D8_7方向導數(shù)與梯度ppt課件

1、 第八章 第七節(jié)第七節(jié)一、方導游數(shù)一、方導游數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方導游數(shù)與梯度方導游數(shù)與梯度l),(zyxP一、方導游數(shù)一、方導游數(shù)定義定義: 假設函假設函數(shù)數(shù)),(zyxff0lim那么稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方導游數(shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在以下極限: 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 P記作記作 ,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:那么函數(shù)在該

2、點沿恣意方向 l 的方導游數(shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 P故coscoscoszfyfxf機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方導游數(shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當 l 與 x 軸同向有時,

3、2,0 當 l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角例例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方導游數(shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方導游數(shù).解解:將知曲線用參數(shù)方程表示為將知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx

4、1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 設設是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方導游數(shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 nn二、梯度二、梯度 方導游數(shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這闡明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變

5、化率之值方導游數(shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmax1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 G闡明闡明: 函數(shù)的方導游數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,機動 目錄 上

6、頁 下頁 前往 終了 面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線 . ,不同時為零設yxff那么L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設P同樣, 對應函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當各偏導數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.3. 梯度的根本運算公式梯度的根本運算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(

7、4)uufufgrad)()(grad(5)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4.,)(可導設rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r三、物理意義三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù)矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場

8、梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 留意留意: 恣意一個向量場不一定是梯度場恣意一個向量場不一定是梯度場.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5. 知位于坐標原點的點電荷 q 在恣意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例利用例4的結果的結果 這闡明場強:處所產生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 Eugrad)4(02rrqE 場強04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf內容小結內容小結1. 方導游數(shù)方導游數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyx

9、P沿方向 l (方向角),為的方導游數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方導游數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方導游數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思索與練習思索與練習1. 設函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求

10、函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方導游數(shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向 的夾角 .2. P73 題 16機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 函數(shù)沿 l 的方導游數(shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306a

11、rccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P73 題 16P51 2，3，6，7，8，9，10 作業(yè)作業(yè)第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2留意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方導游數(shù)