第5章測(cè)量誤差

1、內(nèi)容提要： 5.1 5.1 測(cè)量誤差概念測(cè)量誤差概念 5.2 5.2 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 5.3 5.3 評(píng)定精度的指標(biāo)評(píng)定精度的指標(biāo) 5.4 5.4 誤差傳播定律及應(yīng)用誤差傳播定律及應(yīng)用 5.5 5.5 算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤差5.1 測(cè)量誤差的概念測(cè)量工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免測(cè)量工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：的存在誤差，比如：1 1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2 2、觀測(cè)值之和不等于理論值：、觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形三角形 +180+180 閉合水準(zhǔn)閉合水準(zhǔn) h0A AB BC

2、 CP1P4P3P2h1h3h2h4A AB BC C測(cè)量誤差的來源及分類距離測(cè)量誤差距離測(cè)量誤差角度測(cè)量誤差角度測(cè)量誤差高程測(cè)量誤差高程測(cè)量誤差理論上理論上：A+B+C=180A+B+C=180 實(shí)測(cè)中實(shí)測(cè)中：A+B+C180A+B+C180 理論上理論上： h1+h2+h3+h4 =0 實(shí)測(cè)中實(shí)測(cè)中：h1+h2+h3+h4 0一、測(cè)量誤差的定義一、測(cè)量誤差的定義 觀測(cè)值與其真實(shí)值（簡(jiǎn)稱真值）之間的差異，觀測(cè)值與其真實(shí)值（簡(jiǎn)稱真值）之間的差異，稱為測(cè)量誤差。稱為測(cè)量誤差。 （觀測(cè)觀測(cè)誤差誤差= =觀測(cè)值觀測(cè)值- -真值真值）式中：式中： 代表觀測(cè)值代表觀測(cè)值 ； 代表真值；代表真值； 就是測(cè)

3、量誤差，通常稱為就是測(cè)量誤差，通常稱為真誤差真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。，簡(jiǎn)稱誤差。一般情況下，只要是觀測(cè)值必然含有誤差。一般情況下，只要是觀測(cè)值必然含有誤差。 XLiiiiLX二、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因二、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因1. 1. 儀器誤差儀器誤差2. 2. 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差3. 3. 外界條件的影響外界條件的影響觀測(cè)條件觀測(cè)條件如果使用的儀器是同一個(gè)精密等級(jí)，操作人員有相同如果使用的儀器是同一個(gè)精密等級(jí)，操作人員有相同的工作經(jīng)驗(yàn)和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)的工作經(jīng)驗(yàn)和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）基本一致，則稱為力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測(cè)條件相同的觀測(cè)條件。三

4、、測(cè)量誤差的分類及其處理方法測(cè)量誤差的分類及其處理方法 按照對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響的性質(zhì)的不同，測(cè)量誤差可按照對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響的性質(zhì)的不同，測(cè)量誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種。分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種。1 1、粗差粗差 粗差是一種大量級(jí)的觀測(cè)誤差，屬于測(cè)量上的失誤。粗差是一種大量級(jí)的觀測(cè)誤差，屬于測(cè)量上的失誤。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：粗差產(chǎn)生的原因較多，主要是作業(yè)員的疏忽大粗差產(chǎn)生的原因較多，主要是作業(yè)員的疏忽大意、失職而引起的，如大數(shù)被讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照意、失職而引起的，如大數(shù)被讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照準(zhǔn)了錯(cuò)誤的目標(biāo)等等。準(zhǔn)了錯(cuò)誤的目標(biāo)等等。處理方法處理方法：含有粗差的觀測(cè)值都不能

5、使用。因此，一旦發(fā)現(xiàn)：含有粗差的觀測(cè)值都不能使用。因此，一旦發(fā)現(xiàn)粗差，該觀測(cè)值必須舍棄或重測(cè)。粗差，該觀測(cè)值必須舍棄或重測(cè)。 三、測(cè)量誤差的分類及其處理方法測(cè)量誤差的分類及其處理方法2 2、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差定義定義：系統(tǒng)誤差又稱累積誤差，是指在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)：系統(tǒng)誤差又稱累積誤差，是指在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差。差。例如（例如（1 1）某鋼尺的注記長(zhǎng)度為）某鋼尺的注記長(zhǎng)度為30m30m，鑒定后，其實(shí)際長(zhǎng)度為鑒定后，其實(shí)際長(zhǎng)度為30.003m30.003m，即每量一整尺段，就會(huì)產(chǎn)生即每量一

6、整尺段，就會(huì)產(chǎn)生0.003m0.003m的誤差，這種的誤差，這種誤差的數(shù)值和符號(hào)都是固定的，誤差的大小與所量距離成正誤差的數(shù)值和符號(hào)都是固定的，誤差的大小與所量距離成正比。比。（2 2）又如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行，就會(huì)使得觀測(cè)時(shí)）又如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行，就會(huì)使得觀測(cè)時(shí)在水準(zhǔn)尺上讀數(shù)會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差的大小與水準(zhǔn)尺至水在水準(zhǔn)尺上讀數(shù)會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差的大小與水準(zhǔn)尺至水準(zhǔn)儀的距離成正比，也保持同一符號(hào)。準(zhǔn)儀的距離成正比，也保持同一符號(hào)。（3 3）定線誤差。）定線誤差。 三、測(cè)量誤差的分類及其處理方法測(cè)量誤差的分類及其處理方法2 2、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：產(chǎn)生系

7、統(tǒng)誤差的原因有很多，主要是由于：產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有很多，主要是由于使用的儀器和工具不夠完善及外界條件改變所引起使用的儀器和工具不夠完善及外界條件改變所引起的。的。處理方法處理方法： （1 1）檢校儀器）檢校儀器 （2 2）采取合理的觀測(cè)方法加以抵消或削弱）采取合理的觀測(cè)方法加以抵消或削弱 （3 3）計(jì)算改正）計(jì)算改正 注意：注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。 三、測(cè)量誤差的分類及其處理方法測(cè)量誤差的分類及其處理方法3 3、偶然誤差、偶然誤差定義定義：在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果：在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的大

8、小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，即從表面現(xiàn)觀測(cè)誤差的大小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，即從表面現(xiàn)象看，誤差的大小和符號(hào)沒有規(guī)律性，但就大量誤象看，誤差的大小和符號(hào)沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這樣的誤差稱為差的總體而言具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這樣的誤差稱為偶然誤差。偶然誤差。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難：產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的，如觀測(cè)者的估讀誤差，照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)的照以控制的，如觀測(cè)者的估讀誤差，照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)的照準(zhǔn)誤差等。準(zhǔn)誤差等。粗差可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶粗差可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，并且是消除不了的

9、。然誤差是不可避免的，并且是消除不了的。 3 3、偶然誤差、偶然誤差例如：例如： 1)1)、距離測(cè)量、距離測(cè)量 N No o010D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 -0.1 0.2 0 0.1 -0.2 -0.3 0.1 1 2 3 4 5 6 7 1 1、粗差粗差：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)( (要細(xì)心，注意避免讀錯(cuò)、記錯(cuò)、聽錯(cuò)要細(xì)心，注意避免讀錯(cuò)、記錯(cuò)、聽錯(cuò) ) )。2 2、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱消和削弱( (檢校儀器，加改正數(shù)、對(duì)稱觀測(cè)檢校儀

10、器，加改正數(shù)、對(duì)稱觀測(cè)) )。3 3、偶然誤差偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減少其影響少其影響( (多余觀測(cè)，提高儀器等級(jí)、求最可靠值多余觀測(cè)，提高儀器等級(jí)、求最可靠值) )。5.2 偶然誤差的基本特性偶然誤差的特性偶然誤差的特性 人們從無數(shù)測(cè)量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，大量的偶然誤差的分人們從無數(shù)測(cè)量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，大量的偶然誤差的分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1 1、三角形內(nèi)角和例子、三角形內(nèi)角和例子 在某測(cè)區(qū)，在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)在某測(cè)區(qū)，在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)217217個(gè)平個(gè)平面三角形的全部?jī)?nèi)角，由于觀測(cè)值含有誤差，因此

11、，面三角形的全部?jī)?nèi)角，由于觀測(cè)值含有誤差，因此，每個(gè)三角形內(nèi)角之和一般不會(huì)等于其真值每個(gè)三角形內(nèi)角之和一般不會(huì)等于其真值180180度。各度。各三角形內(nèi)角和的真誤差為：三角形內(nèi)角和的真誤差為： 180)(321iilll 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)00333030292959593366212120204141669915151818333399121214141616303012121515121210102222151518188 88 81616181821215 56 61111212124242 22 24 4242427271 10 01 1272

12、7以上以上0 00 00 0合計(jì)1071071101102172175.2 偶然誤差的基本特性頻率直方圖頻率直方圖 根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)據(jù)畫出如下的直方圖。橫軸表示誤根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的數(shù)據(jù)畫出如下的直方圖。橫軸表示誤差的數(shù)值，縱軸為各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)差的數(shù)值，縱軸為各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔，即間的間隔，即 。圖中有斜線的長(zhǎng)方形圖中有斜線的長(zhǎng)方形面積就代表誤差出現(xiàn)面積就代表誤差出現(xiàn)在某區(qū)間的頻率。在某區(qū)間的頻率。dNnyi)( -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y誤差分布頻率直方圖誤差分布頻率

13、直方圖正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線5.2 偶然誤差的基本特性誤差分布圖誤差分布圖 在一定的觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的誤差，對(duì)應(yīng)著在一定的觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的誤差，對(duì)應(yīng)著一種確定的分布。當(dāng)誤差個(gè)數(shù)一種確定的分布。當(dāng)誤差個(gè)數(shù) ，同時(shí)無限，同時(shí)無限縮小誤差區(qū)間縮小誤差區(qū)間，上圖中的各矩形的頂邊折線就成上圖中的各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的連續(xù)曲線。為一條光滑的連續(xù)曲線。n22221)(efy這條曲線稱為誤差分布曲線也稱為這條曲線稱為誤差分布曲線也稱為正態(tài)分布曲線。曲線上任意一點(diǎn)的正態(tài)分布曲線。曲線上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)y y均為橫坐標(biāo)均為橫坐標(biāo) 的函數(shù)，其的函數(shù)，其函數(shù)形式為函數(shù)形式為：式中式中

14、為觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差，其平方為觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差，其平方稱為方差，可以反映觀測(cè)精度的高稱為方差，可以反映觀測(cè)精度的高低。低。 偶然誤差的特性偶然誤差的特性統(tǒng)計(jì)了大量的試驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：統(tǒng)計(jì)了大量的試驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性： （1 1）在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中，）在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中，偶然誤差的偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；【有限性有限性】（2 2）絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；差出現(xiàn)的頻率小；【小誤差的密集性小誤差的密集性】（3 3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出

15、現(xiàn)的頻率大致相等。）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等?！緦?duì)稱性對(duì)稱性】（4 4）偶然誤差的平均值隨觀測(cè)次數(shù)的無限增多而趨近）偶然誤差的平均值隨觀測(cè)次數(shù)的無限增多而趨近于于0 0，即，即 【抵償性抵償性】偶然誤差最本質(zhì)的統(tǒng)偶然誤差最本質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特性。計(jì)特性。 0limnn5.2 偶然誤差的基本特性一、精度一、精度精度就是觀測(cè)成果的精確程度，是指對(duì)某精度就是觀測(cè)成果的精確程度，是指對(duì)某一量的多次觀測(cè)中，其誤差分布的密集或一量的多次觀測(cè)中，其誤差分布的密集或離散的程度。離散的程度。 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 中誤差 容許誤差 相對(duì)誤差5.3 5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)5.3 衡量觀

16、測(cè)值精度的指標(biāo)二、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)二、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)1 1、中誤差、中誤差定義定義 在相同條件下，對(duì)某量（真值為在相同條件下，對(duì)某量（真值為X X）進(jìn)行進(jìn)行n n次獨(dú)次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值立觀測(cè)，觀測(cè)值l l1 1， l l2 2，l ln n，各觀測(cè)值的各觀測(cè)值的真誤差真誤差11，22，nn，則中誤差則中誤差m m的定義為：的定義為：nmXliin,.2232221式中式中1、中誤差中誤差中誤差不同于各個(gè)觀測(cè)值的真誤差，它是衡量一組觀中誤差不同于各個(gè)觀測(cè)值的真誤差，它是衡量一組觀測(cè)值精度的指標(biāo)，它的大小反映出一組觀測(cè)值的離散測(cè)值精度的指標(biāo)，它的大小反映出一組觀測(cè)值的離散程度。中誤差程度。中誤差m

17、m值小，表明誤差的分布較為密集，各值小，表明誤差的分布較為密集，各觀測(cè)值間的差異較小，這組觀測(cè)的精度就高；反之，觀測(cè)值間的差異較小，這組觀測(cè)的精度就高；反之，中誤差中誤差m m值較大，表明誤差的分布較為離散，觀測(cè)值值較大，表明誤差的分布較為離散，觀測(cè)值之間的差異也大，這組觀測(cè)的精度就低。之間的差異也大，這組觀測(cè)的精度就低。說明：說明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高。中誤差越小，觀測(cè)精度越高。5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo) 小，精度高小，精度高 大，精度低大，精度低()f2m2m1m2m1m2m觀測(cè)條件觀測(cè)條件誤差分布誤差分布觀測(cè)值精度觀測(cè)值精度 nm 中誤差中誤差1、中誤差中誤差幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明：（1

18、 1）各觀測(cè)值必須在相同的觀測(cè)條件下）各觀測(cè)值必須在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的觀測(cè)；進(jìn)行的觀測(cè)； （2 2）觀測(cè)值的真值必須可知，真誤差才能）觀測(cè)值的真值必須可知，真誤差才能求出；求出； （3 3）前面的）前面的“”號(hào)不能省略。號(hào)不能省略。此外，作為識(shí)別觀測(cè)值優(yōu)劣的精度標(biāo)準(zhǔn)，常把中誤此外，作為識(shí)別觀測(cè)值優(yōu)劣的精度標(biāo)準(zhǔn)，常把中誤差差m m做標(biāo)識(shí)，將做標(biāo)識(shí)，將m m置于觀測(cè)值置于觀測(cè)值L L數(shù)字之后，即數(shù)字之后，即L Lm m，表示該觀測(cè)值所達(dá)到的精度。表示該觀測(cè)值所達(dá)到的精度。 5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)1、中誤差中誤差例例1 1：設(shè)有兩組觀測(cè)值，各組均為同精度觀測(cè)，它們：設(shè)有兩組觀測(cè)值，各組均為

19、同精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：的真誤差分別為： 第一組：第一組： ；第二組：；第二組：分別求出兩組觀測(cè)值的中誤差。分別求出兩組觀測(cè)值的中誤差。解：根據(jù)公式求得解：根據(jù)公式求得 由此可知，第一組觀測(cè)值比第二組觀測(cè)值的精度高。由此可知，第一組觀測(cè)值比第二組觀測(cè)值的精度高。 5 . 35115060 . 353420422222222 ）（）（）（）（第二組第一組mm21mm 5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)3,4, 0 ,2,4 1,1, 0 ,5,6 2、容許誤差（極限誤差）容許誤差（極限誤差）定義定義 由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)

20、值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。值就是容許（極限）誤差。在等精度觀測(cè)某量的一組誤差中，絕對(duì)值大于兩倍在等精度觀測(cè)某量的一組誤差中，絕對(duì)值大于兩倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.54.5，大于三，大于三倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為0.3%0.3%。因此，。因此，測(cè)量中通常取測(cè)量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中誤差作為偶然誤差的容許倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差誤差，即，即容容=2=2m m 或或容容=3=3m m 。 極限誤差的作用：極限誤差的作用：區(qū)別誤

21、差和錯(cuò)誤的界限區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。 中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)3 3、相對(duì)（中）誤差、相對(duì)（中）誤差定義：相對(duì)誤差定義：相對(duì)誤差K K 是中誤差的絕對(duì)值是中誤差的絕對(duì)值 m m 與相應(yīng)觀測(cè)與相應(yīng)觀測(cè)值值D D 之比，通常以分母為之比，通常以分母為1 1的分式的分式 來表示，稱其為來表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即相對(duì)（中）誤差。即: :mDDmK15.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo) : :角度、高差的誤差用角度、高差的誤差用m m表示，量距誤差表示，量距誤差用用K K表示。表示。3 3、相對(duì)（中）誤差、相對(duì)（中）誤差例 已

22、知兩段距離長(zhǎng)度和中誤差分別為D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK顯然，第二段的相對(duì)中誤差較小，其精度較高。顯然，第二段的相對(duì)中誤差較小，其精度較高。 5.3 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)一、測(cè)量中觀測(cè)量與未知量的關(guān)系一、測(cè)量中觀測(cè)量與未知量的關(guān)系分直接觀測(cè)和間接觀測(cè)分直接觀測(cè)和間接觀測(cè)例：高差測(cè)量的讀數(shù)例：高差測(cè)量的讀數(shù)a a、b b，角度測(cè)量某一方向讀數(shù)，角度測(cè)量某一方向讀數(shù)這些觀測(cè)量就是未知量，是獨(dú)立觀測(cè)值，稱直接這些觀測(cè)量就是未知量，是獨(dú)立觀測(cè)值，稱直接觀測(cè)。間接

23、觀測(cè)觀測(cè)。間接觀測(cè)-未知量是由直接觀測(cè)量推算出未知量是由直接觀測(cè)量推算出來的，即通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算得出來的，即通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算得出例例h=a-b S=h=a-b S=a.ba.b觀測(cè)斜距，豎角求水平距離觀測(cè)斜距，豎角求水平距離D=D=S Scoscos5.4 誤差傳播定律及其應(yīng)用 二、誤差傳播定律概念二、誤差傳播定律概念要獲得間接未知量必須直接觀測(cè)某些獨(dú)立量則直接觀測(cè)量所要獲得間接未知量必須直接觀測(cè)某些獨(dú)立量則直接觀測(cè)量所含有的誤差影響著未知量的精度，那么就需要依據(jù)直接觀測(cè)含有的誤差影響著未知量的精度，那么就需要依據(jù)直接觀測(cè)值的中誤差求得間接未知量的中誤差，闡述這種關(guān)系的定律值的中誤差求得間接未

24、知量的中誤差，闡述這種關(guān)系的定律叫誤差傳播定律。叫誤差傳播定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)1.一般函數(shù)中誤差2.線性函數(shù)中誤差3.運(yùn)用誤差傳播定律的步驟4.誤差傳播定的幾個(gè)主要公式5.誤差傳播定律應(yīng)用 (1)(1)鋼尺量距的精度鋼尺量距的精度 )(;/:單位長(zhǎng)度量距中誤差式中l(wèi)mlDnDDlmnmmD22)(bSamsnlllD.21(2)(2)角度測(cè)量的精度角度測(cè)量的精度 水平角（水平角（DJ6DJ6）觀測(cè)的精度）觀測(cè)的精度 n n邊形水平角閉合差的規(guī)定邊形水平角閉合差的規(guī)定047122125 . 8262 半測(cè)回之差允許值半測(cè)回之差中誤差半測(cè)回中誤差一測(cè)回中誤差mmmmmmn

25、mfnmm2允允許角度閉合差測(cè)角之和中誤差(3)(3)水準(zhǔn)測(cè)量的精度水準(zhǔn)測(cè)量的精度 水準(zhǔn)儀兩次測(cè)定高差的限差水準(zhǔn)儀兩次測(cè)定高差的限差 一次測(cè)定高差計(jì)算公式：一次測(cè)定高差計(jì)算公式：h=a-bh=a-b，設(shè)，設(shè)DS3DS3讀數(shù)中誤讀數(shù)中誤差為差為m=m=1 1，則：，則： mmmmmmmmhhh224 . 12誤差兩次測(cè)定高差之差的中一次測(cè)定高差的中誤差水準(zhǔn)路線高差測(cè)定的精度水準(zhǔn)路線高差測(cè)定的精度 如果在這段水準(zhǔn)路線當(dāng)中一共觀測(cè)了n站，則總高差為： nmnmmbababahhhnn2)(.)()(2211p 如果水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度L，各測(cè)站前后視距平均為d，則測(cè)站n=L/2d，則總高差為：。：mLmmd

26、mmLdmdLmmhh是單位長(zhǎng)度高差中誤差式中則設(shè)000:,/(4)(4)坐標(biāo)計(jì)算的精度坐標(biāo)計(jì)算的精度化為中誤差表達(dá)方式，將方位角誤差以秒表示：化為中誤差表達(dá)方式，將方位角誤差以秒表示：dDdDyddDdDxdDyDxcossinsincossincos22222222222222222222sincossincossincos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx例例1:1: 設(shè)有函數(shù) z=3x-y+2l 10其中： x=2l+5, y=3l-6已知 l 的中誤差為 ml ,計(jì)算函數(shù)z的中誤差 mz 。解法1: mx=2ml , my=3ml mz2=9mx2+my2+4ml2 = 49

27、ml2 mz=7ml例例2:2:已知AB兩點(diǎn)間的水平距離D=206.2050.020 m，在A點(diǎn)安置經(jīng)緯儀測(cè)得AB直線的高度角 =12 20 30 30 ，計(jì)算AB間的高差h，及其中誤差 mh 。解法1:函數(shù)式 ： h=D tg = 45.130(m) 全微分： 中誤差關(guān)系： =0.047870.0004+0.0009876=0.001007 mh =0.0317(m)=31.7（mm）dDdDtgdh2sec2222222)sec(mDmtgmDh解法2:對(duì)函數(shù) h=Dtg 取自然對(duì)數(shù)： lnh=lnD+ln(tg )全微分： 注意到： 所以：dtgDdDhdh2secdDdDtgdh2se

28、cDtgtghdh,例3：由內(nèi)角和閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差由內(nèi)角和閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差 。 設(shè)在相同條件下，對(duì)幾個(gè)的內(nèi)角進(jìn)行了觀設(shè)在相同條件下，對(duì)幾個(gè)的內(nèi)角進(jìn)行了觀測(cè)，測(cè)角中誤差為測(cè)，測(cè)角中誤差為m m，內(nèi)角和的閉合差，也就是內(nèi)，內(nèi)角和的閉合差，也就是內(nèi)角和的真誤差。角和的真誤差。由定以式，可得內(nèi)角和的中誤差由定以式，可得內(nèi)角和的中誤差180Wmmmmm3222nwwm3nwwnm應(yīng)用定律注意事項(xiàng)應(yīng)用定律注意事項(xiàng) 1.1.觀測(cè)值僅含偶然誤差。觀測(cè)值僅含偶然誤差。2.2.觀測(cè)值必須相互獨(dú)立。觀測(cè)值必須相互獨(dú)立。3.3.保留一位小數(shù)。保留一位小數(shù)。4.4.單位統(tǒng)一。單位統(tǒng)一。5.5.有時(shí)先取自然對(duì)數(shù)方

29、便得多。如：有時(shí)先取自然對(duì)數(shù)方便得多。如： dddSSSdSSSSSaaaasincossincos1sinlnsinlnlnlnsinsin00005.5 算術(shù)平均值及其中誤差 在實(shí)際工作中，除少數(shù)理論值的真值已知外，一般在實(shí)際工作中，除少數(shù)理論值的真值已知外，一般觀測(cè)值的真值，由于誤差的影響，很難測(cè)定。為觀測(cè)值的真值，由于誤差的影響，很難測(cè)定。為了提高觀測(cè)值的精度，測(cè)量上通常利用有限的多了提高觀測(cè)值的精度，測(cè)量上通常利用有限的多余觀測(cè)，計(jì)算平均值來代替觀測(cè)值的真值，用改余觀測(cè)，計(jì)算平均值來代替觀測(cè)值的真值，用改正數(shù)正數(shù) 代替真誤差代替真誤差 ，以解決實(shí)際問題。，以解決實(shí)際問題。 一、算術(shù)平

30、均值一、算術(shù)平均值( (最或然值最或然值) ) 設(shè)對(duì)某量作了設(shè)對(duì)某量作了n n次等精度的獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值為次等精度的獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值為l1、l2ln 則算術(shù)平均值為：則算術(shù)平均值為： ivi nlnlllx121算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差 算術(shù)平均值的精度比平差前各觀測(cè)值的精度算術(shù)平均值的精度比平差前各觀測(cè)值的精度提高了提高了 倍。倍。nlnlnlnx11121222212)1()1()1(nxmnmnmnmnmmxn一、不等精度觀測(cè)值和觀測(cè)值權(quán) 1.1.不等精度觀測(cè)值不等精度觀測(cè)值 對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行多次觀測(cè)，每次觀測(cè)條件不同，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行多次觀測(cè)，每次觀測(cè)條件不同，每次的觀測(cè)值精度也不

31、一樣。（舉例）每次的觀測(cè)值精度也不一樣。（舉例） 對(duì)某一觀測(cè)值進(jìn)行了不等精度觀測(cè)，此觀測(cè)對(duì)某一觀測(cè)值進(jìn)行了不等精度觀測(cè)，此觀測(cè)值最或似值如何求？值最或似值如何求？ 2.2.權(quán)權(quán) 權(quán)是衡量觀測(cè)值或觀測(cè)值函數(shù)精度高低的量，權(quán)是衡量觀測(cè)值或觀測(cè)值函數(shù)精度高低的量，在求最或似值時(shí)，必須考慮精度高低，要以權(quán)來在求最或似值時(shí)，必須考慮精度高低，要以權(quán)來衡量。衡量。權(quán)的定義：iiiiiiPmm：mmP：。m，。，：CmCP1)(11022002中誤差的又一形式所以權(quán)的又一表示方法差的中誤差叫單位權(quán)中誤權(quán)為的權(quán)叫單位權(quán)等于根據(jù)實(shí)際情況定是任一數(shù)式中權(quán)與中誤差的關(guān)系mmmpppn22221n211:1:1: 可

32、見，用中誤差衡量精度是絕對(duì)的，而用權(quán)衡量精度是相對(duì)的，即權(quán)是衡量精度的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。 在測(cè)繪中，一般取一次觀測(cè)、一個(gè)測(cè)回或單位長(zhǎng)度的測(cè)量誤差作為單位權(quán)中誤差。如：一測(cè)回的水平角觀測(cè)中誤差為測(cè)角中誤差，則n測(cè)回取其平均值的角度中誤差是： 則，算術(shù)平均值的權(quán)為： 又如水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)：nmm平nPm平站站或nPLPL11確定權(quán)的常用方法 水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)站高差中誤差相同時(shí)，水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)站高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與測(cè)站成反比則各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與測(cè)站成反比 )2 , 1( Nniicpi )2 , 1( niLcpii 水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每公里高差中誤差相同時(shí)，則 各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比 角度測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)回角度觀測(cè)中誤差角度測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)回角度觀測(cè)中誤差相同時(shí)，各角度觀測(cè)值的權(quán)與其測(cè)回?cái)?shù)成正相同時(shí)，各角度觀測(cè)值的權(quán)與其測(cè)回?cái)?shù)成正比比 CNpii scpii 距離測(cè)量中，當(dāng)單位距離測(cè)量的中誤差相同時(shí)，各段距離觀測(cè)值的權(quán)與其長(zhǎng)度成反比。2.2.加權(quán)平均值加權(quán)平均值 PPLPPPLPLPLP：xnnn212211加權(quán)平均值 PmmPPPmPPmPPmPPmP