2019考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)與空間解析幾何-23文檔資料

1、第四章向量代數(shù)與空間解析幾何邀學(xué)1要求】2021年測試內(nèi)容向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面 柱面 旋轉(zhuǎn)曲面 常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程2021年測試要求1 .理解空間直角坐標(biāo)系,理解向量的概念及其表示.2 .掌握向量的運(yùn)算線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積,了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件.13 .理解單

2、位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式,掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.4 .掌握平面方程和直線方程及其求法.5 .會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角,并會利用平面、直線的相互關(guān)系平行、垂 直、相交等解決有關(guān)問題.6 .會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.7 . 了解曲面方程和空間曲線方程的概念.8 . 了解常用二次曲面的方程及其圖形,會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影,并會求該投影曲線的方程.一、三基及其延拓1.向量代數(shù)研究的對象為自由向量,研究的空間限于實(shí)物空間,即不超過三維的空間,一一 , v v向重的一般表

3、小a, b,等幾何表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的有向線段坐標(biāo)表小:投影表示:vva (X1,y1,Z1), b (X2,y2Z)r r r r r r r ra axi ay j azk ； b bx i by j bzk坐標(biāo)系：任何極大完備無關(guān)向量組i1r r r rura1,a2,a3,L an ,其中:aii2i3M可以構(gòu)成坐標(biāo)系,如果將該向量組施密特正交化和單位化,那么構(gòu)成正交直角坐標(biāo)系,很顯然,isr r r r如果a1,a2,a3,L an中的每一向量是 3維s=3,有三個(gè)坐標(biāo)分量,那么不可能由二維坐標(biāo)系n=2 ,有二個(gè)獨(dú)立分量表示,這個(gè)思想應(yīng)特別注意.向量的方向角和方向余弦r a與x軸、r

4、y軸和z軸的正向且非負(fù)的夾角,稱為a的方向角. cos ,cosr,cos稱為a的方向余弦,且cosax干, acosayacosr ur 、r e為r的單包向重,并規(guī)止urer離開原點(diǎn)為正方向.ur , r、,e稱為r的單位向量,并且2 cos2 cos2 cosurerur任意向量線元e為l的單位向量,并規(guī)定ure離開原點(diǎn)為正方向uuun任意向量面元d為面元法線的單位向量,并規(guī)定en與z軸夾角為銳角時(shí)為正方向.兩向量的夾角規(guī)定：為兩向量不大于 的夾角,即0直線與平面的夾角規(guī)定：直線與該直線在平面上的投影直線之間的夾角,平面與平面的夾角規(guī)定：兩平面的公垂面與他們的截痕直線之間的夾角,又等于他

5、們的法線之間不超過一的夾角O2定比分點(diǎn)公式：P,F2, P為同一直線上的三點(diǎn),uuir PiP uur PP20,1,P在P,和B中P在P2外0, P在P,外uurPiPuurPP2uuuOPXX2y1,11y2ziZ2又稱標(biāo)積或點(diǎn)積,表示為、 v v或：a brPr jbaa Pr jabb Prjbar ra baxbx aybazbz0,b;b222xbybz稱為a在b上的投影注意：數(shù)量積本質(zhì)上就是一個(gè)實(shí)數(shù).向量積 又稱叉積或外積,表示為在三維以上空間的數(shù)量積稱為內(nèi)積,且可表示為v va b方向規(guī)定：轉(zhuǎn)向角不超過的右手螺旋定那么v vv v 一, v v ,幾何意義：a b=平行四邊形的

6、面積；a b 0,且共起點(diǎn)a, b共線r r rrrrr ur rabc =0a, b c 共面.混和積表示為abcr r r幾何意義：abc代表平行六面體的體積;vvda dax v day v daz v d,/、df v . da求導(dǎo)法那么-1 j - k (fa) a f -dt dt dt dt dt dt dt2、場論考點(diǎn)場的概念：在全部空間或局部空間里的每一點(diǎn),都對應(yīng)著某個(gè)物理量確實(shí)定值,叫做該 空間的物理量的場,分為數(shù)量場與向量場兩類.數(shù)量場用梯度描述,向量場用散 度與旋度描述.場論的數(shù)學(xué)核心：梯度算符,用ri rj -rkxyz表小,定義為0梯度定義:v -k,就好比樓梯的陡

7、度. z散度uv、A定義:ivpA xruv r r一,其中 A Pi Qjz表示分散的程度.旋度uvA定義:如沒有閉合,如果沒有分散,那么散度為零,如靜磁場的散度vvvijkxyzAxAyAzivA,表示蝸旋的程度.即不存在蝸旋,那么旋度為零,如靜電場的旋度uvB 0ouvE 0.運(yùn)算關(guān)系本知識點(diǎn)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求,高數(shù)甲乙或高數(shù)AB需掌握高斯公式的場論表示斯托克斯公式場論表示uvuvuv0AdSvAdVuv vuv uvA dlA dSs平面格林公式Q P , 女述dl Pdx Qdy dxdy 入s x y評注在高斯公式和斯托克斯公式中,各符號的具體意義如下:111r r r rr評

8、 注 讀者最難理解是關(guān)系：d S dSn idydz jdzdx kdxdy.其實(shí)就是n的方向余弦cos , cos , cos元投影面元的關(guān)系,讀者可在三維空間作一個(gè)平面2 * 1.然后a b c在該平面內(nèi)過z c點(diǎn)畫無數(shù)線元dSi,每一線元在xoy平面的投影為 dui ,顯然 dui dSi cos ,并有：dui dxdy,d§ dS dxdy dScos ,同理可得其他兩個(gè)坐標(biāo)平面的面元投影 關(guān)系：dydz dScos ; dzdy dScos .上述關(guān)系是讀者能否學(xué)好空間積分的關(guān)鍵,務(wù)必掌a-萬能坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系 本小節(jié)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求,高數(shù)甲乙或高數(shù)AB需掌握在

9、該系中任一曲線元dli hiduidui為球面系、柱面系等坐標(biāo)曲線元.對直角坐標(biāo)dl1 dxdl2dydla dz ;hh2ha1 ；3 x, u2 y, ua z對柱坐標(biāo)系(r, ,z)hi1, h2r,r, u2,ua對球坐標(biāo)系(r,)hi1, h2r,h3 r sinr, u2,uaiv那么61l1uvl2uv小lau1 uv-e1u l1u2 W-e2 u2 l2uauvea1uv1uv c1uve1e2eah1u1h2u2haua即:uv 1而A而公瓦幾工D無須掌握證實(shí)過程uv uv uv幾0年62haGlv1無須掌握證實(shí)過程Ah1h2hau1u2uaAhA?h2Aahaivuv 記

10、住,A, A的結(jié)論形式即可拉普拉斯算子在球坐標(biāo)系的形式拉普拉斯算子在柱坐標(biāo)系的形式4,直線方程?方向向量s :一簇與該直線平行的方向數(shù)l,m,n；一般用s l,m, n表示直線的方向向量.一般式方程 wAx By C1z D10nlw從x B2y C2Z D20 n2v那么直線的方向向量 s l, m,nv點(diǎn)向式標(biāo)準(zhǔn)式s l,m,nABCA2, B2 ,C2iv INni電rn 一股表小平面的法線向量.xx0lt參數(shù)式y(tǒng)y0mtzZ0nta兩平行直線的距離d同上vM優(yōu)外:.為直線上點(diǎn),方向數(shù)：s l ,m,n兩點(diǎn)式方向角式： xcos ycos zcos及2pZ2 , 為 .直線間關(guān)系?點(diǎn)P

11、xi,yi,Zi到直線-?直線到直線的距離dvvvijkx2 xi V2 yi Z2 4lmnl2 m2n2b兩異面直線的距離d 畫出平行六面體圖推導(dǎo)出下式其中：P斗,必,4和P2 x2,y2,z2分別為兩直線上的任意兩點(diǎn),不管這兩點(diǎn)位置如何, uiurPF2的投影的模都等于d 05 .平面方程一般式 Ax By Cz D 0,、, v法線萬向向量 n A,B,C形象記憶掌握法：“影評隱蔽平行坐標(biāo)量,如y不出現(xiàn),那么/ y軸；依此類推.點(diǎn)法式Xi乂2X3y1y2y34z2z3=0截距式：即平面經(jīng)過以下三點(diǎn):(a, 0,0), (0, b, 0), (0, 0, c)平面束方程不包含A2x B2

12、y C2zD2 0 ;如果所求平面通過直線一般式,那么用平面束方程會比擬簡便,但必須驗(yàn)證A2X B2y C2z D2 0是否滿足所求結(jié)論,以免遺漏.平面間的關(guān)系夾角點(diǎn)P02 AA2cosB1 區(qū) C1C2 =0,A2X0, y0, z0到平面AAzB1B2 C1C22 c 2A 22 c 2BiCi 1, A2B2c2Ax By Cz D 0的距離,對直線到平面的距離只要在已知直線上任取一點(diǎn)即可類似處理證實(shí)：在平面上任取一點(diǎn)uumXi, %, 4 ,作平面的法線向量n,那么d PrjnPP.兩平行平面之間的距離sin6 .平面與直線之關(guān)系夾角7 .曲面及其方程7.1 準(zhǔn)線與母線的界定準(zhǔn)線一般指

13、基準(zhǔn)曲線,如旋轉(zhuǎn)軸,圓或圓錐曲線； 母線顧名思義是由該曲線旋轉(zhuǎn)或平移可以是空間平移后可以生成所要求的曲面的曲線就像母親生孩子；其中的旋轉(zhuǎn)軸和平移基準(zhǔn)也就是準(zhǔn)線.如一條直線沿某一圓周平移一周形成圓柱面.第163頁7.2 二次曲面二次曲面的二次型表示adfA正定或負(fù)定 橢球面Adbe的特征值就確定了三類曲面：A無0特征值且特征值異號雙曲面fecA有0特征值 拋物面大綱中只要求掌握一局部二次曲面,包括：九種常用二次曲面,圓柱面和一般錐面.如何掌握以下技巧提供了全面解決方略.陳氏第6技|從準(zhǔn)線與母線的三種關(guān)系和陳式 4法來系統(tǒng)掌握考點(diǎn),并理解曲面圖形.?準(zhǔn)線和母線都是直線旋轉(zhuǎn)形成錐面如橢圓錐面等 .?

14、準(zhǔn)線是直線而母為曲線旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面如單雙葉雙曲面等 ；空間平移形成柱面如橢圓柱面等.?準(zhǔn)線和母線都是曲線相互正交的兩拋物線平移形成馬鞍面；橢圓沿拋物線伸縮平移形成橢圓拋物面.零點(diǎn)法：用于分析二次曲面的準(zhǔn)線和母線,以便確定曲面的輪廓.截痕法：用于分析二次曲面的細(xì)節(jié),以便畫出曲面圖形.伸縮法：用于分析曲面之間的轉(zhuǎn)換,如圓錐面轉(zhuǎn)化為橢圓錐面等.動靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法：是確定旋轉(zhuǎn)曲面方程和伸縮變形方程的定勢手段.7.3 投影方程確實(shí)定任一空間曲線：FlX,y,Z0在平面冗上的投影構(gòu)成一條平面曲線一一 投影曲線；以F2x, y, z 0投影曲線為母線沿垂直于平面冗的任意準(zhǔn)線移動構(gòu)成投影柱面,如直線的投影柱面就是

15、一個(gè)垂直于兀的平面.如求曲線 在xoy平面上的投影方程由 中消去z 得到一個(gè)母線/ z軸的柱面方程 x,y 00那么投影于XOY平面上的投影方程為(x,y) 0 z 0評 注I空間幾何解題一般切入點(diǎn)：首先盡可能畫出草圖,思考所求結(jié)論必須知道幾個(gè)可能的條件,這些條件在題目中一般又是隱含出現(xiàn)的, 我們的目標(biāo)就是從隱含條件推出需要的 條件,然后套用直線或平面的方程類型.其中,重點(diǎn)注意直線的方向向量和平面的第164頁法向向量與待求直線或平面的關(guān)系.x 3 t【例1】求直線L y 1 2t在平面：x y 3z 8=0上和三個(gè)坐標(biāo)平面上的的投影方 z 5 8t程.uu解：第一步求投影柱面對直線投影而言投影

16、柱面就是投影平面方程 的n ,vvvijk12811 314,11, 1該平面顯然與垂直,又uU v v那么易知n s n又*也通過L,可以利用L上的點(diǎn)3, 1,5 ,那么*為L在平面冗投影正好為* .與的交線,具方程為直線在三個(gè)平面上的投影方程為:8 .二次曲面方程和圖形的研究8.1 準(zhǔn)線和母線是研究曲面的核心技術(shù).曲面方程,用 零點(diǎn)法可確定準(zhǔn)線和母線,從 而確定曲面的生成方式；用截痕法可以確定曲面的具體形狀；用伸縮法可以研究曲面之間的 轉(zhuǎn)換,建立新曲面方程和后面的將要建立的旋轉(zhuǎn)曲面方程要使用 動靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法.研考數(shù)學(xué)中 的曲面都是由母線沿準(zhǔn)線空間平移或旋轉(zhuǎn)及坐標(biāo)伸縮變形而形成 .零點(diǎn)法例如：

17、分析曲面方程為22與當(dāng)z的圖形,令x 0a b2 y b2y2b2z為一開口向下的曲線,也就是用水平平面截該曲面時(shí),其截痕是雙曲線.綜合零點(diǎn)法的分析,我們就能夠確22定：、與 z正是雙曲拋物面,即馬鞍面.a b伸縮法如在曲面F x,y0上取一靜點(diǎn)M x1,y1 ,現(xiàn)把M x1,y1變形為動點(diǎn)M x2,y2 ,然后想方法消去靜點(diǎn)坐標(biāo)即動靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法.又,給定兩了點(diǎn)坐標(biāo)的伸縮變換關(guān)系,如令x2x1； y2y1,那么：F x1x2,一 y21x,一 y0稱為原曲面經(jīng)伸縮變形后的新曲面方程.例如圓柱面變成橢圓柱面:222222x y ax1yax22 x2aby22 x2 -2" ay22 b

18、2特點(diǎn)：柱面方程中,柱面軸平行于隱含的坐標(biāo)軸,如2x 2py的軸平行于z軸又如圓錐面變成橢圓錐面:常用曲面之一：柱面評 注|柱面是由母線沿準(zhǔn)線空間平移形成,柱面的準(zhǔn)線和母線必有一個(gè)是直線.其中, 直線為準(zhǔn)線,曲線為母線.如果是圓柱面,那么準(zhǔn)線和母線可以互換；如果為非圓柱面, 如棱柱面,那么必須取直線為準(zhǔn)線,曲線為母線.22x2x2冬1雙曲柱面x2 2py 拋物柱面a b y2 R2圓柱面與與1橢圓柱面a2 b2注意：在三維情況下圓的方程的一種形式為 形象記憶掌握法：影隱評平柱面方程的一般求法：給定準(zhǔn)線L: f x,y 0和母線的方向 z hrlir rmj nk ,求柱面方法如下:設(shè)P x,y

19、,z為柱面上的任意點(diǎn),根據(jù)柱面形成的過程,必在準(zhǔn)線L上有相應(yīng)的點(diǎn)uuir rQ X,Y,Z ,使得PQPs,由此可以利用直線PQ的方程將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系找出來, 即：(1)X x lt Y y mt Z z nt又由于Q X,Y,Z在L上,故 f X,Y 0 Z h2 y b22用1式代入2式,由h z nt得 所求的柱面方程為0,那么柱面方程為x2 r r r r_例如：母線方向s i j k及準(zhǔn)線L: a2z 這是一個(gè)斜的橢圓柱面.特別地：假設(shè)母線平行某一坐標(biāo)軸,如平行,那么 l m 0,那么柱面方程就是：f x,y 08.3常用曲面之二：旋轉(zhuǎn)曲面母線沿直線準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)移形成 平面曲線f

20、 x, y 0沿z軸旋轉(zhuǎn)不能形成曲面； 平面曲線f x, y0沿x軸旋轉(zhuǎn)fx, Jz2 y20; 平面曲線f x, y0沿y軸旋轉(zhuǎn)fVx2z2, y0.形象記憶法：舅留加飯方.即旋轉(zhuǎn)軸留在曲面方程中,增加沒出現(xiàn)的一個(gè)變量,然 后相加開平方.如二維曲線z .繞z旋轉(zhuǎn)后的曲面方程為z 4& y2收y2x 0特別地：當(dāng)母線為直線并與準(zhǔn)線相交時(shí),旋轉(zhuǎn)或平移那么形成圓錐面.例如：直線母線z ycot 為兩直線小于90度交角的一半沿z軸準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)后,變?yōu)閦 Jy2 x2cota2 cotz2 a2 x2 y2即為錐面方程,也可以由直線母線z ycot沿某一園空間平移一周而形成錐面.錐面方程的一般求法

21、：給定準(zhǔn)線L: f X,y 0和原點(diǎn)P0 0,0,0 ,求錐面方程如下： z h設(shè)P x,y,z為錐面上的任意點(diǎn),根據(jù)錐面形成的過程,必在準(zhǔn)線L上有相應(yīng)的點(diǎn)Q X,Y,Z ,使得Q X,Y,Z在直線RP的延長線上,直線RP的方向數(shù)顯然為x,y,z即:X xtY yt(1)Z zt又由于Q X,Y,Z在L上,故f X,Y 0Z h用1式代入2式,得所求的錐面方程為 可見以圓點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程是齊次方程.221 0例如：頂點(diǎn)在原點(diǎn)及準(zhǔn)線L: a2 b2 1 0,那么錐面方程為z 2這是一個(gè)橢圓錐面.【例2】求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且與三坐標(biāo)的截距相等的圓錐正圓錐方程.解：設(shè)錐面與三坐標(biāo)的交點(diǎn)為 A a,0,

22、0 ,B 0,a,0 ,C 0,0, a ,得該三點(diǎn)確定的平面方程,這就是準(zhǔn)線.截距式為：x y z a,該平面與正圓錐的的交線是一個(gè)圓又設(shè)M X,Y,Z為錐面上任意點(diǎn),O 0,0,0為原點(diǎn),x, y,z為母線OM與準(zhǔn)線的交點(diǎn),那么母線方程點(diǎn)法式為,x2 y2 z2Zz222x y zx yx Xt,y Yt, z Zt代入準(zhǔn)線方程得t2 X2 Y2 Z2 a2XY XZ YZ 0即為所求的錐面方程.空間曲線旋轉(zhuǎn)形成的曲面可以沿任意軸旋轉(zhuǎn)s,t空間曲線的參數(shù)方程：yt ,空間曲面的參數(shù)方程:s,ts,t沿z軸旋轉(zhuǎn)后形成的曲面方程為:【例3】求曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)3周所形成的曲面方程.解：先將曲線寫成

23、參數(shù)式繞z軸旋轉(zhuǎn)一周后9種必須掌握的曲面1)橢球錐面b22)橢球面b23)單葉雙曲面b22 z-2 c4)雙葉雙曲面2 y b25)橢圓拋物面2 y b26)雙曲的拋物面2 x2 ab2又稱馬鞍面準(zhǔn)線與母線是相互正交的拋物線,母線拋物線沿準(zhǔn)線拋物線平移形成馬鞍面,這是我們需要 掌握的唯一一個(gè)準(zhǔn)線與母線都是非直線的曲面.7)橢圓柱面2 x2 a2b2橢圓a2b2 h1母線平行z軸vb vb vb va V aav v-表示向量a與b的角平行線方向uu證實(shí)：由于單位向量：ear a十, aunebrb十b228雙曲柱面.、1 母線平行z軸a b9拋物柱面x2 ay母線平行z軸五星級提示：對于一般的

24、曲面方程,最方便的方法是：首先令其中一個(gè)變量為零,如能得出 母線或準(zhǔn)線,我們就能確定該曲面的形狀.二、典型題型v【例4】證實(shí)向量cuu uu解：由于 cos22 coscos21 ,所以:故該向量的方向?yàn)閏os,cos ,cos 0,0,【例6】 過點(diǎn)-1, 0, 4,平行于平面3x 4yz 10且與直線x 1 y 3二相交的直線2方程.解：一般切入點(diǎn)：如果所求的直線方向向量不能明顯求出,就設(shè)直線方程的參數(shù)形式.x設(shè)所求直線方程為：yz1 ltmt nt直線與平面平行,那么r rn s 3l4m n 0由ea與eb為邊構(gòu)成的平行四邊形為棱形,其對角線平分頂角,那么與a與b夾角平分線in平行的向

25、量d故原命題成立.【例5】一向量與x, y軸夾角相等為,與z軸夾角為2 ,試確定該向量的方向.1 Itmt 代入x1 y 3 Z消去x, y, z得x兩直線相交,那么將 yz聯(lián)立12得l 4n, m 19n n 28 l 16,m 19 ,所求的直線方程為 728【例7】 判斷Li :2 Y 三口；和L2 :- 上三112134是否共面,假設(shè)在同一平面求交點(diǎn),假設(shè)異面求距離urin解：s 1, 1, 2 ; S21, 3, 4 ;1 121 3 4 2 0為異面直線.11 1設(shè)兩直線距離為d,= Y三t, y_Js,那么112134由二元函數(shù)極值的充分條件知：t -,s 1是最小值點(diǎn),所以3也

26、可直接套用公式計(jì)算距離d :【例8】判斷L1 ：個(gè)口三；和 234L2 :x3xy 3 0的關(guān)系.y z 4 0解：兩直線的有四種關(guān)系：異面；相交；平行但不重合；重合. rrS12, 3, 4 ; s 1, 1, 03, 1, 11,1,2 故不平行,也不重合；看兩直線有無交點(diǎn),將L寫成參數(shù)式,代入L2的兩平面,看看能否得到同一個(gè) t 故兩直線不相交,所以兩直線異面.【例9】求過M 2, 3, 1點(diǎn),且與直線故所求直線L方程為x 9y 5z 20 0x 2y 5z 9 0【例10求滿足下面條件的直線方程a 過點(diǎn) A 1, 0,2 ;b 與平面 ：3x y 2z 3 0平行；c與直線Li： U匚

27、*相交.421ur解：直線Li的方向s 4, 2, 1 ,其上由一點(diǎn)A 1, 3, 0 ,根據(jù)條件b ,過A 1, 0,2作平行于平面 的平面1再根據(jù)條件c ,作平面2通過點(diǎn)A 1, 0,2和直線L1,顯然所求直線方程為【例11】設(shè)有直線L:x?0 212a求與L關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線L1的方程；b求與L關(guān)于xoy平面對稱的直線L2的方程;解:c求與L關(guān)于平面x y z 0對稱的直線L3的方程;a對于任何在直線L1上的靜點(diǎn)P x, y, z ,由于L1與L關(guān)于原點(diǎn)對稱,從而與P x, y, z點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的動點(diǎn)Q x, y,z必在L上,故L的方程為:x 1 _yz 3212b對于任何在直線L2上

28、的靜點(diǎn)P x, y, z ,由于L2與L關(guān)于xoy平面對稱,從而與P x, y, z點(diǎn)關(guān)于xoy平面對稱的動點(diǎn)Q x, y, z必在L上,故L2的方程為:x 1 _yz 3c L與平面 的交點(diǎn).也在所求的直線L3上,且該點(diǎn)坐標(biāo)滿足212x y z 0由上面的方程組得到：口 Y三f212從而解的交點(diǎn).點(diǎn)坐標(biāo)為7,4, 11L3的方向數(shù)可根據(jù)向量代數(shù)的根底求得:故所求直線L3的方程為:【例12】證實(shí)L1：X 丫12的長.uu解：L1的方向向量S1-,L2： 土U ,是異面直線,并求公垂線方程即公垂線 3111uu1,2,3 ,經(jīng)過點(diǎn)P 0,0,0 ; L2的方向向量S21,1,1 ,經(jīng)過點(diǎn)巳1,

29、1,2 ,由于uuuu uu nnRP2, G, S211 21 2 35 0,所以L1J2是異面直線1 11ur公垂線L的方向向量Sur那么,經(jīng)過L1并且與S平行的平面1的方程為,一、,in 、一經(jīng)過L2并且與S平行的平面2的方程為而平面1, 2的交線即是公垂線L的方程公垂線的長d為uuuu uu uu 畫,S1, S2 d uruu-S1 S25J6【例13】求過點(diǎn)P 1,1,2及直線L: L.的平面 320解：將L寫成一般式經(jīng)過L的平面束方程為2x 3y 7 z 2 0,i3、一.以p1,1,2代入得3,得平面萬程為又,采用這個(gè)平面束方程時(shí)沒有包括 z 2 0這個(gè)平面,但z 2 0不經(jīng)過

30、P 1,1,2點(diǎn),故不是所求【例14】求經(jīng)過直線L: X 5y Z 0,并且與平面x 4y 8z 12 0交成二面角為的平 x z 4 04面方程.解：平面束方程為又有得平面方程為由于平面束方程沒有包括X z 4 0,故需要驗(yàn)證如下所以,所求的平面方程為x 20y 7z 12 0或 x z 4 0【例15】設(shè)直線L: x y b 0 在平面 上,而平面 與曲面z x2 y2相切于點(diǎn)x ay z 3 0P 1,2, 5 ,求 a, b 之值.解：平面束方程為p2222乂 zx y F x, y,z z x y 0r切平面法向向量為 n Fx,Fy,Fz2x, 2y, 12,4,1r那么平面束方程

31、中只有過的P 1. 2,5 ,且其法線平行n的平面才能滿足要求,即【例16】MW 2垂直通過平面 ：Ax By Cz D 0, Mi為,必工 坐標(biāo),M2%小國 一1離平面的距離為線段M1M2的-,求乂2 x2,y2,z2的坐標(biāo).3解：由定比分點(diǎn)公式得M訪與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為該點(diǎn)滿足平面方程,那么A x 2x2 B y1 2y2 C 4 2z23D 0(1)x2為y2V1z2 4 tABCx2x1AtV2V1Btz2z1Ct(2)(2)代入(1)可解得t所以M2 x2,y2,z2的坐標(biāo)為【例17】求直線l:口 y 巳在平面：x y 2z 1 0上的投影直線I.繞y軸旋轉(zhuǎn)一周 111所形成的曲面方程

32、.解：再次提示：如果所求的平面通過一直線,那么使用平面束方程簡便.經(jīng)過l的平面束方程為所求1.為3y 2z 1 0 y 2z 1 0將1.寫成參數(shù)式x 3y 2z 1 0x y 2z 1 0x 2t繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后形成的曲面方程陳氏第7技動靜轉(zhuǎn)換法求旋轉(zhuǎn)曲面方程.【例18】求曲線L z f y繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面S的方程.x 0解：建立旋轉(zhuǎn)面、錐面與柱面的方程的一般方法是等效變換靜點(diǎn)和動點(diǎn)的所滿足的幾何關(guān)系設(shè)曲線L z f y存在一靜點(diǎn)P 0,y0,z0 ,對任意在旋轉(zhuǎn)面上的動點(diǎn)Q x, y, z ,其坐標(biāo) x 0關(guān)系為2022口-2代入L的方程,得曲面S的方程為xyy0y0. x y【例19

33、】求直線L" 心 口 巳繞直線L" x 2旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程.231y 3解：設(shè)直線L1上的一靜點(diǎn)P x0, y0, z0 ,對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面上任意動點(diǎn) Q x, y, z.O 2, 3, z0為旋轉(zhuǎn)中央,顯然z z0,那么x0 3 2t y0 1 3t z01 t又P x0, y0, z0在L1上,故有:x0 2z 5y0 3z 4代入 x 2 2 y 3 2 x0 2 2y0 3 2得所求的曲面方程為:4 z一 fx v o r r r r_【例2o】求準(zhǔn)線 ,y o ,母線方向?yàn)閟 ai bj ck的柱面方程. z h解：設(shè)P x, y, z 動點(diǎn)為所求柱面上的一點(diǎn),按

34、該題的含義,形成柱面的是準(zhǔn)線沿母線平移生成,故必在準(zhǔn)線上有一點(diǎn)Q X0, y0, zo靜點(diǎn)滿足 rPQ|s,即xo, yo, Zo滿足f x°,yozohZoctxoyoh z ach z b c所以所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為: 評 注 動靜轉(zhuǎn)換法思想是求旋轉(zhuǎn)曲面的方程重要技巧.?重點(diǎn)注意一：直線的一般式、點(diǎn)向式與參數(shù)式相互轉(zhuǎn)化技巧:Ax般式L:AxBy GzB2 y C2zDiD2ivniuv出Ai,Bi,CiA2,B2,C2點(diǎn)向式標(biāo)準(zhǔn)式y(tǒng). mzo vS l ,m,n nx參數(shù)式L: yzXoyozoItmtM (xo, yo, zo)為直線上點(diǎn),nt方向數(shù):l, m,n點(diǎn)向式與參數(shù)式相互轉(zhuǎn)化很明顯, 在點(diǎn)向式中任取兩個(gè)方程即可轉(zhuǎn)化為一般式,而一般式化為點(diǎn)向式卻沒那么容易,一般的思考方法如下:ur ir第一步：求直線的方向數(shù)S叫uun2l, m,n ;第二步：視一個(gè)變量為常數(shù),如視z為常數(shù),解出z,任取一個(gè)z值,便得到 z一個(gè)確定點(diǎn)的坐標(biāo) xo, yo, 4 ;第三步：根據(jù)點(diǎn)向式確定直線方程.【例21】使用點(diǎn)向式又稱對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x y z i 2x y 3z解：先找出這直線上的一點(diǎn)Xo, yo, z,例如,可以取Xo1 ,代入方程組,r卜面再找出這直線的方向向量s ,由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量irni 1, 1, 1 ,