《結構力學》-龍馭球-10-動力學(5)解析

1、10-5 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體系的自由振動一、剛度法一、剛度法 （1）兩個自由度體系）兩個自由度體系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 兩自由度體系自由振動微分方程兩自由度體系自由振動微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 設解為設解為)sin()()

2、sin()(2211tYtytYty1122( )( )y tYy tY常數=常數常數0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk當然當然 Y1=Y2=0 為其解，為了求得不全為零的解，令為其解，為了求得不全為零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程頻率方程頻率方程0)(211222221211kkmkmk1）在振動過程中，兩個質點具有相同的頻率和相同的相位角；）在振動過程中，兩個質點具有相同的頻率和相同的相位角；2）在振動過程中，兩個質點的位移在數值上隨時間而變化，但其比值始）在振動過程中，兩個質點的位移在數值上隨時間而變化，但其比值始終

3、保持不變。終保持不變。振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。振動過程中，結構位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2）按主振型振動的條件：）按主振型振動的條件： 初位移或初速度與此振型相對應；初位移或初速度與此振型相對應；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圓頻率稱為第一最小圓頻率稱為第一(基本

4、基本)圓頻率：圓頻率：,12第二率圓頻第二圓頻率第二圓頻率由此可見：由此可見： 多自由度體系如果按某個主振型自由振動多自由度體系如果按某個主振型自由振動，其振動形式保持不變，此時，其振動形式保持不變，此時，多自由度體系實際上是像多自由度體系實際上是像一個單自由度體系在振動一個單自由度體系在振動。實際上，多自由度體系在零時刻的實際上，多自由度體系在零時刻的 y0 或或 vo 通常不能完全與某一振型相對應。通常不能完全與某一振型相對應。例例7：設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為：設圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側移剛度分別為k1和和 k2 ，試求剛架，試求剛架水平振動時的自振動頻率和主

5、振型。水平振動時的自振動頻率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1）求頻率方程中的剛度系數）求頻率方程中的剛度系數1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振動）一般振動)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動多自由度體系自由多自由度體系自由振動的振型分解振動的振型分解mkmk61803.238197.02221mkmk61803.161803

6、.021（3）求主振型）求主振型618.1138197.02:121111221111kkkmkkYY618.0161803.22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2）求頻率）求頻率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2）求頻率）求頻率0)(222221221kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(2

7、2222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n = 90 則第一振型和第二振型分別為：則第一振型和第二振型分別為：11019可見當頂端質點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大?？梢姰旐敹速|點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大。 建筑結構抗震設計中，將這種因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨建筑結構抗震設計中，將這種因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨大反應的現象，稱為大反應的現象，稱為鞭梢效應鞭梢效應。如：屋頂消防水池、上人屋面設計的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。如：屋頂消防水池、上人屋面設計的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。二、二、 柔度

8、法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 設解為設解為)sin()()sin()(2211tYtytYty此時慣性力此時慣性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振動過程中任意時刻在自由振動過程中任意時刻t，質量，質量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)應當等于體系在當時慣性力作用下的靜應當等于體系在當時慣性力作用下的靜力位移。

9、力位移。主振型的位移幅值等于主振型主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產生的靜力慣性力幅值作用下產生的靜力位移。位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 當然解當然解 Y1=Y2=0，為了求得不全為了求得不全為零的解，令為零的解，令01122221212122111mmmmD令令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY1222

10、2111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY幾點說明：幾點說明：1.1.按振型作自由振動時，各質點的按振型作自由振動時，各質點的 速度的比值也為常數，且與位移速度的比值也為常數，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動是有條件的發(fā)生按振型的自由振動是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(YYyyYYyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界因素無關與外界因素無關. .4.N4.N自由度體系有自

11、由度體系有N N個頻率和個頻率和N N個振型個振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得N N個個 從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個振型個振型 0)(2YmkN N個振型彼此之間是線性無關的個振型彼此之間是線性無關的. .5 5。若已知柔度矩陣時。若已知柔度矩陣時6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個頻

12、率和個頻率和N N個振型個振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個振型個振型 0)(2YmkN N個振型是線性無關的個振型是線性無關的. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動時按振型振動時)sin()sin(2211tYytYy)sin()sin(222211tYytYy )sin()()si

13、n()(22222111tYmtFtYmtFII5 5。若已知柔度矩陣時。若已知柔度矩陣時6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動時按振型振動時)sin()()sin()(2211tYtytYty)sin()()sin()(222211tYtytYty )sin()()sin()(22222111tYmtFtYmtFII11Y22Y121Ym222Ym2222212121222212121111YmYmYYmYmY 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動時，振型可看作是體系按振型振動時，慣性

14、力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移0.5a例例9. 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1）計算頻率）計算頻率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型3、主振型的正交性、主振型的正交性m1m211121Ym11221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得

15、：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，則存在：，則存在：02221212111YYmYYm兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。兩個主振型相互正交，因與質量有關，稱為第一正交關系。由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分別乘以上式分別乘以12、22，則得：，則得：0)()(0)()(21222221112

16、22122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉移到某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會轉移到其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；其它主振型上，不會引起其它主振型的振動；各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。各個主振型能單獨存在，而不相互干擾。 若結構對稱，質量分布也對稱，則該體系的主振型也是對稱或反對稱的。若結

17、構對稱，質量分布也對稱，則該體系的主振型也是對稱或反對稱的。因此，可以用位移法中處理對稱性的方法，因此，可以用位移法中處理對稱性的方法，取取半邊結構進行計算半邊結構進行計算。例例13-5-3 利用對稱性簡化圖示結構柔度系數的求解。利用對稱性簡化圖示結構柔度系數的求解。5. 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 因為結構和質量分布均對稱，其振型也是對稱和反對稱的，分別取半邊結構因為結構和質量分布均對稱，其振型也是對稱和反對稱的，分別取半邊結構計算。計算。解：解：mmmaaaaaaEIEIEI 以求對稱振型為例說明以求對稱振型為例說明 中系數中系數的求解。首先求出半邊結構在集中質量上的求解。首先求

18、出半邊結構在集中質量上分別作用分別作用有單位集中力產生的彎矩圖。有單位集中力產生的彎矩圖。a) M1圖圖b) M2 圖圖aaa1320a1740aaaa710a310a1求對稱振型求對稱振型求反對稱振型求反對稱振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2為了求柔度系數，可以在另外的靜定基本為了求柔度系數，可以在另外的靜定基本結構結構上加單位力并作彎矩圖。上加單位力并作彎矩圖。 利用該彎矩圖與上頁的彎矩圖圖乘，很容易求得各柔度系數。利用該彎矩圖與上頁的彎矩圖圖乘，很容易求得各柔度系數。a) c) 圖乘圖乘求求 ，b) d) 圖乘求圖乘求 ，a) d)或或b) c)圖乘

19、求圖乘求 ，進而求自振頻率和，進而求自振頻率和主振型。主振型。11221221c)圖圖1M圖圖2Md)aaa2a1aaa1a例例13-5-2 求圖示結構的自振頻率和主振型。求圖示結構的自振頻率和主振型。m2=2maaam1=mEIEI解：解：aaaEIEI1a1M 圖aaaEIEI1a /22M 圖1) 作作 、 如右圖示，如右圖示，圖乘求系數。圖乘求系數。1M2M11333112(23122)2312()33aaaEIaaaaaEIaEI 322212()22326aaaaEIEI 312211 1(2)2224aaaaEIEI3331112224263aaa mmmmmEIEIEI322112212211233222114()4 () (1) 2616558()()486am mmEIaa mmEIEI 2) 求自振頻率求自振頻率12330.93152.3518EIEIa ma m33111212(2 )4aammmmEIEI31112233211112120.51410.15260.30521.1526amYmEIaa mYmmEIEI 3) 求主振型求主振型33321,214