步步高江蘇專用(理)高三數(shù)學(xué)《大二輪專題復(fù)習(xí)與增分策略》專題七第3講坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、第3講坐標(biāo)系與參數(shù)方程【高考考情解讀】 高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、 直線和圓的極坐標(biāo)方程； 參 數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用. 以極坐標(biāo)、參數(shù)方 程與普通方程的互化為主要考查形式， 同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識. 高考 中以解答題形式出現(xiàn)，中檔難度，分值為 10分.瞄準(zhǔn)高考主干知識梳理1 .直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(po,60),且極軸到此直線的角為a,則它的方程為：psin(。一a)=posin(一 o) .幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過極點(diǎn)：0=忘(2)直線過點(diǎn) M(a,0)且垂直于極軸：pcos 0= a;(3)

2、直線過M, 2卜平行于極軸：n。= b.2 .圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(佃，盼，半徑為r的圓方程為：任-2fopcos(。一 生)+(0=0.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心位于極點(diǎn)，半徑為 r： p= r;(2)圓心位于 M(r,0),半徑為r： p= 2r cos 0;(3)圓心位于 M8, 2l半彳仝為r： p= 2rsin 0.3 .常見曲線的參數(shù)方程(1)圓x_2x=2pt ,（t為參數(shù)）.y= 2pt+y2=r2的參數(shù)方程為lx rcos0,(。為參數(shù)).ly= rsin 0（2）圓（xx0）2+（y y。）2ox=x0+rcosa=r2的參數(shù)方程為f|y= y0+ rsin

3、 0(。為參數(shù)).22(3)橢圓 " 1的參數(shù)方程為x= acos 0,（。為參數(shù)）.y= bsin 0(4)拋物線y2=2px的參數(shù)方程為（5）過定點(diǎn)p（xo, y。）的傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為x= xo + tcos a,y= yo+ tsin a（t為參數(shù)）.4 .直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為（x, y）和（p, 0）,則x= pcos 0|y=由in 0p2= x2+ y2ytan 0= x(xw 0解析高考熱點(diǎn)分類突破考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的

4、互化【例1】在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,. 兀一直線l與曲線C的極坐標(biāo)萬程分別是pcos（ 0+ 4）= 3%/2和2psin 0= 8cos 0,直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B,求線段AB的長.psin (Sin-4斛 QOS(。+ 4)= pcos Qcos一,222 pcos 0 -2- psin 0直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x- y= 6.又 岱in2e= 8cos 9,2sin2 0= 8 pcos a曲線C對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y2= 8x.解方程組x y=6 ly2= 8xx=2 得或ly= - 4x= 18ly= 12 '所以 A(2, 4), B(18,12),所以 AB =

5、4182 j+12 （ 4 J2 = 162.即線段AB的長為1672.' （1）在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍, 否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一.（2）在與曲線的方程進(jìn)行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性.4鐮L（2012陜西改編）求直線2pcos仁1與圓P= 2cos。相交的弦長.1解直線2 pcos 0= 1可化為2x= 1,即x= 2;圓p= 2cos。兩邊同乘 p得p = 2pcos 0,化為直角坐標(biāo)方程是 x2 -x= 2tan 0,曲線C的參數(shù)方程為“（。為參數(shù)）.試求直線l和曲線C的普通方程，并求y= 2tan 0出它們的公共點(diǎn)的

6、坐標(biāo).一 .，x= t+ 1 ,一解因?yàn)橹本€l的參數(shù)萬程為i（t為參數(shù)），由x= t+1得t=x1,代入y=2t,y=2t得到直線l的普通方程為2x- y2=0.同理得到曲線 C的普通方程為y2= 2x.y=2（x1 聯(lián)立方程組已ly = 2x,解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）,。，一 1；x=4-2t,（2）已知直線l的參數(shù)方程為ly=t-2求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值.x= 4 - 2t,解由于直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,ly=t-2+ y2= 2x.將 x=2代入 x2+y2= 2x 得 y2=弓，: y= 2.故弦長為2X乎=巾.（2）（2012湖南）在極坐標(biāo)系中，曲線 C1： p（V

7、2cos0+ sin = 1與曲線C2： P= a（a>0）的一 個交點(diǎn)在極軸上，求 a的值.解 Kcos 0+ sin 0）= 1,即娘pcos0+ psin 0= 1對應(yīng)的普通方程為 2x+ y 1 = 0,p= a（a>0）對應(yīng)的普通方程為 x2 + y2 = a2.在U2x+ y 1 = 0 中，令 y= 0,得 x=孚.將, 0 代入 x2+ y2= a2 得 a= -22.考點(diǎn)二參數(shù)方程與普通方程的互化x= t+ 1,【例2 （1）（2013江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,（t為參數(shù)），P是橢圓x4+y2=1上的任意一點(diǎn),y=2t故直線

8、l的普通方程為x+2y=0.2因?yàn)镻為橢圓x- + y2 = 1上的任意一點(diǎn)， 4故可設(shè) P（2cos 0, sin 0）,其中R.因此點(diǎn)P到直線l的距離是d = Ecos翼舞112+222耳in 時4）=5所以當(dāng)0= k兀+ y, k C Z時，d取得最大值 45探究提高（1）參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等.在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形.（2）參數(shù)方程思想的應(yīng)用，不僅有利于曲線方程的表達(dá)，也成為研究曲線性質(zhì)的有力工具，如在求軌跡方程、求最值的問題中有廣泛的應(yīng)用.變式訓(xùn)維2.（2013廣東改編）已知曲線C的參數(shù)方程為點(diǎn)（

9、1,1）處的切線為1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 坐標(biāo)方程.x= 1'J2 cost （t為參數(shù)）,C在、y= V2sintx軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 求1的極X= Accostc c解由（t為參數(shù)），得曲線 C的普通方程為x2+y2 = 2.則在點(diǎn)（1,1）處的切線1y= v2sint的方程為y1 = （x1）,即*+丫一2=0.又*= pcos 0, y = psin 0,故1的極坐標(biāo)方程為pcos 0+ psin 0 2= 0.x= 2cost,（2）（2013課標(biāo)全國n）已知動點(diǎn)P、Q都在曲線C: （t為參數(shù)）上，對應(yīng)參數(shù)|y= 2sint分別為t=a與t=2”（0<“&l

10、t;2兀），M為PQ的中點(diǎn).求M的軌跡的參數(shù)方程；將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷 M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).解依題意有 P（2cos a, 2sin % Q（2cos2 a, 2sin2 a）,因止匕 M （cos a+ cos2 a, sin a+ sin2 0.M的軌跡的參數(shù)方程為x= cos a+ cos2 a,（a 為參數(shù),0< a<2 Ti）.Iy= sin a+ sin2 aM點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d =心2 + y2 =42 + 2cos0< a<2 兀）.當(dāng)a= & d= 0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).考點(diǎn)三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用X= 2

11、cos a,【例3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).|y= 2+ 2sin aM是Ci上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP=2OM，點(diǎn)P的軌跡為曲線 C2.求C2的參數(shù)方程；兀，.一 一 I一一 I 一 、(2)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線。=可與Ci的異于極點(diǎn)的父3點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B,求AB.解設(shè)P(x, v),則由條件知M曲，2仙于M點(diǎn)在Ci上，xx= 4cos a,即5V= 4+ 4sin 52= 2cos a, 所以2= 2+ 2sin a,x= 4cos a, 從而C2的參數(shù)方程為(a為參數(shù))y= 4+4sin a.(2)曲線Ci的極坐

12、標(biāo)方程為 p= 4sin 0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為尸8sin 0.射線寫C1的交點(diǎn)A的極徑為p1=4sin，, 33射線。=打 C2的交點(diǎn)B的極徑為 色= 8sin/ 33所以AB=|自一仍|=243.探究攫高曲線參數(shù)方程有很多優(yōu)點(diǎn)：曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)都可用一個參數(shù)表示，變元只有一個.特別對于圓、橢圓、雙曲線 有很大用處.很多參數(shù)都有實(shí)際意義，解決問題更方便.比如：x=xo+tCoSa直線參數(shù)方程 (,.(“為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|=PM, P(x, y)為動點(diǎn)，y = yo+ tSin aM(xo, yo)為定點(diǎn).(2)求兩點(diǎn)間距離時，用極坐標(biāo)也比較方便，這兩點(diǎn)與原點(diǎn)共線時，距離為|

13、pi一回，這兩點(diǎn)與原點(diǎn)不共線時， 用余弦定理求解.無論哪種情形，用數(shù)形結(jié)合的方法易得解題思路.女青訓(xùn)雄飛x = acos(f)尊亞"兒(i)(20i3湖北改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為5ly= bsin()(4為參數(shù)，a>b>0),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為 n(。+6=¥2m(m為非零常數(shù))與p= b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓 O相切，求橢圓C的離心率.解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y?= 1,直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+ y=m,圓。的方程為x2 +

14、a by2= b2,Ci的若曲(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線x=tan1/一參數(shù)方程為(4為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為Kcos時sin 0)=1,y=Z- tan ()線Ci與C2相交于A、B兩點(diǎn).求線段AB的長；求點(diǎn)M( 1,2)到A、B兩點(diǎn)的距離之積.解由曲線Ci的參數(shù)方程可得曲線 Ci的普通方程為y=x2(xw0),方程為由曲線C2的極坐標(biāo)方程可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x+y1 = 0,則曲線C2的參數(shù)(t為參數(shù))，將其代入曲線C1的普通方程得t2+V2t-2=0,設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則 t1 + t2=一小，t

15、t2=2,所以 AB = t1 一 t21=叱G +12 2 - 4t)t2 = "VT0.由可得MA MB = |t1t2|=2.規(guī)律總結(jié); 31 .解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認(rèn)識，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 在涉及圓、橢圓的有關(guān)最值問題時， 若能將動點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來，借助相應(yīng)的參數(shù)方程，可以有效地簡化運(yùn)算，從而提高解題的速度.P2= x2+ y2，八yctan 0= x (xw 02 .極坐標(biāo)方程與普通方程互化核心公式：x=(cos 0 -生)，傾斜角為a的直

16、線方程為psin( 0-o)= sin(0oa).特別地，過點(diǎn)|y=由in 03 .過點(diǎn)A(, 一，一兀一 A(a,0),垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程為pcos0= a.平行于極軸且過點(diǎn) A(b,引的直線l的極坐標(biāo)方程為psin 0= b.4 .圓心在點(diǎn) A(po, 00),半徑為r的圓的方程為r2=任+ P0- 2 p ocos( 0-昉.X=xo+tcos。5 .重點(diǎn)掌握直線的參數(shù)方程(，.八(t為參數(shù))，理解參數(shù)t的幾何意義.|y= y0+ tSin 0押題精練1 .在極坐標(biāo)系中，求過圓 尸6cos。的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程.解把p= 6cos。兩邊同乘以p,得p2= 6

17、 pcos 0,所以圓的普通方程為x2+ y2- 6x= 0,即(x3)2+y2=9,圓心為(3,0),故所求直線的極坐標(biāo)方程為pcos 0= 3.2 .已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同.直線l的極坐標(biāo)方程為P=，點(diǎn) P(1 + cos a, sin a),參數(shù)代0,2力求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；(2)求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.x= 1 + cos a,解由Sly= sin a,得點(diǎn)P的軌跡方程(x1)2+y2=1.(2)由 p=得而in "；)尸,sin 0+ cos 0sin 0+ pcos0= 9.曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+

18、 y= 9.圓(x1)2+y2=1的圓心(1,0)到直線x + y=9的距離為472,所以(PQ)min=442 1.專題突破練（推薦時間：60分鐘）x= 2s+ 1,1. （2013湖南改編）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若直線li：（s為參數(shù)）和直線12：ly=sx= at,（t為參數(shù)）平行，求常數(shù)a的值. ly=2tT“ ,x= 2s+ 1 , , , ,解由i消去參數(shù)s,彳# x= 2y+1.y= s,x=at, 一，由i消去參數(shù)t,得2x= ay+a.|y=2t12. （2012江蘇）如圖，在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)Pf2, 4 i；,圓a= 4.心為直線psin 。一 3；=坐與極

19、軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.解在psin 03尸-當(dāng)中令所以圓C的圓心坐標(biāo)為（1,0）.因?yàn)閳Ac經(jīng)過點(diǎn)p2,4）所以圓C的半徑PC= q2 + 12 2 x 1 x cos j= 1,于是圓C過極點(diǎn)，所以圓 C的極坐標(biāo)方程為P= 2cos arx= 5cos 4,3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓i（）為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線ly= 3sin 4x=4- 2t,（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程.ly= 3 t解由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a=5,短半軸長b=3,從而c= .a2 b2 = 4,所以右焦點(diǎn)為（4,0）.將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x-2y+2=0.故所求直線的斜率為2,

20、因此其方程為y=2（x-4）,即 x-2y-4= 0.4. (2013重慶改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐9='標(biāo)系.右極坐標(biāo)萬程為pcose= 4的直線與曲線i 3 (t為參數(shù))相交于A, B兩點(diǎn)，卜一求AB的長.一、一、x=t2,解將極坐標(biāo)方程 poos 0= 4化為直角坐標(biāo)方程得 x=4,將x= 4代入3得t=12,ly=t從而 y=i8.所以 A(4,8), B(4, 8).所以 AB=|8 ( 8)|= 16.5 .在極坐標(biāo)系中，已知圓 尸2cos 0與直線3 poos 0+ 4 fsin 0+ a=0相切，求實(shí)數(shù) a的值.解將極坐標(biāo)方程

21、化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2+y2=2x,即(x1)2+y2=1,直線的方程為 3x+ 4y + a=0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1,目口士 |3X 1+4X0 + a| / 宿日 cf c即有反:JTai = 1 解得a=8或a=2./32+42故a的值為-8或2.6 .求直線 產(chǎn)-5T關(guān)于0=7(p R)對稱的直線方程.3cos 0- 2sin 04'''5 n解直線p=化為直角坐標(biāo)方程為3x 2y=5, 0=二化為直角坐標(biāo)方程為y =3cos。一 2sin 04'x,則3x2y=5關(guān)于y= x對稱的直線方程為 3y 2x=5,化為極坐標(biāo)

22、方程為3 psin 0一rr52 pcos 0= 5,即 p=.3sin 0 2cos 07 .在極坐標(biāo)系中，P是曲線 尸12sin。上的動點(diǎn)，Q是曲線p= 12cos(4，上的動點(diǎn)，試求PQ的最大值.解尸 12sin 0, 1- f2= 12 psin 0, .,.x2+y2- 12y = 0,即 x2+(y6)2= 36.圓心坐標(biāo)為(0,6),半徑為6.又尸 12cos24 c ,八兀 . 八.兀p =12 p(cos 0cos6+sin 9sin6),x2+ y2 6V3x 6y= 0,.(x-33)2+ (y3)2=36,圓心坐標(biāo)為(3艱，3),半徑為6.(PQ)max= 6+6+ 叱

23、3/2+(6-3 2 =18.8 .已知曲線 Ci的極坐標(biāo)萬程為尸4sin 0,曲線C2的極坐標(biāo)萬程為 °=6(pC R),曲線Ci,C2相交于點(diǎn)M, N.(1)將曲線Ci, C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求線段MN的長.解(1)由 尸 4sin 0,得 2 = 4 psin 0,即曲線Ci的直角坐標(biāo)方程為 x2+y24y=0,由0=6(pe R)得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y=?3x.(2)把 y =乎x代入 x2 + y2 4y= 0, 3得 x2+3x2-鳴=0,即3x2吟。,解得 xi=0, x2 = 43,yi = 0, y2= i.MN=，M2+i = 2.即線段MN的長為2.9 . (20i3遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓Ci,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為p= 4sin 0, pcos。4戶2y2.(i)求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為Ci的圓心，Q為Ci與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ