二項(xiàng)分布期望和方差的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)資料_第1頁(yè)
二項(xiàng)分布期望和方差的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)資料_第2頁(yè)
二項(xiàng)分布期望和方差的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)資料_第3頁(yè)
二項(xiàng)分布期望和方差的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)資料_第4頁(yè)
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1、二項(xiàng)分布期望和方差的推導(dǎo)過(guò)程二項(xiàng)分布期望和方差推導(dǎo)假設(shè)隨機(jī)變量X B(n,p),那么E(X)np , D(X) np(1 p)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的證實(shí):注意到kC： nC：；(證實(shí):kCkk n!k!(n k)!n (n 1)!(k 1)! (n k)!n (n 1)!(k 1)!(n 1) (k 1)!k 1nCn 1所以 E(X) 0 C10P°(1 p)n1 C：p1(1 p)n2 C；p2(1 p)nk Cnkpk(1p)n(n 1) C：1(1p)1n - nCnp(10 p)1n 1ip (1 p)cnip2(i、n 2p)k 1 knnCn 1 p (1 p)Cn 2 n

2、Cn 1 p1(1p)1 nC；pn(1p)0npC01(1p)n 1Cn11p1(1 p)nCnpk1(1p)nkC；12p2(1p)1Cnn11P1(1 p)0np(1p)n 1p二項(xiàng)分布方差的證實(shí):證實(shí)：D(X)nXii 1np ,故 E(X)D(X)np(12E(X)pii Cn pi (10p)p)x22xE(X)_ 2E (X)pinXi21pi 2xE(X)pi一 2, 、E (X) pn 2Xi i 1pi2XiE(X) piE2(X)i 1piE(X2)e2(X)故任何離散隨機(jī)變量的方差均滿足式子:D(X)E(X2) E2(X)當(dāng)隨機(jī)變量X B(n,p)時(shí),D(X)Cn p

3、(1p)n i(np)2ni(i 1) Cnpi(1i 0np)cnpi(1p)2 (注意E(X)Ci in inp (1 p)0np)n(i 1) iC；pi 2(1 n p)np(i21) nCn%.p)n inpnn (i 1) C：i 211pi(1 p)nnpni 2 i 2 (n 1) Cn 2P (1i 2 n p)i2 2np n pn(n 1)0(1 p)ni 2222i 2 i 2n i22np n p n(n 1)p Cn 2P (1 p) np n pi 2n 2(指數(shù)之后湊組合數(shù)下標(biāo)n 2,利用展開(kāi)式(a b)n 2 Cn 2an 2 ibi)i 0n 22 N in 2 i2 2n(n 1)p Cn 2P (1 p) np n p i 02n 22 2n(n 1)p p (1 p) np n p22 2n(n 1)

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