微積分第一章預(yù)備知識ppt課件

1、微積分微積分講課教師楊 梅: 48520191 高等數(shù)學(xué)的根本特征高等數(shù)學(xué)的根本特征籠統(tǒng)性籠統(tǒng)性演繹性演繹性廣泛性廣泛性研討對象研討對象論證方法論證方法運用運用假設(shè)假設(shè)結(jié)論結(jié)論logic理性理性思想思想本期學(xué)習(xí)內(nèi)容：本期學(xué)習(xí)內(nèi)容： 一元函數(shù)微分一元函數(shù)微分 利用極限研討函數(shù)的種種表達(dá)及其諸多利用極限研討函數(shù)的種種表達(dá)及其諸多性質(zhì)性質(zhì)極限的直觀定義與計算極限的直觀定義與計算導(dǎo)數(shù)與微分的概念與計算導(dǎo)數(shù)與微分的概念與計算微分學(xué)運用微分學(xué)運用 一元函數(shù)積分一元函數(shù)積分不定積分不定積分定積分概念與計算定積分概念與計算積分學(xué)運用積分學(xué)運用 簡單微分方程簡單微分方程第一章第一章 預(yù)備知識預(yù)備知識第一節(jié)第一節(jié)

2、 集合與符號集合與符號第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)函數(shù)概念、函數(shù)的初等性質(zhì)、復(fù)合概念、函數(shù)的初等性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)、初等函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)、初等函數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 切線與速度、面積與路程切線與速度、面積與路程一、集合與符號一、集合與符號1. 常用的數(shù)的集合常用的數(shù)的集合自然數(shù)集自然數(shù)集有理數(shù)集有理數(shù)集整數(shù)集整數(shù)集實數(shù)集實數(shù)集,210nN， ,210nZ ，,Q為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)qpqp R是是實實數(shù)數(shù)xx ,CRyxiyx 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集 2. 鄰域鄰域0,0 Rx設(shè)設(shè)0 x 0 x 0 x Ox),(),(0000 xxxxxxN 000 xxxxx).,(000 xNxxxx記記作作鄰鄰域域的

3、的稱稱為為點點數(shù)數(shù)集集 鄰鄰域域的的空空心心點點稱稱為為數(shù)數(shù)集集 00*0),(0 xxNxxx),(000 xxx ”）全全稱稱量量詞詞“（ 1”表示“任意的”?！北硎尽叭我獾摹薄！?例如：例如：”“Rx ”?！薄１硎尽皩τ谌我獾膶崝?shù)表示“對于任意的實數(shù) x”）存存在在量量詞詞“（ 2”表示“存在”?！北硎尽按嬖凇薄！?例如：例如：）”（且且“b,acQc,ba,Qb,a .cb,a有理數(shù)有理數(shù)之間，存在之間，存在表示“任意兩個有理數(shù)表示“任意兩個有理數(shù)3.邏輯符號邏輯符號1階乘符號階乘符號2連加與連乘符號連加與連乘符號4、其它符號、其它符號二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念定義：定義：.RD為為非非

4、空空數(shù)數(shù)集集設(shè)設(shè) .).(,!,上上的的一一個個函函數(shù)數(shù)在在為為定定義義則則稱稱記記作作與與之之對對應(yīng)應(yīng)實實數(shù)數(shù)按按確確定定的的規(guī)規(guī)則則如如果果DfxfyyfDx RDf:或或記記.,定定義義域域因因變變量量自自變變量量Dyx存在存在獨一獨一值值域域),(,DxxfyRyy )(Df)( fR或或函數(shù)的兩個要素：函數(shù)的兩個要素：2.定義域定義域 D1.對應(yīng)規(guī)那對應(yīng)規(guī)那么么 fxxyxy2: 與與例例12)(2 xxf例例：表表示示對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)則則 f12)(2 f112)1(2 f1)12(2)12(2 ttf1)1(2)1(2 xxf表表示示的的是是不不同同的的函函數(shù)數(shù)定定義義域域不不同同，

5、三、函數(shù)的初等性質(zhì)三、函數(shù)的初等性質(zhì)1. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性稱稱為為奇奇函函數(shù)數(shù))(),()(,xfxfxfDx 稱為偶函數(shù)稱為偶函數(shù))(),()(,xfxfxfDx 2. 函數(shù)的增減性函數(shù)的增減性)f,)x(f)xf)x(f)x(fxx,Ix,x（嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增函函數(shù)數(shù)為為單單調(diào)調(diào)增增函函數(shù)數(shù)稱稱）（21212121( )f),)x(f)x(f()x(f)x(fxx,Ix,x嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減函函數(shù)數(shù)（為為單單調(diào)調(diào)減減函函數(shù)數(shù)稱稱21212121 3. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性為為周周期期函函數(shù)數(shù)稱稱 f)x(f)Tx(fx,T R0的的周周期期是是則則稱稱有有最最小小周周期期

6、若若fTTf,留意留意 并不是一切的函數(shù)都有最小周期并不是一切的函數(shù)都有最小周期例如：調(diào)查狄里克雷函數(shù)例如：調(diào)查狄里克雷函數(shù) 為無理數(shù)為無理數(shù)當(dāng)當(dāng)為有理數(shù)為有理數(shù)當(dāng)當(dāng)xxx, 0, 1)( 4. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性定義：定義：使使得得對對如如果果存存在在一一個個實實數(shù)數(shù),)1(M,M)x(f,Dx 都有都有每一個每一個.上上是是有有上上界界的的在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Df使使得得對對如如果果存存在在一一個個實實數(shù)數(shù),)2(NN)x(f,Dx 都都有有每每一一個個.上上是是有有下下界界的的在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Df.,)3(數(shù)數(shù)有有界界函函稱稱為為數(shù)數(shù)既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函使得

7、對于使得對于即存在一個正數(shù)即存在一個正數(shù), 0 M.)(,MxfDx 成成立立每每一一個個例例),( xeyeyxx和和00),( xxeex和和有有因因為為.,),(,無上界無上界有下界有下界上上在在和和所以所以 xxeyey問題問題 如何定義無界函數(shù)？如何定義無界函數(shù)？.,)(, 0*上無界上無界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)使得使得總存在總存在如果對任意的正數(shù)如果對任意的正數(shù)DfMxfDxM 例例.), 0()0,(1上上是是無無界界的的在在 xy則則有有取取對對任任意意的的,21, 0*MxM MMxxx 21*四、四、 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)定義：定義：這這時時在在集集合合的的交交集

8、集非非空空定定義義域域的的與與的的值值域域并并且且和和假假定定給給了了兩兩個個函函數(shù)數(shù),)()(),()(fDfgRgxguufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(構(gòu)構(gòu)成成的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)與與這這個個函函數(shù)數(shù)為為由由則則稱稱可可以以確確定定一一個個函函數(shù)數(shù)gfxgfy 1. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)例例,sin)(,)()1(xxgueufyu 那么有那么有 xexgfsin)( ),( x,)(,)()2(2xxguuufy 那么有那么有 xxxgf 2)(),( xgf 記記作作)(:)(xgfxgf 即即, 1)(,ln)()4(2 xxguuufy那么有那么有 ),1l

9、n()(2 xxgf)., 1()1,( x. 1)(,arcsin)()3( xexguuf所以所以, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) ).(xgf,1, 1)( fD), 1()( gR.)()( gRfD由于由于2. 反函數(shù)反函數(shù)在函數(shù)定義中，要求函數(shù)是單值的，即在函數(shù)定義中，要求函數(shù)是單值的，即)()(2121xfxfxx )()(,2121xfxfxx 不一定有不一定有但是但是)()(2121xfxfxx 如如果果之之間間就就有有如如下下關(guān)關(guān)系系與與值值域域則則在在定定義義域域)(DfD)(,!),(xfyDxDfy 使使得得.)(,)(的的反反函函數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)新新的的對對

10、應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系到到個個由由這這是是一一xfyDDf )()(1Dfyyfx 記記作作.)(11DffDfff的的定定義義域域的的值值域域是是；的的值值域域的的定定義義域域是是函函數(shù)數(shù)反反函函數(shù)數(shù)由由定定義義可可以以知知道道： 例例2xxfysin)( 設(shè)設(shè)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)則則1, 12,2 : f1, 1arcsin)(1 yyyfx有有反反函函數(shù)數(shù)例例3), 0(),( xey是是嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)習(xí)慣上習(xí)慣上, 記記), 0(ln xxy), 0(ln)(1 yyyfx有有反反函函數(shù)數(shù)五、五、 初等函數(shù)初等函數(shù)1、根本初等函數(shù)、根本初等函數(shù)2冪函數(shù)冪函數(shù)5三角函數(shù)三角函數(shù)3指數(shù)函數(shù)指數(shù)

11、函數(shù)6反三角函數(shù)反三角函數(shù)4對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1常量函數(shù)常量函數(shù) xy )0( aayxxey )(常數(shù)常數(shù)cy xyalog xxyelog:ln e是無理數(shù)是無理數(shù)xxxxcot,tan,cos,sinxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin都是周期函數(shù)都是周期函數(shù)2、初等函數(shù)、初等函數(shù)根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算及復(fù)合運算所得到的函數(shù)及復(fù)合運算所得到的函數(shù), 稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).3、雙曲函數(shù)工程函數(shù)、雙曲函數(shù)工程函數(shù)雙曲正弦雙曲正弦)(21sinhxxeex 雙曲余弦雙曲余弦)(21coshxxeex 雙曲正切雙曲正切xx

12、xxeeeexxx coshsinhtanh),( x反雙曲正弦反雙曲正弦)1ln(harcsin2xxx 反雙曲余弦反雙曲余弦)1ln(harccos2 xxx反雙曲正切反雙曲正切xxx 11ln21harctan),( x), 1 x)1, 1( x4、非初等函數(shù)的例子、非初等函數(shù)的例子1符號函數(shù)符號函數(shù) . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 留意留意2取整函數(shù)取整函數(shù) ), 1(:Zkkxkkxy 25 . 2 例如例如 35 . 2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 留意留意 )(1Rxxxx 函數(shù)表示的其他分類：函數(shù)表示的其他分類：

13、1顯函數(shù)顯函數(shù)2隱函數(shù)隱函數(shù)3參數(shù)式函數(shù)參數(shù)式函數(shù))(xfy 確定的函數(shù)確定的函數(shù)由方程由方程0),( yxF確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由參參數(shù)數(shù)方方程程 )()(tyytxx2, 0sincos1 ttbytax橢橢圓圓：例例0,)cos1()sin(3 atayttax擺擺線線：例例aa 22, 0sincos200 ttryytrxx圓圓：例例2, 0sincos433 ttaytax星星形形線線：例例a內(nèi)旋輪線內(nèi)旋輪線0,323232 aayx隱隱函函數(shù)數(shù)方方程程：1.需求函數(shù)需求函數(shù) (1) 需求函數(shù)商品的需求量需求函數(shù)商品的需求量 Qd,受消費者的偏好收入及受消費者的偏好收入及( )d

14、Qf p 需求函數(shù)需求函數(shù) 普通是普通是 p 的遞減函數(shù)的遞減函數(shù). 最常見、最最常見、最( )dQf papb (a、b均為正常數(shù)均為正常數(shù))那么稱此函數(shù)為需求函數(shù)那么稱此函數(shù)為需求函數(shù).商品價錢等等要素的影響商品價錢等等要素的影響. 但最主要的是價錢要素但最主要的是價錢要素; 假假設(shè)設(shè)不考其它要素不考其它要素, 把需求量把需求量 Qd 只看成價錢只看成價錢 p 的函數(shù)的函數(shù), 即即簡單的需求函數(shù)是如下方式的線性需求函數(shù)簡單的需求函數(shù)是如下方式的線性需求函數(shù)()dQfp 六、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)六、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 這個函數(shù)的幾何形狀這個函數(shù)的幾何形狀, 是一條反響需求量與價錢關(guān)系的是一條反響需求量與價錢關(guān)系的bopba特別地特別地, 當(dāng)價錢當(dāng)價錢 p=0時時, 需求量需求量 Qd=b , 它表示人們的它表示人們的Qd曲線曲線, 我們稱之為需求曲線我們稱之為需求曲線, 如右圖如右圖.需求是有限的需求是有限的. b/a 為最大銷售價錢為最大銷售價錢, 此時需求量為零此時需求量為零.作價錢函數(shù)作價錢函數(shù).當(dāng)然價錢當(dāng)然價錢 p 也可表示成需求量