高三數(shù)學(xué) 《空間角》 新人教A版

1、1.(2)范圍：范圍：20，(1)定義：設(shè)定義：設(shè)a、b是異面直線，過(guò)是異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)O引引 ，則，則 所成的銳角所成的銳角(或直角或直角)，叫，叫做異面直線做異面直線a、b所成的角所成的角.ba，abba/，（3）求法：）求法：平移法平移法; 向量法向量法設(shè)直線設(shè)直線AB和和CD所成的角為所成的角為 ，則：，則：coscos|ABCD ，A1ABCD1B1C1DEFG33xyz1G 1E 2.(3)范圍：范圍：20，(1)(1)定義：平面的一條斜線和它在平定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條斜線面上的射影所成的銳角，叫這條斜線和這個(gè)平面所成的角和這個(gè)平面

2、所成的角(2)若直線若直線l 平面平面，則，則 l 與與所成角為直所成角為直角角 若直線若直線l平面平面，或直線，或直線l平面平面，則，則l與與所成角為所成角為0定義法的定義法的具體步驟如下：具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。把該角置于三角形中計(jì)算。 （4）求法）求法:定義法定義法sin|s|coAB m ， 設(shè)設(shè) 是平面是平面 的一個(gè)法向量，直線的一個(gè)法向量，直線AB與平面與平面 所成的角為所成的角為 ，則：，則： m

3、 PABM lPAPB則則AMB為二面角為二面角 的平面角的平面角.lPAB平面Ml ABFoCDE1o8210 xyz(0,0,0)(6,0,0)(0,0,8)(6,6,0)(3,3,8)ABCDEFOPxyz1(0,0)2 3(0,0)23(,0,0)23(0,0)2,l AB 112,1,2.ABAABB , 1A1BBA l33xyz2（11湖南理湖南理19）如圖，在圓錐）如圖，在圓錐PO中，已知中，已知PO=D為為AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)（）證明：平面）證明：平面POD（）求二面角）求二面角B-PA-C的余弦值。的余弦值。， O的直徑的直徑AB=2,C是是AB弧的中點(diǎn)，弧的中點(diǎn)，平面平面PA

4、C;AC 5 ,6 .FBFDa EFa AEC22,33FQFE FRFB xyzCRABFDQE2 2929,，BCCDSDSAB 平面（2011全國(guó)）如圖，四棱錐全國(guó)）如圖，四棱錐S-ABCD中，中，側(cè)面，側(cè)面SAB為等邊三為等邊三（）證明：）證明：（）求）求AB與平面與平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值角形，角形，AB=BC=2,CD=SD=1./ABCDADBCS7210113sin1203212P MACA PCMA MNCMACNVVVVAC CNMN (1)在矩形在矩形ABCD中，連接中，連接BE，因?yàn)橐驗(yàn)锳B=2AD，E為為CD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以AD=DE，EAB=

5、45，從而從而EBA=45，故，故AEEB.過(guò)過(guò)D作作DOAE于于O.因?yàn)槠矫嬉驗(yàn)槠矫鍭DE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所以BE平面平面ADE.可知可知AE為為AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，從而從而BAE為為AB與平面與平面ADE所成的角所成的角,大小大小為為45.(2)由由(1)可知，可知，DO平面平面ABCE，BEAE，過(guò)過(guò)O作作OFBE，以，以O(shè)為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，OA、OF、OD分別為分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角坐軸建立空間直角坐標(biāo)系標(biāo)系,則則D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0

6、), C(-2 ,2,0).2222設(shè)平面設(shè)平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .則則BD與平面與平面CDE所成角的正弦值為所成角的正弦值為 .2CD 2CE 22則則CD CE 22222，得，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323120PAB90PBCPAD D C B A P【1212屆中山市四校屆中山市四校1212月聯(lián)考理】月聯(lián)考

7、理】18如圖，四棱如圖，四棱錐錐PABCD的底面的底面ABCD為矩形，且為矩形，且PA=AD=1,AB=2, , (1)求證：平面求證：平面(2)求三棱錐求三棱錐DPAC的體積；的體積； (3)求直線求直線PC與平面與平面ABCD所成角的正弦值所成角的正弦值 平面平面PAB；6863D PACP DACP ABCC PABVVVV11 1sin33 2C PABPABVSBCPA ABPAB BC1331 21626 由（由（1）知平面）知平面 平面平面 PAB ，且，且AD/BC 平面平面PAB DABC 6ABBCPACACPD 3PD BPACD圖圖5于點(diǎn)于點(diǎn)D，AD=1,CD=3，作作

8、 業(yè)業(yè)1、 lMABAMB為二面角為二面角 -l- 的平面角的平面角.M例例1.（06年江西卷）如圖，在三棱錐年江西卷）如圖，在三棱錐ABCD中，中，側(cè)面?zhèn)让鍭BD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜邊，且共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個(gè)，另一個(gè)側(cè)面是正三角形，求二面角側(cè)面是正三角形，求二面角BACD的余弦值的余弦值.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN/CD61113,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBM MNBMN作于，作交于 ，則就是二面角的平面角由是的中點(diǎn)

9、，且得由余弦定理得：則解 ，2PAPD（11廣東理廣東理18）如圖）如圖5在椎體在椎體P-ABCD中，中， ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的棱形，且的棱形，且DAB=600.的中點(diǎn)的中點(diǎn)（1） 證明：證明：AD ,PB=2,E,F分別是分別是BC,PC平面平面DEF;BPDAEFC（2） 求二面角求二面角P-AD-B的余弦值的余弦值 217 2、ABCDOM AMO為二面角為二面角A-BC-D的平面角的平面角.若若AO平面平面BCD于于O.則作則作OMBC于于M，連結(jié)，連結(jié)AM.ABCPEBCPAC 證證明明平平面面 26BEAP 作作CECEAP BE三垂線法作二面角的步驟：三垂線法作二面角的步

10、驟：1.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作面作面BCD的垂線段的垂線段AO；2.過(guò)垂足過(guò)垂足O作交線作交線BC的垂線的垂線OM；3.連接連接AM。 ABCDOM 3,2,2,2 2,60 .ABADPAPDPAB ABCDPEO394M22AC 5 ,6 .FBFDa EFa AEC22,33FQFE FRFB xyzCRABFDQE2 2929522 2935sin29293aRDBa2 2929故平面故平面BEDBED與平面與平面RQD所成二面角的正弦值是所成二面角的正弦值是2 1515k xyz111ABCA B CEF1ACCAFEtan（11湖北湖北18）如圖，已知正三棱柱）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是

11、的各棱長(zhǎng)都是4，E是是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)在側(cè)棱棱CC1上，且不與點(diǎn)上，且不與點(diǎn)C重合重合（）當(dāng)）當(dāng)CF1時(shí)，求證：時(shí)，求證：（）設(shè)二面角）設(shè)二面角的大小為的大小為，求，求的最小值的最小值2 34,PB 1534.17CF ACBPFE53/ABCA B C90BAC/,ABACAA/A B/B CMN/A ACC/AMNC【12遼寧理遼寧理18】 如圖，直三棱柱如圖，直三棱柱，點(diǎn)點(diǎn)M，N分別為分別為和和的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。平面平面()若二面角若二面角為直二面角，求為直二面角，求的值。的值。 ()證明：證明：= 2(2)由已知由已知PA平面平面ABC，ACAB，PABC2，AB2AC

12、2BC24.(2)若若PABC2，當(dāng)三棱錐，當(dāng)三棱錐PABC的體積的體積最大時(shí)，求二面角最大時(shí)，求二面角AEFD的平面角的余弦值的平面角的余弦值當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ABAC時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，V取得最大值，取得最大值，其值為其值為 .二面角二面角AEFD的平面角的余弦值為的平面角的余弦值為四四、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟：總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；）建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；2）求出平面的法向量，進(jìn)行向量運(yùn)算求出法）求出平面的法向量，進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角；向量的夾角；3）通過(guò)圖形

13、特征或已知要求，確定二面角是）通過(guò)圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果學(xué)例2 (2008山東卷山東卷)如圖，已知四棱錐如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD為菱形，為菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E、F分別是分別是BC、PC的中點(diǎn)的中點(diǎn). （1）證明：證明：AEPD； （2）若若H為為PD上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)， EH與平面與平面PAD所成最大角的正切值為所成最大角的正切值為 ，求二面角求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值.62 （1）證明：由四邊形證明：由四邊形ABCD為菱形，為菱形，ABC=60，可得，可得ABC為正三角

14、形為正三角形.因?yàn)橐驗(yàn)镋為為BC的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因?yàn)橐驗(yàn)镻A平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD. (2)設(shè)設(shè)AB=2，H為為PD上任意一點(diǎn)，連接上任意一點(diǎn)，連接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面平面PAD，則，則EHA為為EH與平面與平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以當(dāng)所以當(dāng)AH最短時(shí)，最短時(shí)，EHA最大，最大，即當(dāng)即當(dāng)AHPD時(shí)，時(shí)，EHA最大最大.此時(shí)

15、此時(shí)tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所以，所以ADH=45，所以所以PA=2.3AEAH3AH622(方法一方法一)因?yàn)橐驗(yàn)镻A平面平面ABCD,PA平面平面PAC，所以平面所以平面PAC平面平面ABCD.過(guò)過(guò)E作作EOAC于于O，則，則EO平面平面PAC.過(guò)過(guò)O作作OSAF于于S，連，連接接ES，則，則ESO為二面角為二面角E-AF-C的平面角，的平面角， 在在RtAOE中，中，EO=AEsin30= ， AO=AEcos30= . 在在RtASO中，中，SO=AOsin45= . 因?yàn)橐驗(yàn)镾E= = = , 所以在所以在RtESO中中,cosESO= = = .

16、即所求二面角的余弦值為即所求二面角的余弦值為 . 32323 2422EOSO 3948 3043 24304SOSE155155（方法二）（方法二）由（由（1）知）知AE、AD、AP兩兩垂直兩兩垂直.以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又坐標(biāo)系，又E、F分別為分別為BC、PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以有所以有A(0，0，0),B( ，-1，0)，C( ，1，0),D(0，2，0),P(0，0，2),E( ，0，0),F( ,12,1),所以所以 =( ,0,0), =( , ,1).33332AE 3AF 3212設(shè)平面設(shè)平面AEF的一法向量為的一法向

17、量為m=(x1,y1,z1), m =0 x1=0 m =0 x1+ y1+z1=0.取取z1=-1，則，則m=(0,2,-1).因?yàn)橐驗(yàn)锽DAC，BDPA，PAAC=A,所以所以BD平面平面AFC，故故 為平面為平面AFC的一法向量的一法向量.又又 =(- ,3,0）,所以所以cosm, = = = .因?yàn)槎娼且驗(yàn)槎娼荅-AF-C為銳角，所以所求二面角的為銳角，所以所求二面角的余弦值為余弦值為 .則則AE AF,因此因此33212BD BD 3BD | |m BDmBD 2 3512 155155 如圖，在棱長(zhǎng)為如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E是棱是棱

18、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)F是是棱棱CD上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn). (1)試確定點(diǎn)試確定點(diǎn)F的位置，的位置， 使得使得D1E平面平面AB1F; (2)當(dāng)當(dāng)D1E平面平面AB1F時(shí)，時(shí)， 求二面角求二面角C1-EF-C的正切值的大小的正切值的大小. 欲使欲使D1E平面平面AB1F，只需，只需D1E垂垂直于平面直于平面AB1F內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線AF和和AB1.而異面直線垂直的問(wèn)題可利用線面垂而異面直線垂直的問(wèn)題可利用線面垂直的定義來(lái)證明；直的定義來(lái)證明；(2)的解決關(guān)鍵是由二的解決關(guān)鍵是由二面角的定義，只需作出棱面角的定義，只需作出棱EF的垂面，計(jì)的垂面，計(jì)算平面角的大小即可算平面角的大小即可. (1)如圖，連接如圖，連接A1B、DE.因?yàn)橐驗(yàn)锳1BAB1,A1D1AB1,所以所以AB1平面平面A1BED1,所以所以AB1ED1.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋為線段為線段BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，D1DAF,所 以所 以 F 為 線 段為 線 段 D C 的 中 點(diǎn) 時(shí) ， 有的 中 點(diǎn) 時(shí) ， 有DEAF,則則AF平面平面D1DE,所以所以D1EAF，故，故D1