《不等式和絕對(duì)值不等式》教案人教A版選修

1、不等式和絕對(duì)值不等式教案1(人教A版選修4-5)2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案不等式 (附高考預(yù)測(cè))一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、重點(diǎn)知識(shí)回顧1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。 不等式的基本性質(zhì)有：1)對(duì)稱性：abba;2)傳遞性：若ab,be,貝U ac；3)可加性：aba+cb+c;4)可乘性：ab, 當(dāng)c0時(shí)，acbc; 當(dāng)c0時(shí)，acbc不等式運(yùn)算性質(zhì)：(1)同向相加：若ab,cd,則a+cb+d；(2) 異向相減：，.(3)正數(shù)同向相乘：若ab0,cd0,則acbd。(4) 乘方法則：若ab0,nN+貝U;(5) 開方法則：若ab0,nN+貝U;(6) 倒數(shù)法則：若ab0,a

2、b,貝V。2、基本不等式 (或均值不等式) ；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b22ab(a,bR),該不等式可推廣為a2+b22|ab|;或變形為|ab|0時(shí)，a+b或abw.3、不等式的證明：（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法， 反證法，換元法，放縮法；（2） 在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián) 合使用；（3） 證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。4、不等式的解法： 解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式 過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式 是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)，方

3、程的聯(lián)系1求一般的一元二次不等式或的解集，要結(jié)合的根及二次 函數(shù)圖象確定解集2對(duì)于一元二次方程，設(shè)，它的解按照可分為三種情 況相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情 況因此，我們分三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解 集，列表如下：含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研 究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)現(xiàn)具體問 題背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初 等數(shù)學(xué)方法之一。 研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟 解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即

4、借助直線（線性 目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行 域）有交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。 它的步驟如下：（1）設(shè)出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)。（2）確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)的平面 區(qū)域，即可行域。（3） 由目標(biāo)函數(shù)z=ax+by變形為y= x+,所以，求z的最值可看成是求直線y= x+在y軸上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化）。（4） 作平行線：將直線ax+by=0平移（即作ax+by=0的 平行線），使直線與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最 大（或最小）時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。（5） 求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標(biāo)

5、代入目標(biāo)函數(shù)，從 而求出z的最大（或最小）值。7、絕對(duì)值不等式（1）1 x |v a（a0）的解集為：x| avx v a;I x|a（a0）的解集為：x|xa或xva。（2）三、考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)一：不等關(guān)系與不等式 【內(nèi)容解讀】通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中 存在著大量的不等關(guān)系，了解不等（組）的現(xiàn)實(shí)背景；了解 不等式的有關(guān)概念及其分類， 掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用。養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習(xí)慣，不要想當(dāng)然，不要錯(cuò)漏不等 式性質(zhì)使用的條件，如，中，注意后面大于0的條件，出題 者往往就在這里出一些似是而非的題目來迷惑考生 【命題規(guī)律】高考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式 的性質(zhì)上，題型

6、多為選擇題或填空題，屬容易題。例1、（2008廣東文）設(shè)，若，貝V下列不等式中正確的是 （）AB.C.D.解：由知, ,所以,故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的概念和絕對(duì)值的性質(zhì)，如果用特殊 值法也能求解。例2、（2007上海理科）已知為非零實(shí)數(shù)，且，貝下列命題成 立的是（ ）A、B、C、D、解：取a= 3,b =2,由（A） （B） （D）都錯(cuò)，故（C） 點(diǎn)評(píng)：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應(yīng)試時(shí)要時(shí)刻牢 記有這么一種方法。這晨a，b沒有說明符號(hào)，注意不要錯(cuò) 用性質(zhì)。考點(diǎn)二：一元二次不等式及其解法 【內(nèi)容解讀】會(huì)從實(shí)際情況中抽象出一元二次不等式的模型， 了解一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系；會(huì)解

7、一元二次不等 式，會(huì)由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不 等式，分類解不等式；對(duì)解含參的不等式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；注意數(shù)形結(jié)合，會(huì)通過函數(shù)圖象來解不等式（1）用圖象法解一元二次不等式 教材中在研究一元二次不等式的解法時(shí)，是結(jié)合二次函數(shù)的 圖象，利用對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解得出的，所以我們學(xué)習(xí) 一元二次不等式的解法時(shí)，應(yīng)從二次函數(shù)圖象出發(fā)加以理解（2）弄清一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之 間的關(guān)系二次函數(shù)是研究自變量x與函數(shù)值y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一元 二次方程的解就是自變量為何值時(shí)，函數(shù)值的這一情況；而 一元二次不等式的解集是自變量變化過程中，何時(shí)函數(shù)值 （） 或（）的情況一元二

8、次方程的解對(duì)研究二次函數(shù)的函數(shù)值 的變化是十分重要的，因?yàn)榉匠痰膬筛呛瘮?shù)值由正變負(fù)或 由負(fù)變?yōu)檎姆纸琰c(diǎn)，也是不等式解的區(qū)間的端點(diǎn)學(xué)習(xí)過 程中，只有搞清三者之間的聯(lián)系，才能正確認(rèn)識(shí)與理解一元二次不等式的解法【命題規(guī)律】高考命題中，對(duì)一元二次不等式解法的考查， 若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會(huì)對(duì)不等式直接求解，或經(jīng)常 地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)， 一般會(huì)與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分類討論，或求參數(shù)范圍，難 度以中檔題為主。例3、（2007湖南）不等式的解集是（）ABCD解：原不等式可化為x2 x0,即卩x （x 1）0,所以xV0或 乂乂1,選（D）.點(diǎn)評(píng)： 這是一道很簡(jiǎn)單的一元

9、二次不等式的試題，只要知道 它的解法即可例4、（2007福建）是的什么條件（）A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要解：由|x|V2，得：一2 Vx V 2,由得：一2VxV 3,2V xV 2成立，則2V xV 3一定成立，反之則不一定成立，所以，選（A）。點(diǎn)評(píng)：本題是不等式與充分必要條件結(jié)合的綜合考查題,先 解出不等式的解集來,再由充分必要條件的判斷方法可得。 例5、（2008江西文）不等式的解集為.解：原不等式變?yōu)?由指數(shù)函數(shù)的增減性,得：，所以填：。點(diǎn)評(píng)：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)交匯、不 等式與數(shù)列交匯是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。例6、已知集合，若

10、，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：設(shè)，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若，滿足條件，此時(shí)，即，解得；（2）若，設(shè)拋物線 與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，欲使，應(yīng)有，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得即解得綜上可知的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：本題是一元二次不等式與集合結(jié)合的綜合題，考查含 參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，分 類時(shí)做到不遺漏?？键c(diǎn)三：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【內(nèi)容解讀】了解二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域和 線性規(guī)劃的意義；了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行 解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解 法，并能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，以 提高解決實(shí)際問題的能力生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題

11、都可以歸納為線性規(guī)劃問題在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù) 量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣安排， 能使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問題時(shí)多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)， 題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解 的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查 的試題也時(shí)有出現(xiàn)，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。例7、（2008安徽文）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng) 從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積 為（ ）AB1CD5解：如圖知區(qū)域的面積是OA

12、B去掉一個(gè)小直角三角形。（陰影部分面積比1大，比小，故選C,不需要算出來） 點(diǎn)評(píng)：給出不等式組， 畫出平面區(qū)域， 求平面區(qū)域的面積的 問題是經(jīng)?？疾榈脑囶}之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形，將它 分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。例8、（2008廣東理）若變量x,y滿足，則z=3x+2y的最大值 是（ ）A90B. 80 C. 70 D. 40解:做出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為：y =，令z=0,畫y=，及其平行線，如右圖，當(dāng)它經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)時(shí)， 取得取大值。 解方程組,得.所以,故答C.點(diǎn)評(píng)： 求最優(yōu)解， 畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，再 令z=0,畫它的平行線，看y軸上的截距的最值，就是最

13、 優(yōu)解。例9、（2007山東）本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái) 做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元， 甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘， 規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公 司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分 配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少萬元？ 解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘 和分鐘，總收益為元，由題意得 目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖： 作直線，即平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函

14、數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 （元）答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元點(diǎn)評(píng)： 用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的 熱點(diǎn)題型之一?？键c(diǎn)四：基本不等關(guān)系 【內(nèi)容解讀】了解基本不等式的證明過程，會(huì)用基本不等式 解決簡(jiǎn)單的最值問題，理解用綜合法、分析法、比較法證明 不等式。利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題： （1）當(dāng)都為正數(shù)，且為定值時(shí)，有（定值），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 等號(hào)成立，此時(shí)有最小值；（2）當(dāng)都為正數(shù)，且為定值時(shí)，有（定值），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 等號(hào)成立，此時(shí)有最

15、大值創(chuàng)設(shè)基本不等式使用的條件， 合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常 用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條 件（兩數(shù)都為正）；二要考慮必須使和或積為定值；三要考 慮等號(hào)成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），它具有 一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn) 【命題規(guī)律】高考命題重點(diǎn)考查均值不等式和證明不等式的 常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，般難度不太大。例10、（2 0 0 7上海理）已知，且，則的最大值是.解：，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時(shí)取等號(hào).點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用 基本不等式。例1 1、（2008浙江文）已知（）（A）（B）

16、 （C） （D）解：由，且，。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式的重要不等式知識(shí)的運(yùn)用。例1 2、（2008江蘇）已知，則的最小值.解：由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)=3時(shí)取=.點(diǎn)評(píng)：本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用.題目有有三個(gè)未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對(duì)所求式子消去一個(gè)未知數(shù)，用基 本不等式求解?？键c(diǎn)五：絕對(duì)值不等式【內(nèi)容解讀】掌握絕對(duì)值不等式丨x |v a,|x|a（ a0） 的解法，了解絕對(duì)值不等式與其它內(nèi)容的綜合。【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時(shí)與充分 必要條件相結(jié)合來考查，難度不大。例1 3、（2008湖南文）|x-1| v 2是x v 3的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件件解：

17、由|x 1| v 2得一lv xV3,在一lv x V3的數(shù)都有x V3,但當(dāng)x V3時(shí)，不一定有一lv x V3,女口x=5,所以選（A）.點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，充分條件必要條件的 解法，可以用特殊值法來驗(yàn)證，充分性與必要性的成立。例l 4、（2008四川文）不等式的解集為（）（A）（B）（C）（D）解：T二即，,二故選A;點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考察絕對(duì)值不等式的解法；準(zhǔn)確進(jìn)行不等式 的轉(zhuǎn)化去掉絕對(duì)值符號(hào)為解題的關(guān)鍵，可用公式法，平方法， 特值驗(yàn)證淘汰法;考點(diǎn)六：不等式的綜合應(yīng)用【內(nèi)容解讀】用不等式的性質(zhì)、基本不等式、一元二次不等 式等內(nèi)容解決一些實(shí)際問題，如求最值，證明不等式等。【命題

18、規(guī)律】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題， 有一定的難度。C.充分必要條件D .即不充分也不必要條例1 5、（2 0 0 8江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如圖 所示的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)分別為（單位:米）的矩形,上 部是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.（I）求的關(guān)系式，并求的取值范圍；（H）問分別為多少時(shí)用料最??？解：（I）由題意得：4分（H）設(shè)框架用料長(zhǎng)度為，則當(dāng)且僅當(dāng)滿足答：當(dāng) 米，米時(shí)，用料最少.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式解決實(shí)際問題，是面積固定， 求周長(zhǎng)最省料的模型，解題時(shí)，列出一個(gè)面積的等式，代入 周長(zhǎng)所表示的代數(shù)式中，消去一個(gè)未知數(shù)，這是常用的

19、解題 方法。例1 6、（2008江蘇模擬） 某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù) 費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年 增加2萬元（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費(fèi)用 （萬元）；（2）問為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備？解：（1）即（）；（2）由均值不等式得：（萬元）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備點(diǎn)評(píng)：本題又是基本不等式的一個(gè)應(yīng)用，第一問求出函數(shù)關(guān) 系式是關(guān)鍵，第二問難度不大?？键c(diǎn)七：不等式的證明【內(nèi)

20、容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各 種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特 點(diǎn).比較法的一般步驟是：作差（商）f變形f判斷符號(hào)（值）.【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等 偏難的試題。例1 7、已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5a2b3 + a3b2證明：（a5 + b5 ） ? （a2b3 + a3b2） = （ a5 ? a3b2） + （b5 ?a2b3 ）= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) =

21、(a2 ? b2 ) (a3 ? b3)= (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)Ta, b都是正數(shù)，二a + b, a2 + ab + b2 0又v a ? b，二(a ? b)2 0.(a + b)(a ? b)2( a2 + ab +b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2點(diǎn)評(píng)：作差相減法是證明不等式的常用方法之一，通過作差 比較差的結(jié)果的符號(hào)是大于0還是小于0，另外，作商也是 經(jīng)常使用的方法。例18、已知，求證 證明：只需證：即證：成立 原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析 法，能夠找到證明的思路。例19、(2 0 0 7湖

22、北理科)已知m n為正整數(shù).(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x-1時(shí)，(1+x)m1+mx(H)對(duì)于n6,已知，求證，m=1,1,2,n；(山)求出滿足等式3n+4m+.+( n+2)m=( n+3)n的所有正整 數(shù)n.解：(I)證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x-1，且xM0時(shí)，mr2,(1+x)m1+mx. O1(i)當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x，因?yàn)?豐0,所以x20，即左邊右邊，不等式成立；(ii)假設(shè)當(dāng)m=k(k2)時(shí)，不等式成立，即(1+x) k1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤-1,所以1+x0.又因?yàn)閄M0,k2,所以kx20

23、.于是在不等式(1+x)k1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)x,即當(dāng)m= k+1時(shí)，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.(n)證：當(dāng)而由(I),(山)解：假設(shè)存在正整數(shù)成立，即有()+=1.又由(n)可得()+與式矛盾，故當(dāng)n6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當(dāng)n=1時(shí)，3m 4，等式不成立；當(dāng)n=2時(shí)，32+42=52,等式成立；當(dāng)n=3時(shí)，33+43+53=63,等式成立；當(dāng)n=4時(shí)，34+44+54+64為偶數(shù)， 而74為奇數(shù)， 故34+44+54+64 74,等式不成立；當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式的基本、反證法等內(nèi)容， 難度較大。四、方法總結(jié)與2010年高考預(yù)測(cè)（一）方法總結(jié)1熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，常見不等式（如一元二次不等式，絕對(duì)值不等式等）的解法，不等式