利用導數(shù)分析方程的根和函數(shù)的零點教(學)案

1、利用與數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點總結： 方程f X 0的根函數(shù)y f x的零點函數(shù)y f x的圖像與x軸的交點的包坐標方程f x g x的根 方程f x g x 0的根h x f x g x的零點函數(shù)y gx與y f x的圖象的交點的橫坐標。1.設a為實數(shù)，函數(shù)f x x3 x2 x a ,當 軸僅有一個交點。解：廣#) = 3/ - 2# 1若'(工)-通則工=一;，或工二1節(jié).F變化時,尸變化情況如下表；4u-3Hl1(W)加十0.Q+MT極大tflJ極小俶T所以幻的極人仙是 人-4心林小柏是=所以,VU%,/=廓+仃/n.呵j)“用=a->oH >即當".卜

2、f一卷)u(L一附.曲線1y =與謝保育一個交點思號當口在什么范用內取笊時，對箕丫=。幻與，軸有兩個交點7有一個交點？2、已知函數(shù) f(x)= x2+8x,g (x)=6ln x+m(I)求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);(n)是否存在實數(shù) m ,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若 存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。解：(I) f (x)x2 8x (x 4)2 16.當 t 1 4, 即 t 3 時， f (x) 在 t,t 1 上單調遞增-2_2 一h(t) f (t 1) (t 1)8(t 1) t 6t 7;當t 4 t 1,即

3、3t 4時，h(t) f(4) 16;當t 4時，f (x)在t,t 1上單調遞減,2-一t 6t 7,t 3,h(t) f(t) t2 8t.綜上，h(t) 16,3 t 4,t2 8t, t 4(II)函數(shù)y f(x)的圖象與y g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)(x) g (x) f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點。2Q (x) x 8x 6ln x m,一 2一一-一2x8x62(x1)(x 3).0)xx'(x) 0, (x)是增函數(shù)；當x (0,3)時，'(x) 0, (x)是減函數(shù);'(x) 0, (x)是增函數(shù)；當 x 1,或

4、x 3 時，'(x) 0.(x)最大值(1) m 7, (x)最小值(3) m 6ln 3 15.6'(x) 2x 8 - x當 x (0,1)時,當x (3,)時,Q當x充分接近0時，(x) 0,當x充分大時，(x) 0.要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須(x)最大值m 7 0,即7 m 15 61n3.所以存在實數(shù) m ,使得函(x)最小值m 6ln3 15 0,數(shù)y "*)與丫 g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7,15 6ln 3).3、已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x) 0的解集是(0,5),且f (x)在區(qū)間

5、1,4上的最大值是12 。(I)求f (x)的解析式; 37(II)是否存在自然數(shù) m,使得方程f(x) 37 x等的實數(shù)根？若存在，求出 m的取值范圍；若不存在,0在區(qū)間(m,m 1)內有且只有兩個不說明理由。解刈)二/(幻是二次函數(shù)，且，(4)<(的解集是(0,5>二可設/(工)二奴(五一5).(。>0):/ 口)在區(qū)間-L4上的最大值是，(T) = 6m 由已知得6。= 12,."=2./ (jc) = 2x(X 5) 10xT(xe R)恒成立問題:方程門O+ =。等價于方程2-10產+37=0 設由m170 工工+ 3?, 則'(幻=6xl- 20

6、x = lxpi-10)當x Q. 時f *(jl ) < Ck力O是版函數(shù)s13 3/ If),'"u e ,+時/(幻>0,加r>是用函數(shù). 3)10|v ftH) - I ?- J - - <0,A(4) - 5 >04(mA /in 1二方慳:區(qū)間3.I A內分別宥唯一實數(shù)根.<_ 3 八 m J而fl區(qū)阿(Q.”(4.g購沒彳I實數(shù)根.嘉存在琲一的門然數(shù)牌=凡使得歹用f(# + U = o在區(qū)間 X口的+1內有II艮有兩個不同的聯(lián)教想24：已知函數(shù)fx x alnx a a 0在0, 滿足f x 0恒成立，求a的取值氾圍。令廣=A

7、-2 二瘟二R,因為30戶X),4 J解得f等< VF)1仔_fM0,4-H力G 1極小值T /由去可得，d)3句日停+*因為對任意#名(0,+瞌儲含。恒成立,所以對富(o十). f IG.券Q，所以全石),0,解得口江方。因為必所以白的取值范圍為地加"a25：已知函數(shù)f x x ，g x x 2lnx,其中a 0,右對于Xi, X20,x都有f x g x2恒成立，求a的取值范圍。*折：令因為心0/3,解得EU列表：X他6d&2)0./*)程小植4由表可蹲，/（明b三2此令"（里）工占4二出產 孫 國為才用，解將*=1.ar(04)1<1 3*16一*

8、>T屯也可得®為對任意說/淖付.48）,瓢有/但）丁式斯）但應史所以時Mi （色+B）有/”），即加K-1*解得口所以4的取信能用為"，*0）-J課后練習1*攻圈奴八工）=丁-6工工工叱發(fā)©（V求*r）的單調區(qū)間和極值, 若關于工的方程門工=*有3個不同斯民求實數(shù)*的取值范圍手（3）已知當工E匚,-工有J0） 2 口工-1）恒成立，求實數(shù)七的取值范圍02、已知函數(shù) f(x) x3 3ax 1,a 0求f (x)的單調區(qū)間;若f(x)在x 1處取得極值，直線y=m與y f (x)的圖象有三個不同的交點, 的取值范圍。22.解析：(1) f (x) 3x 3a

9、3(xa),當a 0時，對x R,有f (x) 0,當a 0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)當a 0時，由f'(x) 0解得xja或x ja ；由 f (x) 0 解得 Va x Ta ,當a 0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，J3),(ja,); f(x)的單調減區(qū)間為(7a, Va)°(2)因為f (x)在x1處取得極大值，2所以 f ( 1) 3 ( 1) 3a 0, a 1. 3-'2所以 f (x) x 3x 1, f (x) 3x 3, 由 f (x) 0解得 x11,x2 1。由(1)中f(x)的單調性可知，f (x)在x 1處取得極大值f( 1) 1,在

10、x 1處取得極小值f (1)3。因為直線y m與函數(shù)y f (x)的圖象有三個不同的交點，又 f ( 3)193,f(3) 17 1,結合f(x)的單調性可知，m的取值范圍是(3,1)。30 23、設函數(shù) f (x) x - x 6x a.(1)對于任意實數(shù)x , f (x) m恒成立，求 m的最大值;(2)若方程f(x) 0有且僅有一個實根，求 a的取值范圍.2解：(1) f (x) 3x2 9x 6 3(x 1)(x 2),因為 x (,) , f'(x) m,即 3x2 9x (6 m) 0恒成立，33所以 81 12(6 m) 0,得m ?,即m的最大值為 -44(2)因為當 x 1時，f (x) 0;當 1 x 2時，f (x) 0;當 x 2時，f (x) 0;5所以當x 1時，f(x)取極大值 f(1) a；2當x 2時，f(x)取極小值 f (2) 2 a；故當f (2)