初中數(shù)學(xué)專題：旋轉(zhuǎn)問題

1、專題二旋轉(zhuǎn)10學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥:出題位置：選擇、填空最后一道題和倒數(shù)第二道題，壓軸題最后兩道四邊形等基本圖形考察學(xué)生“旋轉(zhuǎn)”在蘇教版中是一個(gè)獨(dú)立章節(jié)，在中考和平時(shí)的考試張經(jīng)常出現(xiàn)，結(jié)合三角形, 對旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。同時(shí)，旋轉(zhuǎn)對解決動(dòng)點(diǎn)問題有極大的幫助。一、基本圖形一：將/AOB旋轉(zhuǎn)至/ A 'OB',圖、分別可以得到結(jié)論? 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)會有一組對角相等( 考題規(guī)律，如果已知條件為較小的角度相等，則題目一定需要較大的角相等；如果 條件給出較大的角相等，則一定需要較小的角相等)二、基本圖形二：OAAW OB斯目似。將 AOB旋轉(zhuǎn)至 A OB連接AA與BB',分別在圖、中證明旋轉(zhuǎn)后連接

2、得到的兩個(gè)三角形相似。則底角亦相等；或根據(jù)夾角成比例證明相似。因?yàn)樾D(zhuǎn)的兩個(gè)三角形全等，連接后出現(xiàn)等腰三角形，頂角相等;三、解題步驟(1)第一步：找旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，角相等；(2)第二步：證全等、相似；(3)第三步：利用全等、相似得到邊、角條件。模塊精講例1.在銳角 ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45 ,將 AB微點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到 ABC.(1)當(dāng)點(diǎn)Ci在線段CA的延長線上時(shí)，如圖 1,求/ CCA1的度數(shù)；(2)如圖2, 4AB微點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接 AAi, CC,若 ABA的面積為4,求 CBC的面積；(3)點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在 ABC繞點(diǎn)B

3、按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) Pi,求線段EP長度的最大值與最小值.例2.已知 ABC是等邊三角形.(1)將 AB微點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0° V 6 V 180° ),彳#到4 ADE BD和EC所在直線相交于點(diǎn) O.如圖a,當(dāng)=20 0班 ABD AC既否全等？ (填“是”或“否”)， / BOE=當(dāng) ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求/ BOE的度數(shù)；(2)如圖c,在AB和AC上分別截取點(diǎn)B'和C',使AB=AB ,AC=AC'后連接B'C',將AB'C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0° <<180&#

4、176; )0得到 ADE.BD和EC所在直線相交于點(diǎn) 0,請禾1J用圖c探索/ BOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.例 3.（一）如圖,在 ABC和4ADE中,AB=AC,AD=AE,/BAC至 DAE=90 .當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖（1）,線段BQ CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 ？直接寫出你猜想的結(jié)論；將圖（1）中的4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0° V a <90° ）,如圖（2）,線段BQ CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān) 系？請說明理由.（二）當(dāng) ABC ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BQ CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立 ？不必說明理由

5、.甲：AB: AC=AD AE=1,/BAC4 DA乒 90° ;乙：AB: AC=AD AEw 1, / BAC4 DAE=90 ;丙：AB: AC=AD AEw 1, / BAC4 DA9 90 ° .例4.【2016 揚(yáng)州】已知正方形ABCD勺邊長為4, 一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC DC的延長線交于點(diǎn) E、F,連接EF。設(shè)CE=q CF=>（1）如圖1,當(dāng)/EAF被對角線AC平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)4AEF是直角三角形時(shí)，求 a、b的值；（3）如圖3,探索/ EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由。

6、圖1R2 （各用RD圖3例5.【2016淮安】 問題背景：如圖，在四邊形ADB計(jì)，/ACB= /AD由90° , AD= BD,探究線段AG BGCD之間的數(shù)量關(guān)系.小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將ABC喊點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ijAAE皿，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處(如圖)，易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且 A CD比等腰直角三角形，所以 CE= CD /從而得出結(jié)論：AC+BC= 1/ID.圖圖圖圖圖 簡單應(yīng)用：(1)在圖中，若AC=上,BC= 2裊,則CD=.(2)如圖，AB是。的直徑，點(diǎn) C、D在OO±,弧 AD=M BD,若AB=13, BC= 12,

7、求CD的長。拓展延伸：(3)如圖，/ ACB= /ADB=90°, AD= BD,若 AC= m, BC= n(m<n),求 cd 的長(用含 m, n 的代數(shù)式表示)(4) 如圖，/ACB= 90°, AC= BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn) E滿足AE= AC, CE= CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段 PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是.3例6.【2016 宿遷】 已知 ABC是等腰直角三角形， AC=BC=2 D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，將 CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 a得到CEF其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn).(1)如圖1,當(dāng)a =90°時(shí)

8、，G是邊AB上一點(diǎn)，且 BG=AD連接 GF.求證：GF/ AC;(2)如圖2,當(dāng)90° & “W180。時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn) M當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接 CM求/ CMD勺度數(shù)；設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)a從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.1.將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中/A1CB=/ACB=90 , / A產(chǎn)/A=30°(1)將圖中的 A1B1C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖，點(diǎn) P1是AC與AB的交點(diǎn)，點(diǎn) Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP=CQ(2)在圖中，若 AP1=2,則CQ等于多少？(3)如圖，在 B1C上取一

9、點(diǎn)E,連接BE、RE,設(shè)BC=1,當(dāng)BEX P1B時(shí)，求 P1BE面積的最大值.課后鞏固習(xí)題1 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)代3, 4),將O砥坐標(biāo)原點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)90。至OA ,則點(diǎn)A'的坐標(biāo)是.2 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，B C'由4ABCg點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為.(第2題圖)(第3題圖)3 .如圖，在 RtABC3, / ACB= 90° , / B= 60° , BC= 2, A' B C可以由 ABC§點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， 其中點(diǎn)A與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)AB,且A,B'

10、, A在同一條直線上，則AA的長為.4 .把二次函數(shù)y=(x1)2+2的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖象的表達(dá)式為.5 .如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，RtABC勺三個(gè)頂點(diǎn) N 2, 2), B(0 , 5), C(0 , 2).將AB6點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180° ,得到 ABC,請畫出 ABC的圖形.(2)平移 ABC使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為(一2, 6),請畫出平移后對應(yīng)的 ABG的圖形.(3)若將 ABC繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到 A2RQ,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).IVrViL . . J 11L _ _L _ _I1 L . . J . .b 11I

11、L . J .11N/L H « L iV 1LL.工 iciLVI1111L 壬J一IR0LXt 1L J .1LlbloJ一, 一 .la m -1IL L 1 I lL - - 1V1111L . 1 tL . L - .I *L -I1 111 L 一(第5題圖)6 .如圖，將 ABC繞點(diǎn)Q0 , 1)旋轉(zhuǎn)180°得到 A B' C,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a, b),則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為()A. ( a, b) B. ( a, b 1)C. ( a, b+ 1)D. ( a, b+ 2)（第6題圖）（第7題圖）（第8題圖）7 .如圖， CO國4AO晚點(diǎn)O順時(shí)針

12、旋轉(zhuǎn)40。后得到的圖形，若點(diǎn) C恰好落在AB上，且/ AOD勺度數(shù)為90。 則/ B的度數(shù)是（）A. 50 ° B. 60 ° C. 70 °D. 75 °8 .如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形 ABC用EFGH正方形EFGH勺頂點(diǎn)E固定在正方形 ABCD勺對稱中心位置，正方 形EFGHg點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為S,旋轉(zhuǎn)的角度為0 , S與。的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）9.如圖，把一個(gè)斜邊長為2且含有30°角的直角三角尺 ABC直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到ABC,則在旋轉(zhuǎn)過程中這個(gè)三角尺掃過的圖形的面積是（D）廠 3兀、/3

13、11兀V3A.兀 B.后 丁+ 2 D.可+ 4（第9題圖）（第10題圖）10 .在RtAABC,已知/ C= 90° , Z B= 50° ,點(diǎn)D在邊BC上，BA 2CD把 ABCg著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)nm0<rn< 180）度后，如果點(diǎn) B恰好落在初始 Rt ABC勺邊上，那么 m=.11 .如圖，等腰 RtAABO, / ACB= 90° , AC= BC= 1,且AC邊在直線a上，將 ABCg點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置 可得到點(diǎn)R,此時(shí)ar=42；將位置的三角形繞點(diǎn) R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn)P2,此時(shí)ab=1+«2；將位置的三角形繞點(diǎn)P2順

14、時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn)P3,此時(shí)AP= 2+平；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2016 為止.則 APoi6=.(第11題圖)12.在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為2的正方形ABCDT邊長為2#的正方形AEFG按圖位置放置，AD與AE在同一直線上，A" AG在同一直線上.(1)小明發(fā)現(xiàn)DGL BE請你幫他說明理由.(2)如圖，小明將正方形 ABCDg點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) B恰好落在線段 DGi時(shí)，請幫他求出此時(shí) BE的長.(3)如圖，小明將正方形 ABCDg點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段 DGT線段BE將相交，交點(diǎn)為 H,寫出 GHEBfA BHD0積之和的最大值

15、，并簡要說明理由.圖圖(第12題圖)13.在一次科技活動(dòng)中，小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描實(shí)驗(yàn).如圖，表盤是點(diǎn)A處有一束紅外光線 AP從AB開始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)ABC 其中 AB= AC / BAC= 120 ,在15。，到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn) 1 s,BC邊于點(diǎn)M BM勺長為(20 3 20) cm.(1)求AB的長.(2)從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，若旋轉(zhuǎn) 6 s ,此時(shí)光線 AP與BC邊的交點(diǎn)在什么位置？若旋轉(zhuǎn) 2014 s 位置？請說明理由.此時(shí)光線AP交,交點(diǎn)又在什么(第13題圖)14.如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/ 0=90° , / B=Z E=30(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定 ABC使 DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D恰好落在 AB邊上時(shí)，填