第五講離散型隨機(jī)變量

1、第五講離散型隨機(jī)變量第五講離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布§ 1隨機(jī)變量為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的 結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī) 律性，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí) 數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié) 果數(shù)量化，弓I入隨機(jī)變量的概 念.在隨機(jī)試驗(yàn)完成時(shí)，人們常 常不是關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果本身，而 是對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果聯(lián)系著的某個(gè) 數(shù)感興趣.有許多隨機(jī)試驗(yàn)，它的結(jié)果本1. 引例例1在一袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3的3只 球.在袋中任取一只球，放回.再取一只球, 記錄它們的編號(hào).計(jì)算兩只球的號(hào)碼之和.4563452341 23試驗(yàn)的樣本空間S=e=i,j,i,j=1,2,3.這里1, j分別表示第一，二球的號(hào)碼.以X記

2、兩球 號(hào)碼之和，對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè) 值與之對(duì)應(yīng)，如圖所示.例2將一枚硬幣拋擲3次.關(guān)心3次拋擲 中，出現(xiàn)H的總次數(shù)，而對(duì)H,T出現(xiàn)的順序 不關(guān)心.比如說，我們僅關(guān)心出現(xiàn)H的總次 數(shù)為2,而不在乎出現(xiàn)的是"HHT","HTH" 還是"THH".以X記三次拋擲中出現(xiàn) H的 總數(shù)，則對(duì)樣本空間S=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即有樣本點(diǎn) HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT x的值322211102. 隨機(jī)變量的定義定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=e. X=X(e)是定義在樣本空間S上

3、的實(shí)值單值 函數(shù).稱X=X(e)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定，而試驗(yàn)的 各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量 的取值有一定的概率身是一個(gè)數(shù)，即樣本點(diǎn)e本身是一個(gè)數(shù).我們令X=X(e)=e,則X就是一個(gè)隨機(jī)變量.例如，用例如,在例2中X取值為2,記成X=2,對(duì)Y記某車間一天的缺勤人數(shù)應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合A=HHT, HTH, THH,這是一個(gè)事件，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有X=2.貝U稱 P(A)=PHHT, HTH, THH為X=2的概率，即 P(X=2)=P(A)=3/8.類似地有4P X 1 P HTT, THT, TTH , TTT8本書中，一般以大寫字母如X,Y,Z,W,.表示

4、隨機(jī)變量，而以小寫字母x,y,z,w,.表示實(shí) 數(shù).3.離散型隨機(jī)變量有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道X的所有可能取的值以W記錄某地區(qū)第一季度的降 雨量，以Z記某工廠一天的耗 電量，以N記某醫(yī)院某一天的 掛號(hào)人數(shù).那么丫, W,乙N都是 隨機(jī)變量.一般，若L 是一 -個(gè)實(shí)數(shù)集 合，將X在L上取值寫成 X L.它表示事件 B=e|X(e)L,即B是由S中使得X(e) L的所有樣本點(diǎn)e所組 成的事件.此時(shí)有PX L=P(B)=Pe|X(e)L,隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果 而定，在試驗(yàn)

5、之前不能預(yù)知它 取什么值，且它的取值有一定 的概率.這些性質(zhì)顯示了隨機(jī) 變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差 異.§ 2離散型隨機(jī)變量及其分布律例如§ 1例2中的隨機(jī)變量X,它只可能取0,1,2,3四個(gè)值， 它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.又 如某城市的120急救電話臺(tái)一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機(jī)變量.若以T記某元件及取每一個(gè)可能值的概率.設(shè)X所有可能取的值為Xk(k=1,2,.),的壽命，它所可能取的值充滿PX=Xk=pk, k=1,2,.一個(gè)區(qū)間，是無法按一定次序(2.1)列舉出來的,因而它是一由概率的定義，p k滿足如下兩個(gè)條件個(gè)非離散型的隨機(jī)變量.本節(jié)1. pk0,k 1,2,

6、;(2.2)討論離散型隨機(jī)變量2. Pk 1.(2.3)k 1稱(2.1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布.分布律也可用表格的形式來表示：XX1X2.xn.PkP1P2Pn.(2.4)例3設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng) 過四組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以1/2概率允許 或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下 時(shí),它已通過的信號(hào)燈組數(shù)(設(shè)各組信號(hào)燈 的工作是相互獨(dú)立的)，求X的分布律.解以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概 率，易知X的分布律為XPk01234p (1 p)p (1 p)2p (1 p)3p (1 p)4即 PX=k=(1-p) kp, k=0,1,2,3,PX=4=(1-p) 4.

7、X01234Pk0.50.250.1250.06250.0625(課間休息)3. 幾個(gè)常用的離散型分布(1)(0-1)分布對(duì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的任何一個(gè)給定0-1分布的隨設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它 的事件A, 0<P(A)<1,都可以根據(jù)事件A定義一個(gè)服從 機(jī)變量P(X=k)=p k(1-p)1-k, k=0,1(0<p<1),則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.X X (e)0,1,當(dāng)e A, 當(dāng)e A.X0 1Pk1-pP(2)伯努利試驗(yàn)，二項(xiàng)分布(0-1)分布的分布律也可寫成來描述.例如，對(duì)新生嬰兒的性別 進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合 格，某車間的電力消耗

8、是否超過負(fù) 荷以及前面多次討論過的"拋硬幣" 試驗(yàn)等都可以用(0-1)分布的隨機(jī)變 量來描述.(0-1)分布是經(jīng)常遇到的 一種分布.設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果:事件A和它的逆A,則稱E為伯努利試驗(yàn)。設(shè)P(A)=p(0<p<1),此時(shí).將E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).這里，“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變；“獨(dú)立”是指各 次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響定義隨機(jī)變量X表示n重伯努利試驗(yàn)中X所有可能取的值為0,1,2,n事件A發(fā)生的次數(shù)，我們來求它的分布由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，因此的分布律是事件A在指定的k(0 k n)次試驗(yàn)中發(fā)

9、生，在其它n-k次試驗(yàn)中A不記 q=1-p，PX kk kn kCn P (1 P)k k n k Z| c,、Cn P q ,(k 0,1,.,n)發(fā)生的概率為P P P(1 P)(1 P)(1Pn這種指定的方式共有cn種，它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗(yàn)中 A發(fā)生k次的概率為k kn kCn P(1P)特別，當(dāng)n=1時(shí)二項(xiàng)分布化為P(X=k)=P kq1-k, k=0,1顯然，這就是(0-1)分布。nnk k n knPX kCnpq (p q) 1.k 0k 0Ck pkqn k剛好是二項(xiàng)式(p q)n的展開式中 出現(xiàn)卩為勺那一項(xiàng)，故我們稱隨機(jī)變量X服從 參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為X

10、b(n,p).例4按規(guī)定，某種型號(hào)電子元件的使用 壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知一 大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為 0.2,現(xiàn)在從中隨 機(jī)地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,.,20)為一級(jí)品的概率是多少？解這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的元件數(shù)量相對(duì)于 元件的總數(shù)來說又很小，因而可以當(dāng)作 放回抽樣來處理，這樣做會(huì)有一些誤差， 但誤差不大.檢查一只元件看它是否為 一級(jí)品，檢查20只元件相當(dāng)于20重貝努 利試驗(yàn)，以X記其中一級(jí)品總數(shù)，則Xb(20,0.2).所求概率為PX k C；°0.2k(1 0.2)20 k,k 0,1,20.例5某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射

11、擊命中率 為0.02,獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中 兩次的概率.解將一次射擊看成是一次試驗(yàn).設(shè)擊中的次數(shù)為X,貝U Xb(400,0.02). X的分布律為PX k c4oo(O.O2)k(O.98)4°°k ,k 0,1,.,400.PX 2=1-PX=0-PX=1=1-(0.98) 400-400(0.02)(0.98) 399=0.9972.例6設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作 是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處 理，考慮兩種配備維修工人的方法，其 一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二 是由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較這兩種 方法在

12、設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的 概率的大小.解 按第一種方法,以X記"第1人維護(hù) 的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)", 以A(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修".則知80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的 概率為P(A1 A2 A3 A4) P(A1)=P(X 2).而 Xb(20,0.01),故有PX 21 PX C PX 11 (0.99)2020 0.01 (0.99)20 1可以看出，在后一種情況下盡管任 務(wù)重了(每人平均維護(hù)約27臺(tái))， 但工作效率不僅沒有降低，反而提 咼了 .0.0169即有(A1 A2 A3 A4) 0.0169.按第二種方法，以丫記80臺(tái)中同一時(shí)刻 發(fā)生故障的臺(tái)數(shù).此時(shí)，Yb(80,0.01), 故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概 率為3PY 41。8叮(0.01)氣0.99)80 k 0.0087.k 0(3)泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,.,而取各個(gè)值的概率為kePX k ,k 0,1,2,k!具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng) 用中是很多的。例如，一本書一頁 中的印刷錯(cuò)誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi) 郵遞遺