y（H）dif（2）

50、，#）d£ =雙方 + C 或 pF（i） = Fs）+ C（3）J蟒（4鼠 仆為常數(shù)）（4） J 1正磨）上式工）1 &* = Jy（x）di七J屋*）小工珞必達(dá)法則（用千求噂一' 8 ' OJ*，0*t ® - R.B°型中蛀點(diǎn)的定義極值的必要條件H,建單調(diào)性與極值d判別械值的兩個(gè)充分條件理甲調(diào)性的判別法及凹凸性定義導(dǎo)判別法數(shù)凹色性及作用彳拐點(diǎn)的定義的漸近線應(yīng)、函數(shù)作圖用利用中值定理利用函數(shù)的單調(diào)性證明榜式的方法利用最值1利用凹凸性不定式的極限L連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理方程根的討論歸列別根的個(gè)數(shù)I函數(shù)單璃性g存在性證明恒等式（利用拉格朗U

51、定理的重嬖推論 (3)(4)(5) (7) (11)(12)(13)Hictanx + C =-arwoLc +(14)§ 4J 不定積分崎P修督金如的?*至#T省備松時(shí)整戌*峙f*的崎|"tan*d* = - In 1 ss* 1 + C4,1.1主要內(nèi)容及理解記憶方法«4.1 - I原函數(shù)的概念及性質(zhì)若對區(qū)間1上坤點(diǎn)工.均力廣1*）=/（*1或= f（x）Ar.則韓FG）為函敷AG花區(qū)間I上的個(gè)掉的數(shù)性質(zhì)一/r在件若/（工）在慎間1上電原函數(shù)網(wǎng),），則它有尤秀惠個(gè)泉旗數(shù)，并且這憑酬 第個(gè)用畫數(shù)時(shí)表示為F3 + C,其中。為仟意密敷若川琦在區(qū)鬧1上述譙,則八,）

52、在區(qū)間I上行原雨散.在血，初等函散 在其定義區(qū)間內(nèi)違續(xù).從而一定有原班數(shù)表5】-2不定積分的黯念及基本性質(zhì)設(shè)¥ =。力在區(qū)間I上而定義.我們稱AG在區(qū)|可I上的摩帝敷的飛博為 定 義）在1上的不定根介，記作J/U）d" 文 注:若X*是正的一個(gè)原南敷.如Jt）d» = F（ r） + Cfem寡d;r = In t sin/ I + C表4-5 常用積分方法方法比都內(nèi)容旗旗分法（第一挨元在）若j/Cu：)(加二產(chǎn)3 )+ c. Mj/ y(s) (t)djtf = jyl( js)j<p(a) = f取玄) c檢死法1第二接元法設(shè)* =虱G為里詢因號麗欲口爐h） .。.如果=雙力 + c則J/（i）ds - F用t（m）+ C ri-c（- 中產(chǎn)+ Gj j 4 -2 g| 2tdt 2八八馬其中第二個(gè)積分可用, f dt 2U-(t1 +求得1(7豹dti ksJF 2設(shè)（B =式外.=式力具有連微導(dǎo)致，則Haat-rlx = 回 工 ifl/dla 分部積分造田 我udt' = KP - J 而U小結(jié)本章主要感鉆