初中八年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)講義全套專題17等腰三角形的判定

1、專題17等腰三角形的判定閱讀與思考在學(xué)習(xí)了等腰三角形性質(zhì)與判定后，我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納 總結(jié).1 .等腰三角形的判定：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等.2 .證明線段相等的方法：當(dāng)所證的兩條線段位于兩個(gè)三角形，通過全等三角形證明；當(dāng)所證的兩條線段位于同一個(gè)三角形，通過等角對等邊證明；尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等.善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，是解幾何題的一個(gè)常用技巧.常見的構(gòu)造方法有：平分線 +平行線、平分線+垂線、中線+垂線.如圖所示：例題與求解【例1】如圖，在 ABC

2、中，AB=7, AC=11,點(diǎn) M是BC的中點(diǎn)，AD是/ BAC的平分線，MF / AD,則CF的長為.（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）解題思路：角平分線+平行線易構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵是利用條件“中點(diǎn) M”.【例2】如圖，在 ABC中，/ B=2/C,則AC與2AB之間的關(guān)系是（）A. AO2ABB. AC = 2ABC. AC w 2ABD. AC v 2AB（山東省競賽試題）解題思路：如何條件/ B=2/C,如何得到2AB,這是解本題的關(guān)鍵.【例3】兩個(gè)全等的含300, 600角的三角板 ADE和三角板ABC,如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在 一條直線上，連結(jié) BD,取BD中點(diǎn)M,連結(jié)ME,

3、MC,試判斷 EMC的形狀，并說明理由.（山東省中考試題）解題思路：從 ADEA BAC出發(fā)，先確定 ADB的形狀，為判斷 EMC的形狀奠定基礎(chǔ).【例4】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE=AC,延長BE交 AC 于 F,求證：AF=EF.（天津市競賽試題）解題思路：只需證明/ FAE=/AEF,利用中線倍長，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形.例5如圖，在等腰 ABC中，AB=AC, / A=200,在邊 AB上取點(diǎn)D,使AD=BC,求/ BDC度（“祖沖之杯”競賽試題）解題思路：由條件知底角為300,這些角并不是特殊角，但它們的差卻為600 , 600使我們聯(lián)想

4、到等邊三角形，由此找到切入口.如圖，以 AC為邊作等邊 ACE.如圖1 ,以BC為邊在 ABC內(nèi)作等邊 BCO;A能力訓(xùn)練A級1 .已知 ABC為等腰三角形，由頂點(diǎn) A所引BC邊的高線恰等于 BC邊長的一半，則/ BAC =.2 .如圖，在RtAABC中，/ C=900, Z ABC=660, ABC以點(diǎn)C為中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 ABC的位置，頂 點(diǎn)B在斜邊 A'B'上,AC與AB相交于D,則/ BDC=.（第2題）（第3題）（第4題）3 .如圖，4ABC是邊長為6的等邊三角形，DELBC于E,EF，AC于F,FD，AB于D,則AD=.（天津市競賽試題）4 .如圖，一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都

5、是1200,其連續(xù)四邊的長依次是 1cm, 9cm, 9cm, 5cm,那么這個(gè)六邊形的周長是 cm .（“祖沖之杯”邀請賽試題）5 .如圖， ABC 中，AB=AC, / B=36°, D、E 是 BC 上兩點(diǎn)，使/ ADE= / AED =2/BAD ,則圖中 等腰三角形共有（）A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)6 .若 ABC 的三邊長是 a, b , c ,且滿足 a4 = b4 + c4 b2c 2 b4=a4+c4a2c2,c4 =a4 +b4 -a2b2,則4 ABC （）A.鈍角三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等邊三角形（“希望杯”邀請賽試題）7 .

6、等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A. 300B. 300或 1500 C. 1200或 1500D. 300或 1200或 1500（“希望杯”邀請賽試題）8 .如圖，已知 RtAABC中，Z 0=900, / A=300,在直線BC或AC上取一點(diǎn)P,使得 PAB是等腰 三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（）A. 2個(gè)B. 4個(gè)C. 6個(gè)D. 8個(gè)（江蘇省競賽試題）第5題圖第8題圖第9題圖9 .如圖在等腰 RtAABC中，/ ACB=900, D為BC中點(diǎn)，DEXAB,垂足為 巳 過點(diǎn)B作BF /AC 交DE的延長線于點(diǎn) F,連接CF交AD于G.求證：ADXCF;

7、連結(jié)AF,度判斷 ACF的形狀，并說明理由.10 .如圖， ABC 中，ADLBC 于 D, /B=2/C,求證：AB+BD=CD.（天津市競賽試題）11 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn) D,使得 CDE是等邊三 角形，如果 M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，求證： CMN是等邊三角形.（江蘇省競賽試題）12 .如圖1, RtAABC中，/ ACB=900, CD LAB,垂足為 D, AF平分/ CAB,交CD于點(diǎn) 巳 交 CB于點(diǎn)F.求證：CE=CF; 將圖1中的4ADE沿AB向右平移到 A'D'E的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其他條件

8、不變，如圖2所示，試猜想：BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.（山西省中考試題）B級1.如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC, AB+BD=AC,則/ B: / C 的值=2.如圖, BAC的度數(shù)是 ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC 于 D、E,若/ BAC+Z DAE=1500,則/3 .在等邊 ABC所在平面內(nèi)求一點(diǎn) P,使 PAB、APBC> APAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)個(gè).的點(diǎn)P有4.如圖，在 ABC 中，/ ABC=600, / ACB=450,交 AD、CF 于 Q、A . 2S,則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（AD、CF都是高，相交于 P,角平分

9、線BE分別）D. 5B. 3A2C. 45.如圖，在五邊形ABCDE 中,/ A=Z B=1200,B. 450C. 60011，EA=AB=BC=- DC=- DE,則/ D=()22D. 67.50（“希望杯”競賽試題）6 .如圖，/ MAN =160, Ai點(diǎn)在AM上，在AN上取一點(diǎn) A2,使A2A產(chǎn)AAi,再在AM上取一點(diǎn) A3, 使A3A2=A2A1,如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點(diǎn)是（）A. A5B. A6C. A7D. A87,若P為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且/ APB = /BPC=/CPA=1200,則點(diǎn)P叫作 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn), 如圖1.若點(diǎn)如圖P為銳角

10、ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，且/2,在銳角 ABC外側(cè)作等邊ABC=600, PA=3, PC=4,則 PB 的值為.ACB ；連結(jié) BB'.求證：BB過4ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn) P,且BB =PA+PB+PC.（湖州市中考試題）8 .如圖， ABC 中，/ BAC=600, /ACB=40°, P、Q 分別在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分別是/ BAC、/ ABC 的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9 .如圖，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，過 M作ME / AD交BA延長線 于 E,交 AC 于 F,求證：BE = CF=1

11、（AB+AC）.2（重慶市競賽試題）10 .在等邊4 ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D ,作/ DAE=600, DE交/ C的外角平分線于 E,那么 ADE 是什么三角形？證明你的結(jié)論.（學(xué)習(xí)報(bào)公開賽試題）I _ JII .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l : y = -x + m與x軸、y軸的正半軸分2別相交于點(diǎn) A、B,過點(diǎn)C( 4, 4)作平行于y軸的直線交AB于點(diǎn)D, CD=10.求直線l的解析式；求證： ABC是等腰直角三角形；將直線l沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與 x, y軸分別相交于點(diǎn) A'、B',在直線CD上存在點(diǎn)P,使得 ABP是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(寧波市江東區(qū)模擬題)12.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， AOB為等腰直角三角形， A(4