不定積分求解方法及技巧小匯總

1、不定積分求解方法及技能小匯總摘要：總結(jié)不定積分根本界說(shuō),性質(zhì)和公式,求不定積分的幾種根本方法和技能,列舉個(gè)體典范例子,應(yīng)用技能解題.一.不定積分的概念與性質(zhì)界說(shuō)1假設(shè)F(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),并且對(duì)隨意率性的x I,有F' (x)=f(x)dx 那么稱F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).定理1 (原函數(shù)消失定理)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上持續(xù),那么f(x)在區(qū)間I上必定有原函數(shù),即消失可導(dǎo)函數(shù)F(x),使得F(x) =f(x) (x I )簡(jiǎn)略的說(shuō)就是,持續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù)定理2 設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),那么(1) F (x) +C也是f(x)在區(qū)間I

2、上的原函數(shù),個(gè)中C是隨意率性 函數(shù)； f(x)在I上的隨意率性兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù).界說(shuō)2設(shè)F (x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),那么f(x)的全部原函數(shù) F (x) +C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分,記為f(x)d(x), 即 f(x)d(x)=F(x)+C個(gè)中記號(hào)稱為積分號(hào),f(x)稱為被積函數(shù),f(x)d(x) 稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,C稱為積分常數(shù).性質(zhì) 1 設(shè)函數(shù) f(x) 和 g(x)消失原函數(shù),那么f(x) g(x)dx= f(x)dxg(x)dx.性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x)消失原函數(shù),k 為非零常數(shù),那么 kf(x)dx=k f(x)dx.二.換元積分法的定

3、理假設(shè)不定積分g(x)dx不輕易直接求出,但被積函數(shù)可分化為g(x)=f(x)' (x).做變量代換u= (x),并留意到 '(x) dx=d (x),那么可將變量 x的積分轉(zhuǎn)化成變量 u 的積分,于是有 g(x)dx= f (x)' (x)dx= f(u)du.假設(shè) f(u)du 可以積出,那么不定積分g(x)dx的盤(pán)算問(wèn)題就解決了,這就是第一類(lèi)換元法.第一類(lèi)換元法就是將復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用來(lái)求不定積分.定理1設(shè)F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù),u= (x)可導(dǎo),那么有換元公式f (x)' (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F (x)+C.第一類(lèi)換元

4、法是經(jīng)由過(guò)程變量代換u= (x),將積分f (x)' (x)dx化為 f(u)du.但有些積分須要用到形如x= (t)的變量代換,將積分 f(x)dx 化為 f (t)' (t).在求出后一積分之后,再以x= (t)的反函數(shù)t= 1(X)帶歸去,這就 是第二類(lèi)換元法.即f(x)dx= f (t)' (t)dt t 1(X).為了包管上式成立,除被積函數(shù)應(yīng)消失原函數(shù)之外,還應(yīng)有原函 數(shù)t= 1 (x)消失的前提,給出下面的定理.定理2 設(shè)x= (t)是單調(diào),可導(dǎo)的函數(shù),并且 (t)0.又設(shè)f (t)' (t)具有原函數(shù)F (t ),那么f(x)dx= f (t)&

5、#39;(t)dt=F(t)+C=F1(x)+C個(gè)中1(x)是x=(t)的反函數(shù).三.經(jīng)常應(yīng)用積分公式1根本積分公式1 ) kdx=kx+C(k 是常數(shù));u 1xxudx=u 1 +C(u -1);dx(3 ) x =ln+C;dxx2 =arctanx+C;dx21 x=arcsinx+C;(6)cosxdx=sinx+C;sinxdx=-cosx+C(9)(10)(11)(13)(15)lndx2cos x =cosxsec2xdx=tanx+C;dx一 2sin xcscxdx=-cotx+C;secxtanxdx=secx+C;cscxcotxdx=-cscx+C;axdx=ex+C

6、;chxdx=shx+C.+C;(14)(12)(16)exdx=ex+C;shxdx=chx+C;tanxdx=-(17)cotxdx=lnsinx+C;x=arcsina +C;(18) secxdx=ln secx tanx +C;(19)cscxdx=lncscx cotx+C,1 x adx111n(20) a(ln( x 1) ln x)' -【解】x 1 x x(x 1) x2=a x a +C;dx22(21) axdx2222(22) a x =ln(x+ x a +C;dx 722K 2 x * x a(23)" a =ln+C.四.解不定積分的根本方法四

7、.求不定積分的方法及技能小匯總1 .應(yīng)用根本公式.(這就不久不多說(shuō)了2 .第一類(lèi)換元法.(湊微分)設(shè)f( W )具有原函數(shù)F(抹).那么個(gè)中(x)可微.用湊微分法求解不定積分時(shí),起首要賣(mài)力不雅察被積函數(shù),查找 導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容,同時(shí)為下一步積分做預(yù)備.當(dāng)其實(shí)看不清楚被積函數(shù)特色時(shí),無(wú)妨從被積函數(shù)中拿出局部算式求導(dǎo).測(cè)驗(yàn)測(cè)驗(yàn),或許從中 可以得到某種啟發(fā).如例1.例2:ln(x 1) ln x , dx例 1 ： x(x 1)ln(x 1) In x , dxx(x 1)12(ln( x 1) In x)d (ln( x 1) In x) (ln( x 1) In x) 21 ln x , 2 dx 例

8、 2: (xlnx)解(xlnx)' 1 ln x3 .第二類(lèi)換元法：設(shè)x 是單調(diào).可導(dǎo)的函數(shù),并且0.又設(shè)f'(t)具有原函數(shù),那么有換元公式第二類(lèi)換元法主如果針對(duì)多種情勢(shì)的無(wú)理根式.罕有的變換情勢(shì)須要熟記會(huì)用.重要有以下幾種：4 .分部積分法.公式：d分部積分法采取徑直的技能,規(guī)出亡點(diǎn),挑輕易積分的局部先做,最終完成不定積分.具體拔取、時(shí),平日基于以下兩點(diǎn)斟酌:(1)下降多項(xiàng)式局部的系數(shù)(2)簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類(lèi)型舉兩個(gè)例子吧!3x arccosx , dx例 3:1 x2【解】不雅察被積函數(shù),拔取變換t arccosx ,貝1x2arcsinxdx,1 x2例 4： arcs

9、in2xdx22arcsin xdx xsin x【解】 上面的例3,下降了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類(lèi)型有時(shí),分部積分會(huì)產(chǎn)生輪回,最終也可求得不定積分.在 dd中,、的拔取有下面簡(jiǎn)略的紀(jì)律：將以上紀(jì)律化成一個(gè)圖就是：(lnx arcsinx)Pm(x(aAxsinx)但是,苦工也arqsinx時(shí),是無(wú)法求解的kUV對(duì)于(3)情形,有兩個(gè)通用公式：5 .幾種特別類(lèi)型函數(shù)的積分.(3) 有理函數(shù)的積分P(x)P* (x)P* (x)有理函數(shù)Q(x)先化為多項(xiàng)式和真分式Q(x)之和,再把Q(x)分化為假設(shè)干個(gè)局部分式之和.(對(duì)各局部分式的處理可能會(huì)比擬龐雜.dx1 n22n一cosx全能公

10、式:消失 (a x ) 時(shí),記得用遞推公式：P(sin x,c0sx)dx可用變換t tanx化為有理函數(shù)Q(sin x,cosx)2的積分,但由于盤(pán)算較煩,應(yīng)盡量預(yù)防.sin x 或 cosx 對(duì)于只含有tanx (或cotx )的分式,必化成c0sx 5nx.再用A(a cosx bsin x) B(a cos'x bsin' x) 待定系數(shù)a cosx bsinx來(lái)做.(3)簡(jiǎn)略無(wú)理函數(shù)的積分一般用第二類(lèi)換元法中的那些變換情勢(shì).像一些簡(jiǎn)略的,應(yīng)靈巧應(yīng)用.如：同時(shí)消失 顯和、17時(shí),可令 x tan2t ;同時(shí)消失或和小x時(shí),可令x sin2t ;同時(shí)消失 、；1必和即函時(shí),可令 x=sint;同時(shí)消失 Ji x2和arcssx時(shí),可令 x=cost 等等.進(jìn)修完不定積分,認(rèn)為這局部?jī)?nèi)容對(duì)我們思維的靈巧性請(qǐng)求很 大,應(yīng)當(dāng)加大習(xí)題量,到達(dá)見(jiàn)多識(shí)廣的后果,做完習(xí)題留意總結(jié),以 及相似標(biāo)題標(biāo)整頓.熟記三角函數(shù)公式,不定積分根本公式,限制各 類(lèi)求積分的方法x2!n 2a2(n 1)(x2 a2)n1 2a2(n 1) n * 1)642 cx x 4x 2 ,3-72 2dx例 5:x (x 1)64264